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Región de Convergencia para la Transformada- Z

Module by: Benjamin Fite. E-mail the authorTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Region of Convergence for the Z-transform by Benjamin Fite

Summary: (Blank Abstract)

La Región de Convergencia

La región de convergencia, también conocida como ROC, es importante entender por que define la región donde la transformada-z existe. La transformada–z se define por

X⁢z=∑ n =−∞∞x⁢n⁢z−n Xz n x n z n
(1)
La ROC para una x⁢n x n , es definida como el rango de z z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando x⁢n⁢z−n x n z n es absolutamente sumable. En otras palabras,
∑ n =−∞∞|x⁢n⁢z−n|<∞ n x n z n
(2)
tiene que ser satisfecha para la convergencia.

Propiedades de la Región de Convergencia

La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, x⁢n x n .

  • La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde X⁢z X z es infinito. Ya que X⁢z X z tiene que ser finita para todas las zz para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.
  • Si x⁢n x n es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en z=0 z 0 o |z|=∞ z . Una secuencia de duración finita es aquella que tienen valor de no cero en un intervalo finito n 1 ≤n≤ n 2 n 1 n n 2 . Mientras que cada valor de x⁢n x n es finito entonces la secuencia será absolutamente sumable. Cuando n 2 >0 n 2 0 entonces existirá z-1 z términos por lo tanto la ROC no incluye z=0 z 0 . Cuando n 1 <0 n 1 0 la suma será infinita por lo tanto la ROC no incluye |z|=∞ z . Pero si, n 2 ≤0 n 2 0 entonces la ROC incluirá z=0 z 0 , y cuando n 1 ≥0 n 1 0 la ROC incluirá |z|=∞ z . Con esta condiciones, la única señal que tiene una ROC que cubre todo el plano-z es x⁢n=c⁢δ⁢n x n c δ n .

Figura 1: Ejemplo de una secuencia de duracion finita.
Figura 1 (finite.png)

Las siguientes propiedades se aplican a secuencias con duración infinita. Como se menciono anterior mente la transformada-z converge cuando |X⁢z|<∞ X z . Así que podemos escribir

|X⁢z|=|∑ n =−∞∞x⁢n⁢z−n|≤∑ n =−∞∞|x⁢n⁢z−n|=∑ n =−∞∞|x⁢n|⁢|z|−n X z n x n z n n x n z n n x n z n
(3)
Podemos separar la suma infinita en su tiempo positive y negativa. Por lo tanto
|X⁢z|≤N⁢z+P⁢z X z N z P z
(4)
donde
N⁢z=∑ n =−∞-1|x⁢n|⁢|z|−n N z n -1 x n z n
(5)
y
P⁢z=∑ n =0∞|x⁢n|⁢|z|−n P z n 0 x n z n
(6)
Para que |X⁢z| X z se infinita, |x⁢n| x n tiene que estar restringida entonces definamos
|x⁢n|≤ C 1 ⁢ r 1 n x n C 1 r 1 n
(7)
para n<0 n 0 y
|x⁢n|≤ C 2 ⁢ r 2 n x n C 2 r 2 n
(8)
para n≥0 n 0 De estos también se pueden derivar más propiedades:
  • Si x⁢n x n es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde X⁢z X z . Una secuencia del lado derecho es aquella donde x⁢n=0 x n 0 para n< n 1 <∞ n n 1 . Si vemos la porción del tiempo positive de la ultima derivación, se puede deducir que
    P⁢z≤ C 2 ⁢∑ n =0∞ r 2 n⁢|z|−n= C 2 ⁢∑ n =0∞ r 2 |z|n P z C 2 n 0 r 2 n z n C 2 n 0 r 2 z n
    (9)
    Por lo tanto para que la suma converja, |z|> r 2 z r 2 , así que la ROC de una secuencia del lado derecho tiene la forma de |z|> r 2 z r 2 .

