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Convergencia de Vectores

Module by: Michael Haag Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Convergence of Vectors por Michael Haag

Summary: Este módulo presenta dos tipos comunes de convergencia, puntual y norma, discutiremos sus propiedades, diferencias y relaciones entre ellos.

Convergencia de Vectores

Discutiremos la convergencia puntual y de la norma de vectores. También existen otros tipos de convergencia y uno en particular, la convergencia uniforme, también puede ser estudiada. Para esta discusión, asumiremos que los vectores pertenecen a un espacio de vector normado.

COnvergencia Puntual

Una secuencia gn |n=1∞ n 1 gn converge puntualmente al límite g g si cada elemento de gn gn converge al elemento correspondiente en g g. A continuación hay unos ejemplos para tratar de ilustrar esta idea.
Ejemplo 1 
gn= gn1gn2 = 1+1n2-1n gn gn 1 gn 2 1 1 n 2 1 n Primero encontramos los siguiente limites para nuestras dos gn gn's: limn→∞gn1=1 n gn 1 1 limn→∞gn2=2 n gn 2 2 Después tenemos el siguiente, limn→∞gn=g n gn g puntual, donde g=12 g 1 2 .
Ejemplo 2 
∀t,t∈ℝ:gnt=tn t t gn t t n Como se hizo anteriormente, primero examinamos el límite limn→∞gnt0=limn→∞t0n=0 n gn t0 n t0 n 0 donde t0∈ℝ t0 . Por lo tanto limn→∞gn=g n gn g puntualmente donde gt=0 g t 0 para toda t∈ℝ t .

Norma de Convergencia

La secuencia gn |n=1∞ n 1 gn converge a gg en la norma si limn→∞∥gn-g∥=0 n gn g 0 . Aqui ∥˙∥ ˙ es la norma del espacio vectorial correspondiente de gn g n 's. Intuitivamente esto significa que la distancia entre los vectores gn g n y g g decrese a 00.
Ejemplo 3 
gn=1+1n2-1n g n 1 1 n 2 1 n Sea g=12 g 1 2
∥gn-g∥=1+1n-12+-12=1n2+1n2=2n g n g 1 1 n 1 2 2 1 n 1 2 1 n 2 1 n 2 2 n (1)
Asi limn→∞∥gn-g∥=0 n g n g 0 , Por lo tanto, gn→g g n g en la norma.
Ejemplo 4 
g n t=tnif0≤t≤10otherwise g n t t n 0 t 1 0 Sea gt=0 g t 0 para todo tt.
∥ g n t-gt∥=∫01t2n2dt=t33n2|n=01=13n2 g n t g t t 1 0 t 2 n 2 n 0 1 t 3 3 n 2 1 3 n 2 (2)
Asi limn→∞∥ g n t-gt∥=0 n g n t g t 0 Por lo tanto, g n t→gt g n t g t en la norma.

Puntual vs.Norma de Convergencia

theorem 1 
Para ℝm m , la convergencia puntual y la norma de convergencia es equivalente.
Proof: Puntual ⇒ Norma
g n i→gi g n i g i Asumiendo lo anterior, entonces ∥gn-g∥2=∑i=1m g n i-gi2 g n g 2 i m 1 g n i g i 2 Así,
limn→∞∥gn-g∥2=limn→∞∑i=1m2=∑i=1mlimn→∞2=0 n g n g 2 n i m 1 g n i g i 2 i m 1 n g n i g i 2 0 (3)
Proof: Norma ⇒ Puntual
∥gn-g∥→0 g n g 0
limn→∞∑i=1m2=∑i=1mlimn→∞2=0 n i m 1 g n i g i 2 i m 1 n g n i g i 2 0 (4)
Ya que cada término es mayor o igual a cero, todos los términos 'mm' deben ser cero. Así, limn→∞2=0 n g n i g i 2 0 para todo ii. Por lo tanto, gn→g puntual g n g puntual
nota: En un espacio de dimensión finita el teorema anterior ya no es cierto. Probaremos esto con contraejemplos mostrados a continuación.

Contra Ejemplos

Ejemplo 5: Puntual ⇒ Norma 
Dada la siguiente función: g n t=nif0<t<1n0otherwise g n t n 0 t 1 n 0 Entonces limn→∞ g n t=0 n g n t 0 Esto significa que, g n t→gt g n t g t pointwise donde para todo tt gt=0 g t 0 .
Ahora,
∥ g n ∥2=∫-∞∞| g n t|2dt=∫01nn2dt=n→∞ g n 2 t g n t 2 t 1 n 0 n 2 n (5)
Ya que la norma de la función se eleva, no puede converger a cualquier función con norma finita.
Ejemplo 6: Norma ⇒ Puntual 
Dada la siguiente función: g n t=1if0<t<1n0otherwise si n es par g n t 1 0 t 1 n 0 si n es par g n t=-1if0<t<1n0otherwise si n es impar g n t -1 0 t 1 n 0 si n es impar Entonces, ∥ g n -g∥=∫01n 1 dt=1n→0 g n g t 1 n 0 1 1 n 0 donde gt=0 g t 0 para todo tt. Entonces, g n →g en la norma g n g en la norma Sin embargo, en t=0 t 0 , g n t g n t oscila entre -1 y 1, Y por lo tanto es no convergente. Así, g n t g n t no tiene convergencia puntual.

Problemas

Pruebe si las siguientes secuencias tienen convergencia puntual, norma de convergencia, o ambas se mantienen en sus limites.
  1. g n t=1ntif0<t 0 ift≤0 g n t 1 n t 0 t 0 t 0
  2. g n t=ⅇ-ntift≥0 0 ift<0 g n t n t t 0 0 t 0

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