La región de convergencia, también conocida como ROC, es importante entender por que define la región donde la transformada-z existe. La transformada–z se define por
Xz=∑n=-∞∞xnz-n
Xz
n
x
n
z
n
(1)
La ROC para una
xn
x
n
, es definida como el rango de
z
z
para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una
serie de potencia, converge cuando
xnz-n
x
n
z
n
es absolutamente sumable. En otras palabras,
∑n=-∞∞|xnz-n|<∞
n
x
n
z
n
(2)
tiene que ser satisfecha para la convergencia.
La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal,
xn
x
n
.
-
La ROC no tiene que contener algún polo.
Por definición un polo es donde
Xz
X
z
es infinito. Ya que
Xz
X
z
tiene que ser finita para todas las zz para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.
-
Si
xn
x
n
es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en
z=0
z
0
o
|z|=∞
z
.
Una secuencia de duración finita es aquella que tienen valor de no cero en un intervalo finito
n
1
≤n≤
n
2
n
1
n
n
2
.
Mientras que cada valor de
xn
x
n
es finito entonces la secuencia será absolutamente sumable. Cuando
n
2
>0
n
2
0
entonces existirá
z-1
z
términos por lo tanto la ROC no incluye
z=0
z
0
.
Cuando
n
1
<0
n
1
0
la suma será infinita por lo tanto la ROC no incluye
|z|=∞
z
.
Pero si,
n
2
≤0
n
2
0
entonces la ROC incluirá
z=0
z
0
,
y cuando
n
1
≥0
n
1
0
la ROC incluirá
|z|=∞
z
.
Con esta condiciones, la única señal que tiene una ROC que cubre todo el plano-z es
xn=cδn
x
n
c
δ
n
.
Las siguientes propiedades se aplican a secuencias con duración infinita. Como se menciono anterior mente la transformada-z converge cuando
|Xz|<∞
X
z
.
Así que podemos escribir
|Xz|=|∑n=-∞∞xnz-n|≤∑n=-∞∞|xnz-n|=∑n=-∞∞|xn||z|-n
X
z
n
x
n
z
n
n
x
n
z
n
n
x
n
z
n
(3)
Podemos separar la suma infinita en su tiempo positive y negativa. Por lo tanto
|Xz|≤Nz+Pz
X
z
N
z
P
z
(4)
donde
Nz=∑n=-∞-1|xn||z|-n
N
z
n
-1
x
n
z
n
(5)
y
Pz=∑n=0∞|xn||z|-n
P
z
n
0
x
n
z
n
(6)
Para que
|Xz|
X
z
se infinita,
|xn|
x
n
tiene que estar restringida entonces definamos
|xn|≤
C
1
r
1
n
x
n
C
1
r
1
n
(7)
para
n<0
n
0
y
|xn|≤
C
2
r
2
n
x
n
C
2
r
2
n
(8)
para
n≥0
n
0
De estos también se pueden derivar más propiedades:
-
Si
xn
x
n
es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo. Una secuencia de dos lados es aquella con duración infinita en direcciones positivas y negativas. De la derivación de las dos propiedades, podemos deducir que si
r
2
<|z|<
r
2
r
2
z
r
2
converge, entonces el tiempo positivo y el tiempo negativo converge, y
Xz
X
z
converge también. Por eso la ROC de una secuencia de dos lados tiene la forma de
r
2
<|z|<
r
2
r
2
z
r
2
.
Para entender esto mejor veremos los siguientes ejemplos.
Tomemos
x
1
n=12nun+14nun
x
1
n
1
2
n
u
n
1
4
n
u
n
(11)
La transformada de
12nun
1
2
n
u
n
es
zz-12
z
z
1
2
con ROC en
|z|>12
z
1
2
.
La transformada de
-14nun
-1
4
n
u
n
es
zz+14
z
z
1
4
con ROC en
|z|>-14
z
-1
4
.
Usando linealidad,
X
1
z=zz-12+zz+14=2zz-18z-12z+14
X
1
z
z
z
1
2
z
z
1
4
2
z
z
1
8
z
1
2
z
1
4
(12)
Al observar esto se vuelve claro que hay dos cero, uno en
0
0
y el otro en
18
1
8
,
y dos polos, uno en
12
1
2
,
y en
-14
-1
4
.
Usando las propiedades, la ROC es
|z|>12
z
1
2
.
Ahora tomemos
x
2
n=-14nun-12nu-n-1
x
2
n
-1
4
n
u
n
1
2
n
u
n
1
(13)
La transformada y ROC de
-14nun
-1
4
n
u
n
fueron mostradas en
el ejemplo anterior.
La transformada de
-12nu-n-1
1
2
n
u
n
1
es
zz-12
z
z
1
2
con una ROC en
|z|>12
z
1
2
.
Usando linealidad,
X
2
z=zz+14+zz-12=z2z-18z+14z-12
X
2
z
z
z
1
4
z
z
1
2
z
2
z
1
8
z
1
4
z
1
2
(14)
Podemos observar que hay dos ceros, en
0
0
y
116
1
16
,
y dos polos en
12
1
2
,
y
-14
-1
4
.
En este caso la ROC es
|z|<12
z
1
2
.
