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Propiedades de la Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo

Module by: Melissa Selik, Richard Baraniuk. E-mail the authorsTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Properties of the Continuous-Time Fourier Transform by Melissa Selik, Richard Baraniuk

Summary: Se nombran algunas de las propiedades de la Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo.

En este modulo veremos algunas de las propiedades básicas de la Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo (CTFT). La primera sección contiene una tabla que ilustra las propiedades, y la siguiente sección discute unas de las propiedades mas interesantes más a fondo. En la tabl, oprima en el nombre de la operación para ver la explicación se se encuentra más adelante. Véase este modulo para una tabla expandida de las propiedades de Fourier.

nota:

Discutiremos estas propiedades para señales aperiodicas de tiempo-continuo pero entenderemos que propiedades similares se matienen para señales de tiempo-continuo y señales periódicas.

Tabla de Propiedades de CTFT

Tabla 1
Nombre de la Operación Señal ( f⁢t f t ) Transformada ( F⁢ω F ω )
Adición f1 ⁢t+ f2 ⁢t f1 t f2 t F1 ⁢ω+ F2 ⁢ω F1 ω F2 ω
Multiplicación Escalar α⁢f⁢t α f t α⁢F⁢t α F t
Simetría F⁢t F t 2⁢π⁢f⁢−ω 2 f ω
Escalamiento en el Tiempo f⁢α⁢t f α t 1|α|⁢F⁢ωα 1 α F ω α
Desplazamiento en el Tiempo f⁢t−τ f t τ F⁢ω⁢e−(j⁢ω⁢τ) F ω ω τ
Modulación (Desplazamiento de Frecuencias) f⁢t⁢ej⁢φ⁢t f t φ t F⁢ω−φ F ω φ
Convolución en el Tiempo ⁢ f1 ⁢t f2 ⁢t f1 t f2 t F1 ⁢t⁢ F2 ⁢t F1 t F2 t
Convolución en la Frecuencia f1 ⁢t⁢ f2 ⁢t f1 t f2 t 12⁢π⁢⁢ F1 ⁢t F2 ⁢t 1 2 F1 t F2 t
Diferenciación d n dt n f⁢t t n f t j⁢ωn⁢F⁢ω ω n F ω

Discusión de las Propiedades de la Transformada de Fourier

Después de haber visto la tabla anterior y tener un sentimiento de las proiedades de la CTFT, ahora nos tomaremos un poc más de tiempo para discutir de las propiedades más importantes y útiles.

Linealidad

La combinación de las propiedades de la adición y de la multiplicación escalar de la tabla anterior demuestran la propiedad básica de linealidada. Lo que debe de ver es que si uno toma la Transformada de Fourier de una combinación lineal de señales entonces esta será la misma que la combinación lineal de la transformada de Fourier de cada señal individual. Esto es crucial cuando usamos la tabla de las transformadas para encontrar la transformada de una señal más complicada.

Ejemplo 1

Empezaremos con la siguiente señal:

z⁢t=α⁢ f1 ⁢t+α⁢ f2 ⁢t z t α f1 t α f2 t
(1)
Ahora, después de tomar la transformada de Fourier, mostrada en la siguiente ecuación, notemos que la combinación lineal de los términos no es afectada por la transformada.
Z⁢ω=α⁢ F1 ⁢ω+α⁢ F2 ⁢ω Z ω α F1 ω α F2 ω
(2)

Simetría

La simetría es una propiedad que nos puede hacer la vida más fácil resolviendo problemas que involucran la transformada de Fourier. Basicamente ;p que dice esta propiedad es que ya que la función rectangular en el tiempo es una función sinc en la frecuancia, entonces una función sinc en el tiempo será una función rectangular en la frecuencia. Este es un resultado directo de las similaridades entre la CTFT y la inversa de la CTFT. La única diferencia es que es escalda por 2⁢π2 y una revocación de la frecuancia.

Escalamiento en el Tiempo

Esta propiedad trata con el efecto de la representación del dominio de frecuancia de una señal si la variable tiempo es alterada. El concepto más importante par entender para la propiedad de escalammiento es que las señales que son estrechas en el tiempo son amplias en la frecuancia y vice versa. El ejemplo más sencillo de esto es la función delta, un pulso unitario con una muy pequeña duración, en el tiempo que se convierte en función constante de longitud-infinita en frecuencia.

