Introducción a los Polos y Ceros de la Trasformada-z

Después de encontrar la transformada-z del sistema, uno puede usar la información del polinomio para representar la función gráficamente y así observar sus características. La transformada-z tendrá la siguiente estructura, basada en las funciones racionales:

Los dos polinomios, PzPz y QzQz, nos dejan encontrar los polos y ceros de la transformada-z.

Definition 1: ceros

1. valor(es) dezz donde Pz=0 Pz 0.

2. Las frecuencias complejas que hacen que la ganancia de la función de transferencia del filtro sea cero.

Definition 2: polos

1. valor(es) de zz donde Qz=0 Qz 0.

2. Las frecuencias complejas que hacen que la ganancia de la función de transferencia del filtro sea infinita.

El Plano-z

Después de encontrar los polos y ceros de una trasformada-z, se pueden graficar en el plano-z. El plano-z es un plano complejo con ejes reales e imaginarios para la variable compleja de zz. La posición del plano complejo es dada por rⅇⅈθ r θ y el ángulo se da del lado positive del eje real del plano y se escribe θθ. Al graficar los polos y ceros, los polos son mostrados con "x" y los ceros con "o". La siguiente figura muestra el plano-z, así como algunos ejemplos de como graficar polos y ceros en algún lugar particular en el plano.

Figura 1

Plano-Z

Ejemplos de Graficas de Polos y Ceros

Esta sección contiene ejemplos de como encontrar polos y ceros de una función de transferencia y el como graficarlos en el plano-z.

Ejemplo 2: Grafica Simple de Polos y Ceros

Hz=zz−12z+34 Hz z z 1 2 z 3 4

Los ceros son: 0 0

Los polos son: 12-34 1 2 3 4

Figura 2: Usando los ceros y polos de la funcion de transferencia, un cero es graficado a el valor cero y los dos polos se colocan en 1212 y -3434

Graficas de Polos y Ceros

Ejemplo 3: Grafica Compleja de Polos y Ceros

Hz=z−ⅈz+ⅈz−(12−12ⅈ)z−12+12ⅈ Hz z z z 1 2 1 2 z 1 2 1 2

Los ceros son: ⅈ-ⅈ

Los polos son: -112+12ⅈ12−12ⅈ 1 1 2 1 2 1 2 1 2

Figura 3: Usando los ceros y polos de la funcion de transferencia, los ceros son graficados en ±ⅈ± , los polos son colocados en -11, 12+12ⅈ 1 2 1 2 y 12−12ⅈ 1 2 1 2

Graficas de Polos y Ceros

MATLAB- si se usa este programa, entonces usted podrá usar funciones que crean este tipo de graficas rápidamente. Abajo se muestra un programa que grafica polos y ceros del ejemplo anterior.

	
	% Set up vector for zeros
	z = [j ; -j];

	% Set up vector for poles
	p = [-1 ; .5+.5j ; .5-.5j];

	figure(1);
	zplane(z,p);
	title('Pole/Zero Plot for Complex Pole/Zero Plot Example');
	
      

Graficas de Polos y Ceros y la Región de Convergencia

La región de convergencia (ROC) para XzXz en el plano-z de puede determinar de la grafica de polos y ceros. Aunque varias ROC pueden existir, donde cada una corresponde a una respuesta al impulse diferente, existen opciones que son mas practicas. Un ROC se puede escoger para hacer la función de transferencia causal y/o estable dependiendo de la grafica de polos y ceros.

Ejemplo 4

Hz=zz−12z+34 Hz z z 1 2 z 3 4

Figura 4: La area representa la ROC para la funcion de transferencia.

La región de convergencia para la grafica de polos y ceros

Respuesta de Frecuencia y el Plano-Z

La razón por lo cual es importante el entender y crear las graficas de polos y ceros es su habilidad de ayudar en el diseño de filtros. Basado en la locación de los polos y ceros, la respuesta de la magnitud del filtro se puede comprender. Al empezar con este tipo de grafica, uno puede diseñar un filtro y obtener su función de transferencia fácilmente. Vea esta sección para obtener información sobre la relación de la grafica de polos y ceros con la respuesta de frecuencia.