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Funciones Racionales

Module by: Michael Haag Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Rational Functions por Michael Haag

Summary: Este modulo introdice las funciones racionales y describe algunas de sus propiedades. En particular, explica como se relacionan con la trasformada-z y los sistemas LTI.

Introducción

Cuando usamos operaciones con polinomios, el término de funciones racionales es una manera simple de describir una relación particular entre dos polinomios.
Definition 1: Función Racional
Para dos polinomios cualquiera, A y B, su fracción es conocida cono una función racional.
Ejemplo 
Aquí se muestra un ejemplo de una función racional, fx fx. Note que el numerador y denominador pueden ser polinomios de cualquier orden, pero la función racional es indefinida cuando el denominador es cero.
fx=x2-42x2+x-3 fx x 2 4 2 x 2 x 3 (1)
Si usted ha empezado a usar la transformada-z, usted debió notar que todas las transformadas son funciones racionales. En seguida veremos algunas de las propiedades de las funciones racionales y como se pude usar para reveler características importantes de la transformada-z, y por lo tanto revelar una señal o un sistema LTI.

Propiedades de las Funciones Racionales

Para poder entender lo que hace que las funciones racionales sean tan especiales, tenemos que observar algunas de sus propiedades y características. Si usted esta familiarizado con las funciones racionales y que las funciones básicas de algebra, podrá ir directamente a la siguiente seccion y ver como las funciones racionales nos ayudan a entender la transformada-z.

Raíces

Para entender muchas de las características de las funciones racionales, tenemos que empezar por encontrar las raíces de la función racional. Para ser esto, factoricemos los dos polinomios para poder observar las raíces fácilmente. Como todos los polinomios, las raíces nos darán información sobre muchas de sus propiedades. Esta función nos muestra el resultado que da el factorizar la función racional anterior, ecuación 1.
fx=x+2x-22x+3x-1 fx x 2 x 2 2 x 3 x 1 (2)
Así, las raíces para esta función son las siguientes:
Las raíces del numerador son: -22 -2 2
Las raíces del denominador son: -31 -3 1
note: Para entender las funciones racionales, es esencial el saber y entender las raíces que forman parte de esta función.

Discontinuidades

Ya que estamos viendo la división de dos polinomios, tenemos que ver los valores de la variable que darán que el denominador de nuestra fracción sea cero. Cuando esto pasa, la función racional se vuelve indefinida, por lo tanto, tenemos una discontinuidad en la función. Ya que sabemos nuestras raíces, es muy fácil saber cuando ocurre esto. Cuando tenemos una variable en el denominador igual a cualquier raíz en el denominador, la función se vuelve indefinida.
Ejemplo 1 
Usando la función racional anterior, ecuación 1, podemos observar que función tendrá discontinuidades en los siguientes puntos: x= -31 x -3 1
Con respecto al plano cartesiano podemos decir que las discontinuidades ocurren con respecto al eje de las x. Esta discontinuidades serán asintoticamente vertical en la grafica y representara los valores donde la función esta indefinida.

Dominio

Usando las raíces anteriores, el dominio de la función racional se puede definir.
Definition 2: dominio
El grupo, o conjunto, de valores que son definidos por una función.
Ejemplo 
Usando la función racional anterior, ecuación 1, el dominio se puede definir como cualquier numero real xx donde xx no iguala a 1 o negativa 3. Expresando esto matemáticamente, obtenemos lo siguiente:
{x∈ℝ|x≠-3∧x≠1} x x -3 x 1 (3)

Intercepciones

La intercesión en la x es definida como el punto (s) donde fx fx ,en otras palabras la salida de la función racional iguala a cero. Ya que hemos encontrado las raíces de la función este proceso es muy simple. Usando algebra, sabemos que la salida será cero cuando el numerador de la función igual a cero. Por lo tanto, la función tendrá una intercepciones en xx cuando sea igual a una de las raíces del numerador.
La intercepción y ocurre cuando xx es igual a cero. Se puede encontrar al tener todos los valores de xx igual a cero y resolver la función racional.

Las Funciones Racionales y la Transformada-z

Como ya lo hemos mencionado todas las transformadas-z se pueden escribir como función racional, lo cual es la manera mas común de representar la transformada-z. Por esto, podemos usar las transformadas anteriores especialmente las de la raíces, para reveler algunas de las características de la señal o sistema LTI descritos por la transformada-z.
La siguiente ecuación muestra la forma general de escribir la transformada-z como una función racional:
Xz= b 0 + b 1 z-1+…+ b M z-M a 0 + a 1 z-1+…+ a N z-N Xz b 0 b 1 z -1 … b M z M a 0 a 1 z -1 … a N z N (4)
Si usted ya vio el modulo titulado el entender graficas de polos y ceros y la transformada-z, usted sabrá como las raíces de las funciones racionales forman un papel importante para entender la transformada-z. La ecuación anterior, ecuación 4, se puede expresar en una forma factorizada similar la función racional vista anterior menta, vea ecuación 2. Por lo tanto podemos encontrar las raíces del numerador y denominador de la transformada-z. Las siguientes dos relaciones se vuelven obvias:
    Relación de Raíces en Polos y Ceros
  • Las raíces del numerado en la función racional son lo ceros en la transformada-z
  • Las raíces en el nominador de la función racional son los polos de la transformada-z

Conclusión

Una vez que usemos nuestro conocimiento de funciones razónales para encontrar sus raíces, podemos manipular una transformada-z en varias maneras útiles. Podemos usar este conocimiento para representar un sistema LTI gráficamente usando una grafica de polos y ceros, o para analizar o diseñar un filtro digital a través de la transformada-z.

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