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Región de Convergencia para la Transformada- Z

Module by: Benjamin Fite. E-mail the authorTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Region of Convergence for the Z-transform by Benjamin Fite

Summary: (Blank Abstract)

La Región de Convergencia

La región de convergencia, también conocida como ROC, es importante entender por que define la región donde la transformada-z existe. La transformada–z se define por

Xz= n =xnzn Xz n x n z n
(1)
La ROC para una xn x n , es definida como el rango de z z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando xnzn x n z n es absolutamente sumable. En otras palabras,
n =|xnzn|< n x n z n
(2)
tiene que ser satisfecha para la convergencia.

Propiedades de la Región de Convergencia

La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, xn x n .

  • La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde Xz X z es infinito. Ya que Xz X z tiene que ser finita para todas las zz para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.
  • Si xn x n es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en z=0 z 0 o |z|= z . Una secuencia de duración finita es aquella que tienen valor de no cero en un intervalo finito n 1 n n 2 n 1 n n 2 . Mientras que cada valor de xn x n es finito entonces la secuencia será absolutamente sumable. Cuando n 2 >0 n 2 0 entonces existirá z-1 z términos por lo tanto la ROC no incluye z=0 z 0 . Cuando n 1 <0 n 1 0 la suma será infinita por lo tanto la ROC no incluye |z|= z . Pero si, n 2 0 n 2 0 entonces la ROC incluirá z=0 z 0 , y cuando n 1 0 n 1 0 la ROC incluirá |z|= z . Con esta condiciones, la única señal que tiene una ROC que cubre todo el plano-z es xn=cδn x n c δ n .

Figura 1: Ejemplo de una secuencia de duracion finita.
Figura 1 (finite.png)

Las siguientes propiedades se aplican a secuencias con duración infinita. Como se menciono anterior mente la transformada-z converge cuando |Xz|< X z . Así que podemos escribir

|Xz|=| n =xnzn| n =|xnzn|= n =|xn||z|n X z n x n z n n x n z n n x n z n
(3)
Podemos separar la suma infinita en su tiempo positive y negativa. Por lo tanto
|Xz|Nz+Pz X z N z P z
(4)
donde
Nz= n =-1|xn||z|n N z n -1 x n z n
(5)
y
Pz= n =0|xn||z|n P z n 0 x n z n
(6)
Para que |Xz| X z se infinita, |xn| x n tiene que estar restringida entonces definamos
|xn| C 1 r 1 n x n C 1 r 1 n
(7)
para n<0 n 0 y
|xn| C 2 r 2 n x n C 2 r 2 n
(8)
para n0 n 0 De estos también se pueden derivar más propiedades:
  • Si xn x n es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde Xz X z . Una secuencia del lado derecho es aquella donde xn=0 x n 0 para n< n 1 < n n 1 . Si vemos la porción del tiempo positive de la ultima derivación, se puede deducir que
    Pz C 2 n =0 r 2 n|z|n= C 2 n =0 r 2 |z|n P z C 2 n 0 r 2 n z n C 2 n 0 r 2 z n
    (9)
    Por lo tanto para que la suma converja, |z|> r 2 z r 2 , así que la ROC de una secuencia del lado derecho tiene la forma de |z|> r 2 z r 2 .

Figura 2: Secuencia de lado derecho
Figura 2 (rtsided1.png)
Figura 3: LA ROC de una secuencia de lado derecho.
Figura 3 (rtsided2.png)

  • Si xn x n es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en Xz X z . Una secuencia del lado izquierdo es aquella donde xn=0 x n 0 para n> n 2 > n n 2 . Si vemos la porción del lado negativa de la ultima derivación se puede deducir que
    Nz C 1 n =-1 r 1 n|z|n= C 1 n =-1 r 1 |z|n= C 1 k =1|z| r 1 k N z C 1 n -1 r 1 n z n C 1 n -1 r 1 z n C 1 k 1 z r 1 k
    (10)
    Por lo tanto para que la suma converja, |z|< r 1 z r 1 , así que la ROC de la secuencia del lado izquierdo tiene la forma de |z|< r 1 z r 1 .

Figura 4: Secuencia de lado izquierdo.
Figura 4 (lefsided1.png)
Figura 5: La ROC de una secuencia de lado izquierdo.
Figura 5 (lefsided2.png)

  • Si xn x n es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo. Una secuencia de dos lados es aquella con duración infinita en direcciones positivas y negativas. De la derivación de las dos propiedades, podemos deducir que si r 2 <|z|< r 2 r 2 z r 2 converge, entonces el tiempo positivo y el tiempo negativo converge, y Xz X z converge también. Por eso la ROC de una secuencia de dos lados tiene la forma de r 2 <|z|< r 2 r 2 z r 2 .

Figura 6: Una secuencia de dos lados.
Figura 6 (twosided1.png)
Figura 7: La ROC de una secuancia de dos lados.
Figura 7 (twosided2.png)

Ejemplos

Para entender esto mejor veremos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

Tomemos

x 1 n=12nun+14nun x 1 n 1 2 n u n 1 4 n u n
(11)
La transformada de 12nun 1 2 n u n es zz12 z z 1 2 con ROC en |z|>12 z 1 2 .

Figura 8: La ROC de 12nun 1 2 n u n
Figura 8 (ex1roc1a.png)

La transformada de -14nun -1 4 n u n es zz+14 z z 1 4 con ROC en |z|>-14 z -1 4 .

Figura 9: La ROC de -14nun -1 4 n u n
Figura 9 (ex1roc1b.png)

Usando linealidad,

X 1 z=zz12+zz+14=2z(z18)(z12)(z+14) X 1 z z z 1 2 z z 1 4 2 z z 1 8 z 1 2 z 1 4
(12)
Al observar esto se vuelve claro que hay dos cero, uno en 0 0 y el otro en 18 1 8 , y dos polos, uno en 12 1 2 , y en -14 -1 4 . Usando las propiedades, la ROC es |z|>12 z 1 2 .

Figura 10: La ROC de x 1 n=12nun+-14nun x 1 n 1 2 n u n -1 4 n u n
Figura 10 (ex1roc2.png)

Ejemplo 2

Ahora tomemos

x 2 n=-14nun12nu(n)1 x 2 n -1 4 n u n 1 2 n u n 1
(13)
La transformada y ROC de -14nun -1 4 n u n fueron mostradas en el ejemplo anterior. La transformada de (12n)u(n)1 1 2 n u n 1 es zz12 z z 1 2 con una ROC en |z|>12 z 1 2 .

Figura 11: La ROC de (12n)u(n)1 1 2 n u n 1
Figura 11 (ex2roc1.png)

Usando linealidad,

X 2 z=zz+14+zz12=z(2z18)(z+14)(z12) X 2 z z z 1 4 z z 1 2 z 2 z 1 8 z 1 4 z 1 2
(14)
Podemos observar que hay dos ceros, en 0 0 y 116 1 16 , y dos polos en 12 1 2 , y -14 -1 4 . En este caso la ROC es |z|<12 z 1 2 .

Figura 12: La ROC de x 2 n=-14nun12nu(n)1 x 2 n -1 4 n u n 1 2 n u n 1 .
Figura 12 (ex2roc2.png)

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