La tabla anterior muestra esta idea para una transformación general del dominio-tiempo de la señal. Usted debería de ser capaz de notar que esta ecuación muestra la relación mencionada anteriormente: si la variable tiempo incrementa entonces el rango de la frecuencia sera decreciente.

Desplazamiento en el tiempo

El desplazamiento en el tiempo muestra que un desplazo en el tiempo es equivalente a un desplazo de fase lineal en la frecuencia. Ya que el contenido de la frecuencia depende solamente de la forma de la señal, el cual es invariabe en el desplazo en el tiempo, entonces solamente la fase del espectro será alterada. Esta propiedad será provada facilmente usando la Transformada de Fourier, asi que mostraremos los pasos básicos a continuación:

Ejemplo 2

Primero empezaremos dejando que z⁢t=f⁢t−τ z t f t τ . Ahora tomemos la transformada de Fourier con la expresión anterior sustituida para z⁢t z t .

Z⁢ω=∫−∞∞f⁢t−τ⁢e−(j⁢ω⁢t)d t Z ω t f t τ ω t
(3)
Ahora hagamos un pequeño cambio de variables, donde σ=t−τ σ t τ . A través de la calculación antarior, podemos ver que solamente la variable en el exponencial es alterada solo cambiando la fase en el dominio de la frecuencia.
Z⁢ω=∫−∞∞f⁢σ⁢e−(j⁢ω⁢(σ+τ)⁢t)d τ =e−(j⁢ω⁢τ)⁢∫−∞∞f⁢σ⁢e−(j⁢ω⁢σ)d σ =e−(j⁢ω⁢τ)⁢F⁢ω Z ω τ f σ ω σ τ t ω τ σ f σ ω σ ω τ F ω
(4)

Modulació(Desplazo de la Frecuencia)

La modulación es absolutamente imprescindible para las aplicaciones de comunicaiones. Siendo capaces de desplazar una señal a diferentes frecuencias, nos que mas que tomar ventaja de diferentes partes de los espectros del electromagnetismo es lo que nos permite transmitir la televisión, radio y otroas aplicaciones a través del mismo espacio sin interferencia significativa.

La demostración de la propiedad del desplzamiento de la frecuencia es muy similar a la de desplazamiento en el tiempo; Sin embargo, aqui usaremos la transformada inversa de Fourier. Ya que vamos a través de los pasos anteriores, la demostración de desplazamiento ene l tiempo, a continuación solo mostrara los pasos iniciales y finales de esta demostración:

z⁢t=12⁢π⁢∫−∞∞F⁢ω−φ⁢ej⁢ω⁢td ω z t 1 2 ω F ω φ ω t
(5)
Ahora simplemente reducimos esta ecuación por medio de un cambio de variable y simplificando los términos. Después probaremos la propiedad expresada en la tabla anterior:
z⁢t=f⁢t⁢ej⁢φ⁢t z t f t φ t
(6)

Convolución

Convolución es una de las grandes razones para convertir señales en dominios de frecuancia ya que la convolución en el tiempo se convierte en multiplicación en frecuencia. Esta propiedad es también otro buen ejemplo de la simetria entre el tiempo y la frecuencia. También muestra que hay muy poca ganancia cambiando el dominio de frecuancia cuando la multiplicación en el tiempo esta involucrada.

Introduciremos la integral de convolución, pero si no la ha visto anteriormente o necesita refrescar la memoria véase el modulo de convolución de tiempo-continuo para una explicación mas profunda y su derivación.

y⁢t=⁢ f1 ⁢t f2 ⁢t=∫−∞∞ f1 ⁢τ⁢ f2 ⁢t−τd τ y t f1 t f2 t τ f1 τ f2 t τ
(7)

Time Diferenciación

Ya que los sistemas LTI pueden ser representados en términos de ecuaciones diferenciales, es evidente que con esta propiedad que conviertiendo al dominio de frecuencia nos permitirá convertir esta complicada ecuación diferencial a una ecuación más sencilla que involucre multiplicación y adición. Esto también es visto con mas detalle durante el estudi de la Transformada de Laplace .

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