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Muestreo

Module by: Justin Romberg. E-mail the authorTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Sampling by Justin Romberg

Summary: Este modulo trata con la traslación de problemas de tiempo continuo a problemas de tiempo discreto.

Introducción

Una computadora puede procesar señales de tiempo discreto usando un lagoritmo extremandamente flexible y poderoso. Mas sin embargo la mayoria de las señales de interes son de tiempo continuo, que es como casi siempre aparecen al natural.

Este modulo introduce la idea de trasladar los problemas de tiempo continuo en unos de tiempo discreto, y podra leer más de los detalles de la importancia de el muestreo.

Preguntas clave

  • ¿Cómo pasamos de una señal de tiempo continuo a una señal de tiempo discreto (muestreo, A/D)?
  • ¿Cuándo podemos reconstruir una señal CT exacta de sus muestras (reconstrucción, D/A)?
  • ¿Manipular la señal DT es lo que reconstruir la señal?

Muestreo

Muestreo (y reconstrucción) son los mejores entendimiento en dominio de frecuencia. Empezaremos viendo algunos ejemplos:

Exercise 1

¿Qué señal CT f⁢t f t tiene la CTFT mostrada anterirormente? f⁢t=12⁢π⁢∫−∞∞F⁢i⁢w⁢ei⁢w⁢td w f t 1 2 w F w w t

Figura 1: La (Transformada de Fourier de Tiempo Continuo)CTFT de f⁢t f t .
Figura 1 (samp1.png)

Pista: F⁢i⁢w= F 1 ⁢i⁢w* F 2 ⁢i⁢w F w F 1 w F 2 w donde las dos partes de F⁢i⁢w F w son:

Figura 2
(a) (b)
Figura 2(a) (samp2.png)Figura 2(b) (samp3.png)

Solution

f⁢t=12⁢π⁢∫−∞∞F⁢i⁢w⁢ei⁢w⁢td w f t 1 2 w F w w t

Exercise 2

¿Qué señal DT f s ⁢n f s n tiene la DTFT mostrada anteriormente? f s ⁢n=12⁢π⁢∫−ππ f s ⁢ei⁢w⁢ei⁢w⁢nd w f s n 1 2 w f s w w n

Figura 3: DTFT que es périodica (con period=2⁢π period 2 ) versión de F⁢i⁢w F w en la figura 1.
Figura 3 (samp4.png)

Solution

Ya que F⁢i⁢w=0 F w 0 afuera de -2 2 -2 2 f⁢t=12⁢π⁢∫-22F⁢i⁢w⁢ei⁢w⁢td w f t 1 2 w -2 2 F w w t También , ya que solo utilizamos un intervalo para reconstruir f s ⁢n f s n de su DTFT, tenemos f s ⁢n=12⁢π⁢∫-22 f s ⁢ei⁢w⁢ei⁢w⁢nd w f s n 1 2 w -2 2 f s w w n Ya que F⁢i⁢w= F s ⁢ei⁢w F w F s w en -2 2 -2 2 f s ⁢n=f⁢t| t =n f s n t n f t es decir f s ⁢n f s n es una versión muestreada de f⁢t f t .

Figura 4: f⁢t f t es la señal de tiempo-continuo anterior y f s ⁢n f s n es la versión muestreada de tiempo-discreto de f⁢t f t
Figura 4 (samp_big.png)

Generalización

Por supuesto, que los resultados de los ejemplos anteriores pueden ser generalizados a cualquier f⁢t f t con F⁢i⁢w=0 F w 0 , |w|>π w , donde f⁢t f t es limitado en banda a −π π .

Figura 5: F⁢i⁢w F w es la CTFT de f⁢t f t .
(a) (b)
Figura 5(a) (samp_g1.png)Figura 5(b) (samp_g2.png)
Figura 6: F s ⁢ei⁢w F s w es la DTFT de f s ⁢n f s n .
(a) (b)
Figura 6(a) (samp_g3.png)Figura 6(b) (samp_g4.png)

F s ⁢ei⁢w F s w es períodico (con período 2⁢π 2 ) versión de F⁢i⁢w F w . F s ⁢ei⁢w F s w es la DTFT de muestreo de señal en los enteros. F⁢i⁢w F w es la CTFT de señal.

conclusion:

Si f⁢t f t es limitado en banda para −π π entonces la DTFT de la versión muestreada f s ⁢n=f⁢n f s n f n es solo periódica (con período 2⁢π 2 ) versión de F⁢i⁢w F w .

Cambiando una Señal Discreta en una Señal Continua

Ahora veamos como cambiar una señal DT en una señal continua en el tiempo. Sea f s ⁢n f s n una señal DT con DTFT F s ⁢ei⁢w F s w

Figura 7: F s ⁢ei⁢w F s w es la DTFT de f s ⁢n f s n .
(a) (b)
Figura 7(a) (samp_e1.png)Figura 7(b) (samp_e2.png)

Ahora, sea f imp ⁢t=∑ n =−∞∞ f s ⁢n⁢δ⁢t−n f imp t n f s n δ t n La señal CT, f imp ⁢t f imp t , es no-cero solo en los enteros donde hay implulsos de altura f s ⁢n f s n .

Figura 8
Figura 8 (samp_e3.png)

Exercise 3

¿Cúal es la CTFT de f imp ⁢t f imp t ?

Solution

f imp ⁢t=∑ n =−∞∞ f s ⁢n⁢δ⁢t−n f imp t n f s n δ t n

F ∼ imp ⁢i⁢w=∫−∞∞ f imp ⁢t⁢e−(i⁢w⁢t)d t =∫−∞∞∑ n =−∞∞ f s ⁢n⁢δ⁢t−n⁢e−(i⁢w⁢t)d t =∑ n =−∞∞ f s ⁢n⁢∫−∞∞δ⁢t−n⁢e−(i⁢w⁢t)d t =∑ n =−∞∞ f s ⁢n⁢e−(i⁢w⁢n)= F s ⁢ei⁢w F ∼ imp w t f imp t w t t n f s n δ t n w t n f s n t δ t n w t n f s n w n F s w
(1)

Así que la CTFT de f imp ⁢t f imp t es igual a la DTFT de f s ⁢n f s n

nota:
Usamos la propiedad de desplazamiento para mostrar ∫−∞∞δ⁢t−n⁢e−(i⁢w⁢t)d t =e−(i⁢w⁢n) t δ t n w t w n

Ahora, dadas las muestras f s ⁢n f s n de un limitado en banda para la señal −π π , nuestro siguiente paso es ver como podemos reconstruir f⁢t f t .

Figura 9: Diagrama de bloque mostrando cada paso básico usado para reconstruir f⁢t f t . ¿Podemos hacer nuestro resultado igual a f⁢t f t exactamente?
Figura 9 (samp_blka.png)

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