Convergencia de Vectores
Discutiremos la convergencia puntual y de la norma de vectores.
También existen otros tipos de convergencia y uno en particular, la
convergencia uniforme,
también puede ser estudiada. Para esta discusión, asumiremos que los vectores pertenecen a un
espacio de vector normado.
COnvergencia Puntual
Una
secuencia
gn
|n=1∞
n
1
gn
converge
puntualmente al límite
g
g
si cada elemento de
gn
gn
converge al elemento correspondiente en
g
g.
A continuación hay unos ejemplos para tratar de ilustrar esta idea.
Ejemplo 1
gn=
gn1gn2
=
1+1n2-1n
gn
gn
1
gn
2
1
1
n
2
1
n
Primero encontramos los siguiente limites para nuestras dos
gn
gn's:
limn→∞gn1=1
n
gn
1
1
limn→∞gn2=2
n
gn
2
2
Después tenemos el siguiente,
limn→∞gn=g
n
gn
g
puntual, donde
g=12
g
1
2
.
Ejemplo 2
∀t,t∈ℝ:gnt=tn
t
t
gn
t
t
n
Como se hizo anteriormente, primero examinamos el límite
limn→∞gnt0=limn→∞t0n=0
n
gn
t0
n
t0
n
0
donde
t0∈ℝ
t0
. Por lo tanto
limn→∞gn=g
n
gn
g
puntualmente donde
gt=0
g
t
0
para toda
t∈ℝ
t
.
Norma de Convergencia
La
secuencia
gn
|n=1∞
n
1
gn
converge a
gg en la norma si
limn→∞∥gn-g∥=0
n
gn
g
0
. Aqui
∥˙∥
˙
es la
norma del espacio vectorial correspondiente de
gn
g
n
's. Intuitivamente esto significa que la distancia entre los vectores
gn
g
n
y
g
g decrese a
00.
Ejemplo 3
gn=1+1n2-1n
g
n
1
1
n
2
1
n
Sea
g=12
g
1
2
∥gn-g∥=1+1n-12+-12=1n2+1n2=2n
g
n
g
1
1
n
1
2
2
1
n
1
2
1
n
2
1
n
2
2
n
(1)
Asi
limn→∞∥gn-g∥=0
n
g
n
g
0
,
Por lo tanto,
gn→g
g
n
g
en la norma.
Ejemplo 4
g
n
t=tnif0≤t≤10otherwise
g
n
t
t
n
0
t
1
0
Sea
gt=0
g
t
0
para todo
tt.
∥
g
n
t-gt∥=∫01t2n2dt=t33n2|n=01=13n2
g
n
t
g
t
t
1
0
t
2
n
2
n
0
1
t
3
3
n
2
1
3
n
2
(2)
Asi
limn→∞∥
g
n
t-gt∥=0
n
g
n
t
g
t
0
Por lo tanto,
g
n
t→gt
g
n
t
g
t
en la norma.
Puntual vs.Norma de Convergencia
theorem 1
Para
ℝm
m
, la convergencia puntual y la norma de convergencia es equivalente.
Proof:
Puntual ⇒ Norma
g
n
i→gi
g
n
i
g
i
Asumiendo lo anterior, entonces
∥gn-g∥2=∑i=1m
g
n
i-gi2
g
n
g
2
i
m
1
g
n
i
g
i
2
Así,
limn→∞∥gn-g∥2=limn→∞∑i=1m2=∑i=1mlimn→∞2=0
n
g
n
g
2
n
i
m
1
g
n
i
g
i
2
i
m
1
n
g
n
i
g
i
2
0
(3)
Proof:
Norma ⇒ Puntual
∥gn-g∥→0
g
n
g
0
limn→∞∑i=1m2=∑i=1mlimn→∞2=0
n
i
m
1
g
n
i
g
i
2
i
m
1
n
g
n
i
g
i
2
0
(4)
Ya que cada término es mayor o igual a cero, todos los términos
'
mm' deben ser cero.
Así,
limn→∞2=0
n
g
n
i
g
i
2
0
para todo
ii. Por lo tanto,
gn→g
puntual
g
n
g
puntual
nota:
En un espacio de dimensión finita el teorema anterior ya no es cierto. Probaremos esto con contraejemplos mostrados a continuación.
Contra Ejemplos
Ejemplo 5: Puntual ⇒ Norma
Dada la siguiente función:
g
n
t=nif0<t<1n0otherwise
g
n
t
n
0
t
1
n
0
Entonces
limn→∞
g
n
t=0
n
g
n
t
0
Esto significa que,
g
n
t→gt
g
n
t
g
t
pointwise
donde para todo tt
gt=0
g
t
0
.
Ahora,
∥
g
n
∥2=∫-∞∞|
g
n
t|2dt=∫01nn2dt=n→∞
g
n
2
t
g
n
t
2
t
1
n
0
n
2
n
(5)
Ya que la norma de la función se eleva, no puede converger a cualquier función con norma finita.
Ejemplo 6: Norma ⇒ Puntual
Dada la siguiente función:
g
n
t=1if0<t<1n0otherwise
si n es par
g
n
t
1
0
t
1
n
0
si n es par
g
n
t=-1if0<t<1n0otherwise
si n es impar
g
n
t
-1
0
t
1
n
0
si n es impar
Entonces,
∥
g
n
-g∥=∫01n
1
dt=1n→0
g
n
g
t
1
n
0
1
1
n
0
donde
gt=0
g
t
0
para todo tt. Entonces,
g
n
→g
en la norma
g
n
g
en la norma
Sin embargo, en
t=0
t
0
,
g
n
t
g
n
t
oscila entre -1 y 1, Y por lo tanto es no convergente. Así,
g
n
t
g
n
t
no tiene convergencia puntual.
Problemas
Pruebe si las siguientes secuencias tienen convergencia puntual, norma de convergencia, o ambas se mantienen en sus limites.
-
g
n
t=1ntif0<t
0
ift≤0
g
n
t
1
n
t
0
t
0
t
0
-
g
n
t=ⅇ-ntift≥0
0
ift<0
g
n
t
n
t
t
0
0
t
0
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