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Introducción
Debido al gran número de señales de tiempo-continuo que estan presentes en las
series de Fourier
nos da una primera ojeada de cuantas maneras podemos representar algunas de estas señales de manera general: como una superposición de un nómero de señales senosoidales. Ahora podemos ver la manera de representar señales noperiodicas de tiempo continuo usando la misma idea de superposición. A continuación presentaremos la
Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo (CTFT), también conocida solo como Transformada de Fourier (FT). Por que la
CTFT ahora trataremos con señales no periodicas, encontraremos una manera de incluir
todaslas frecuencias en ecuaciones en general.
Ecuaciones
Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo
ℱΩ=∫-∞∞ftⅇ-ⅈΩtdt
ℱ
Ω
t
f
t
Ω
t
(1)
Inversa de la CTFT
ft=12π∫-∞∞ℱΩⅇⅈΩtdΩ
f
t
1
2
Ω
ℱ
Ω
Ω
t
(2)
precaución:
No se confunda con la notación - es común ver la formula anterior escrita un poco diferente. Una de las diferencias más comunes echa por los profesores es la forma de escribir el exponente. Arriba escribimos la variable de la frecuancia readial
Ω
Ω en el exponencial, donde
Ω=2πf
Ω
2
f
, pero también vemos que los profesores incluyen la expresión más explicicta,
ⅈ2πft
2
f
t
, en el exponencial.
Véase aqui para una descripción de la notación utilizada en los modulos de Procesamiento Digital de Señales DSP.
La ecuacuión anterior para las CFT y su inversa vienen directamente de las series de Fourier y de nuesro entendimiento de sus coeficientes. Para la CTFT simplemente utilizamos la intergración en lugar de la simulación para ser capaces de expresar las señales periódicas. Esto debería tener sentido ya que simlemente estamos extendiendo las ideas de las series de Fourier para las CTFT para incluir las señales no-periódicas,y así todo el espectro de la frecuencia. Véase la
Derivación de la Transformada de Fourier
para una mirada más profunda del tema.
Espacios Relevantes
El mapeo de la Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo de longitud-infinita, en señales de tiempo-continuo
L2L2
a longitud-infinita,señales de frecuancia-continua en
L2L2.
Revisando el
Análisis de Fourier
para una descripción de todos los espacios usados en el análisis de Fourier.
Problemas de Ejemplo
Problem 1
Encontrar la Transformada de Fourier(CTFT) de la función
ft=
ⅇ-αtift≥00otherwise
f
t
α
t
t
0
0
(3)
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Solution 1
Para poder calcular la transformada de Fourier, todo lo que necesitamos es usar los
ecuación 1,
expnenciales complejos,
y cálculos básicos.
ℱΩ=∫-∞∞ftⅇ-ⅈΩtdt=∫0∞ⅇ-αtⅇ-ⅈΩtdt=∫0∞ⅇ-tα+ⅈΩdt=0--1α+ⅈΩ
ℱ
Ω
t
f
t
Ω
t
t
0
α
t
Ω
t
t
0
t
α
Ω
0
-1
α
Ω
(4)
ℱΩ=1α+ⅈΩ
ℱ
Ω
1
α
Ω
(5)
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Problem 2
Encontrar la inversa de la Transformada de Fourier de la onda cuadrada definda como:
XΩ=
1if|Ω|≤M0otherwise
X
Ω
1
Ω
M
0
(6)
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Solution 2
Aqui usaremos la
ecuación 2 para encontrar la inversa de la FT, dado eso
t≠0
t
0
.
xt=12π∫-MMⅇ
ⅈ
Ω
t
dΩ=12πⅇ
ⅈ
Ω
t
|Ω,Ω=ⅇⅈw=1πtsinMt
x
t
1
2
Ω
M
M
Ω
t
Ω
w
1
2
Ω
t
1
t
M
t
(7)
xt=MπsincMtπ
x
t
M
sinc
M
t
(8)
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