Figura 2: Secuencia de lado derecho
Figura 2 (rtsided1.png)
Figura 3: LA ROC de una secuencia de lado derecho.
Figura 3 (rtsided2.png)

  • Si x⁢n x n es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en X⁢z X z . Una secuencia del lado izquierdo es aquella donde x⁢n=0 x n 0 para n> n 2 >−∞ n n 2 . Si vemos la porción del lado negativa de la ultima derivación se puede deducir que
    N⁢z≤ C 1 ⁢∑ n =−∞-1 r 1 n⁢|z|−n= C 1 ⁢∑ n =−∞-1 r 1 |z|n= C 1 ⁢∑ k =1∞|z| r 1 k N z C 1 n -1 r 1 n z n C 1 n -1 r 1 z n C 1 k 1 z r 1 k
    (10)
    Por lo tanto para que la suma converja, |z|< r 1 z r 1 , así que la ROC de la secuencia del lado izquierdo tiene la forma de |z|< r 1 z r 1 .

Figura 4: Secuencia de lado izquierdo.
Figura 4 (lefsided1.png)
Figura 5: La ROC de una secuencia de lado izquierdo.
Figura 5 (lefsided2.png)

  • Si x⁢n x n es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo. Una secuencia de dos lados es aquella con duración infinita en direcciones positivas y negativas. De la derivación de las dos propiedades, podemos deducir que si r 2 <|z|< r 2 r 2 z r 2 converge, entonces el tiempo positivo y el tiempo negativo converge, y X⁢z X z converge también. Por eso la ROC de una secuencia de dos lados tiene la forma de r 2 <|z|< r 2 r 2 z r 2 .

Figura 6: Una secuencia de dos lados.
Figura 6 (twosided1.png)
Figura 7: La ROC de una secuancia de dos lados.
Figura 7 (twosided2.png)

Ejemplos

Para entender esto mejor veremos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

Tomemos

x 1 ⁢n=12n⁢u⁢n+14n⁢u⁢n x 1 n 1 2 n u n 1 4 n u n
(11)
La transformada de 12n⁢u⁢n 1 2 n u n es zz−12 z z 1 2 con ROC en |z|>12 z 1 2 .

Figura 8: La ROC de 12n⁢u⁢n 1 2 n u n
Figura 8 (ex1roc1a.png)

La transformada de -14n⁢u⁢n -1 4 n u n es zz+14 z z 1 4 con ROC en |z|>-14 z -1 4 .

Figura 9: La ROC de -14n⁢u⁢n -1 4 n u n
Figura 9 (ex1roc1b.png)

Usando linealidad,

X 1 ⁢z=zz−12+zz+14=2⁢z⁢(z−18)(z−12)⁢(z+14) X 1 z z z 1 2 z z 1 4 2 z z 1 8 z 1 2 z 1 4
(12)
Al observar esto se vuelve claro que hay dos cero, uno en 0 0 y el otro en 18 1 8 , y dos polos, uno en 12 1 2 , y en -14 -1 4 . Usando las propiedades, la ROC es |z|>12 z 1 2 .

Figura 10: La ROC de x 1 ⁢n=12n⁢u⁢n+-14n⁢u⁢n x 1 n 1 2 n u n -1 4 n u n
Figura 10 (ex1roc2.png)

Ejemplo 2

Ahora tomemos

x 2 ⁢n=-14n⁢u⁢n−12n⁢u⁢(−n)−1 x 2 n -1 4 n u n 1 2 n u n 1
(13)
La transformada y ROC de -14n⁢u⁢n -1 4 n u n fueron mostradas en el ejemplo anterior. La transformada de (−12n)⁢u⁢(−n)−1 1 2 n u n 1 es zz−12 z z 1 2 con una ROC en |z|>12 z 1 2 .

Figura 11: La ROC de (−12n)⁢u⁢(−n)−1 1 2 n u n 1
Figura 11 (ex2roc1.png)

Usando linealidad,

X 2 ⁢z=zz+14+zz−12=z⁢(2⁢z−18)(z+14)⁢(z−12) X 2 z z z 1 4 z z 1 2 z 2 z 1 8 z 1 4 z 1 2
(14)
Podemos observar que hay dos ceros, en 0 0 y 116 1 16 , y dos polos en 12 1 2 , y -14 -1 4 . En este caso la ROC es |z|<12 z 1 2 .

Figura 12: La ROC de x 2 ⁢n=-14n⁢u⁢n−12n⁢u⁢(−n)−1 x 2 n -1 4 n u n 1 2 n u n 1 .
Figura 12 (ex2roc2.png)

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