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Convergencia de Vectores

Module by: Michael Haag. E-mail the authorTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Convergence of Vectors by Michael Haag

Summary: Este módulo presenta dos tipos comunes de convergencia, puntual y norma, discutiremos sus propiedades, diferencias y relaciones entre ellos.

Convergencia de Vectores

Discutiremos la convergencia puntual y de la norma de vectores. También existen otros tipos de convergencia y uno en particular, la convergencia uniforme, también puede ser estudiada. Para esta discusión, asumiremos que los vectores pertenecen a un espacio de vector normado.

COnvergencia Puntual

Una secuencia gn | n =1∞ n 1 gn converge puntualmente al límite g g si cada elemento de gn gn converge al elemento correspondiente en g g. A continuación hay unos ejemplos para tratar de ilustrar esta idea.

Ejemplo 1

gn = gn ⁢1 gn ⁢2=1+1n2−1n gn gn 1 gn 2 1 1 n 2 1 n Primero encontramos los siguiente limites para nuestras dos gn gn's: limit   n → ∞ gn ⁢1=1 n gn 1 1 limit   n → ∞ gn ⁢2=2 n gn 2 2 Después tenemos el siguiente, limit   n → ∞ gn =g n gn g puntual, donde g=12 g 1 2 .

Ejemplo 2

∀ t ,t∈R: gn ⁢t=tn t t gn t t n Como se hizo anteriormente, primero examinamos el límite limit   n → ∞ gn ⁢t0=limit   n → ∞ t0n=0 n gn t0 n t0 n 0 donde t0∈R t0 . Por lo tanto limit   n → ∞ gn=g n gn g puntualmente donde g⁢t=0 g t 0 para toda t∈R t .

Norma de Convergencia

La secuencia gn | n =1∞ n 1 gn converge a gg en la norma si limit   n → ∞ ∥ gn −g∥=0 n gn g 0 . Aqui ∥˙∥ ˙ es la norma del espacio vectorial correspondiente de g n g n 's. Intuitivamente esto significa que la distancia entre los vectores g n g n y g g decrese a 00.

Ejemplo 3

g n =1+1n2−1n g n 1 1 n 2 1 n Sea g=12 g 1 2

∥ g n −g∥=1+1n−12+2−1n2=1n2+1n2=2n g n g 1 1 n 1 2 2 1 n 1 2 1 n 2 1 n 2 2 n
(1)
Asi limit   n → ∞ ∥ g n −g∥=0 n g n g 0 , Por lo tanto, g n →g g n g en la norma.

Ejemplo 4

g n ⁢t={tn  if  0≤t≤10  otherwise   g n t t n 0 t 1 0 Sea g⁢t=0 g t 0 para todo tt.

∥ g n ⁢t−g⁢t∥=∫01t2n2d t =t33⁢n2| n =01=13⁢n2 g n t g t t 1 0 t 2 n 2 n 0 1 t 3 3 n 2 1 3 n 2
(2)
Asi limit   n → ∞ ∥ g n ⁢t−g⁢t∥=0 n g n t g t 0 Por lo tanto, g n ⁢t→g⁢t g n t g t en la norma.

Puntual vs.Norma de Convergencia

Theorem 1

Para Rm m , la convergencia puntual y la norma de convergencia es equivalente.

Proof: Puntual ⇒ Norma

g n ⁢i→g⁢i g n i g i Asumiendo lo anterior, entonces ∥ g n −g∥2=∑ i =1m g n ⁢i−g⁢i2 g n g 2 i m 1 g n i g i 2 Así,

limit   n → ∞ ∥ g n −g∥2=limit   n → ∞ ∑ i =1m2=∑ i =1mlimit   n → ∞ 2=0 n g n g 2 n i m 1 g n i g i 2 i m 1 n g n i g i 2 0
(3)

Proof: Norma ⇒ Puntual

∥ g n −g∥→0 g n g 0

limit   n → ∞ ∑ i =1m2=∑ i =1mlimit   n → ∞ 2=0 n i m 1 g n i g i 2 i m 1 n g n i g i 2 0
(4)
Ya que cada término es mayor o igual a cero, todos los términos 'mm' deben ser cero. Así, limit   n → ∞ 2=0 n g n i g i 2 0 para todo ii. Por lo tanto, g n →g puntual g n g puntual

nota:

En un espacio de dimensión finita el teorema anterior ya no es cierto. Probaremos esto con contraejemplos mostrados a continuación.

Contra Ejemplos

Ejemplo 5: Puntual ⇒ Norma

Dada la siguiente función: g n ⁢t={n  if  0<t<1n0  otherwise   g n t n 0 t 1 n 0 Entonces limit   n → ∞ g n ⁢t=0 n g n t 0 Esto significa que, g n ⁢t→g⁢t g n t g t pointwise donde para todo tt g⁢t=0 g t 0 .

Ahora,

∥ g n ∥2=∫−∞∞| g n ⁢t|2d t =∫01nn2d t =n→∞ g n 2 t g n t 2 t 1 n 0 n 2 n
(5)
Ya que la norma de la función se eleva, no puede converger a cualquier función con norma finita.

Ejemplo 6: Norma ⇒ Puntual

Dada la siguiente función: g n ⁢t={1  if  0<t<1n0  otherwise   si n es par g n t 1 0 t 1 n 0 si n es par g n ⁢t={-1  if  0<t<1n0  otherwise   si n es impar g n t -1 0 t 1 n 0 si n es impar Entonces, ∥ g n −g∥=∫01n1d t =1n→0 g n g t 1 n 0 1 1 n 0 donde g⁢t=0 g t 0 para todo tt. Entonces, g n →g en la norma g n g en la norma Sin embargo, en t=0 t 0 , g n ⁢t g n t oscila entre -1 y 1, Y por lo tanto es no convergente. Así, g n ⁢t g n t no tiene convergencia puntual.

Problemas

Pruebe si las siguientes secuencias tienen convergencia puntual, norma de convergencia, o ambas se mantienen en sus limites.

  1. g n ⁢t={1n⁢t  if  0<t0  if  t≤0 g n t 1 n t 0 t 0 t 0
  2. g n ⁢t={e−(n⁢t)  if  t≥00  if  t<0 g n t n t t 0 0 t 0

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