Cuando usamos la transformada-z
Xz=∑n=-∞∞xnz-n
X
z
n
x
n
z
n
(1)
Es de gran ayuda el poder encontrar
xn
x
n
dado
Xz
X
z
.
Existen al menos 4 métodos diferentes para hacer esto:
Este "método" es el familiarizarse con la tabla para los pares de la transformada-z y el usar “ingeniería inversa”.
Dado
Xz=zz-α
X
z
z
z
α
Con un ROC de
|z|>α
z
α
Al “inspeccionar” podemos determinar que
xn=αnun
x
n
α
n
u
n
Cuando tratamos con sistemas lineares de tiempo invariante la transformada-z tiene la forma
Xz=BzAz=∑k=0M
b
k
z-k∑k=0N
a
k
z-k
X
z
B
z
A
z
k
0
M
b
k
z
k
k
0
N
a
k
z
k
(2)
Que también se puede expresar como
Xz=
a
0
b
0
∏k=1M1-
c
k
z-1∏k=1N1-
d
k
z-1
X
z
a
0
b
0
k
1
M
1
c
k
z
k
1
N
1
d
k
z
(3)
donde
c
k
c
k
representa los ceros con valor no ceros de
Xz
X
z
y
d
k
d
k
representa los polos con valores no cero
Si
M<N
M
N
entonces
Xz
X
z
se puede representar por
Xz=∑k=1N
A
k
1-
d
k
z-1
X
z
k
1
N
A
k
1
d
k
z
(4)
Esta forma ayuda el invertir cada termino de la suma usando el
método de inspección y la
tabla de transformadas. Por lo tanto el numerador es un polinomio se vuelve necesario usar la
expansión de fracciones parciales para poder poner
Xz
X
z
en la forma descrita arriba. Si
M≥N
M
N
entonces
Xz
X
z
se puede expresar como
Xz=∑r=0M-N
B
r
z-r+∑k=0N-1
b
k
'
z-k∑k=0N
a
k
z-k
X
z
r
0
M
N
B
r
z
r
k
0
N
1
b
k
'
z
k
k
0
N
a
k
z
k
(5)
Encuentre la transformada inversa-z de
Xz=1+2z-1+z-21+-3z-1+2z-2
X
z
1
2
z
z
-2
1
-3
z
2
z
-2
Donde el ROC es
|z|>2
z
2
.
En este caso
M=N=2
M
N
2
,
así que tenemos que la división larga para obtener
Xz=12+12+72z-11+-3z-1+2z-2
X
z
1
2
1
2
7
2
z
1
-3
z
2
z
-2
Tenemos que factorizar el denominador.
Xz=2+-1+5z-11-2z-11-z-1
X
z
2
-1
5
z
1
2
z
1
z
Ahora utilizamos la expansión de fracciones parciales.
Xz=12+
A
1
1-2z-1+
A
2
1-z-1=12+921-2z-1+-41-z-1
X
z
1
2
A
1
1
2
z
A
2
1
z
1
2
9
2
1
2
z
-4
1
z
Ahora cada término se puede invertir usando el método de inspección y la tabla de transformada-z. ya que la ROC es
|z|>2
z
2
,
xn=12δn+922nun+-4un
x
n
1
2
δ
n
9
2
2
n
u
n
-4
u
n
Cuando la transformada-z es definida con una serie de potencia en la forma de
Xz=∑n=-∞∞xnz-n
Xz
n
x
n
z
n
(6)
entonces cada termino de la secuencia
xn
x
n
se puede terminar al ver los coeficientes del respectivo poder
z-n
z
n
.
Ve la siguiente transformada -z de la secuencia de tamaño finito.
Xz=z21+2z-11-12z-11+z-1=z2+52z+12+-z-1
X
z
z
2
1
2
z
1
1
2
z
1
z
z
2
5
2
z
1
2
z
(7)
En este caso, ya que no hay polos, multiplicamos los factores de
Xz
X
z
.
Al inspecciónala, se vuele claro que
xn=δn+2+52δn+1+12δn+-δn-1
x
n
δ
n
2
5
2
δ
n
1
1
2
δ
n
δ
n
1
.
Una de las ventajas de las series de potencia es que muchas funciones usadas en funciones de ingeniería tienen tabuladas sus series de potencia. Por lo tanto funciones como el Log, seno, exponencial, seno h, etc., se pueden invertir fácilmente.
Suponga
Xz=logn1+αz-1
X
z
n
1
α
z
Al notar que
logn1+x=∑n=1∞-1n+1xnn
n
1
x
n
1
-1
n
1
x
n
n
Entonces
Xz=∑n=1∞-1n+1αnz-nn
X
z
n
1
-1
n
1
α
n
z
n
n
Por lo tanto
Xz=
-1n+1αnnifn≥10ifn≤0
X
z
-1
n
1
α
n
n
n
1
0
n
0
Sin entrar en detalles
xn=12πⅈ∮rXzzn-1dz
x
n
1
2
z
r
X
z
z
n
1
(8)
donde
r
r
es el contorno del lado contrario del reloj en la ROC de
Xz
X
z
circulando el origen del plano-z. Para expandir este método para encontrar la inversa se necesita conocimiento de teoría de variables complejas y esto no se vera en este modulo.
