Convergencia Uniforme de Secuencias de Funciones
para esta discusión, solo consideraremos las funciones con
g
n
g
n
donde
ℝ→ℝ
Definition 1:
Convergencia Uniforme
La
secuencia
gn|n=1∞
n
1
g
n
converge uniformemente a la funció
gg si para cada
ε>0
ε
0
existe un entero
NN tal que
n≥N
n
N
implica que
|
g
n
t-gt|≤ε
g
n
t
g
t
ε
(1)
para
todo
t∈ℝ
t
.
Obviamente toda secuencia uniformemente continua es de convergencia
puntual . La diferencia entre convergencia puntual y uniformemente continua es esta:
Si
g
n
g
n
converge puntualmente a
gg, entonces para todo
ε>0
ε
0
y para toda
t∈ℝ
t
hay un entero
NN
que depende de
εε
y tt tal que
ecuación 1 se mantiene si
n≥N
n
N
. Si
g
n
g
n
converge uniformemente a
gg, es posible que para cada
ε>0
ε
0
enocntrar
un entero
NN que será par todo
t∈ℝ
t
.
Ejemplo 1
∀t,t∈ℝ:
g
n
t=1n
t
t
g
n
t
1
n
Sea
ε>0
ε
0
dado. Entonces escoja
N=⌈1ε⌉
N
1
ε
. Obviamente,
∀n,n≥N:|
g
n
t-0|≤ε
n
n
N
g
n
t
0
ε
para toda tt. Así,
g
n
t
g
n
t
converge uniformemente a
00.
Ejemplo 2
∀t,t∈ℝ:
g
n
t=tn
t
t
g
n
t
t
n
Obviamente para cualquier
ε>0
ε
0
no podemos encontrar una función sencilla
g
n
t
g
n
t
para la cual la
ecuación 1 se mantiene con
gt=0
g
t
0
para todo
tt. Así
g
n
g
n
no es convergente uniformemente. Sin embargo tenemos:
g
n
t→gt
puntual
g
n
t
g
t
puntual
conclusión:
La convergencia uniforme siempre implica convergencia puntual, pero la cpnvergencia puntual no necesariamente garantiza la convergencia uniforme.
Problems
Pruebe rigurosamente si las siguientes funciones convergen puntualmente o uniformemente, o ambas.
-
g
n
t=sintn
g
n
t
t
n
-
g
n
t=ⅇtn
g
n
t
t
n
-
g
n
t=1ntift>00ift≤0
g
n
t
1
n
t
t
0
0
t
0
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