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Diseño de Filtros usando la Grafica de Polos y Ceros de la Transformada-Z

Module by: Michael Haag Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Filter Design using the Pole/Zero Plot of a Z-Transform por Michael Haag

Summary: Describe el como diseñar un filtro de la Transformada-Z y su grafica de polos y ceros.

Estimando la Respuesta de Frecuencia de un Plano-Z

Un factor de motivación para el análisis de la grafica de polos y ceros es la relación de la respuesta de frecuencia del sistema. Basado en la posición de los polos y ceros, uno puede determinar la respuesta de la frecuencia. Este es un resultado de la correlación entre la repuesta de frecuencia y la función de transferencia evaluada en el círculo unitario de la grafica de polos y ceros. La respuesta de frecuencia, o DTFT, del sistema es definida por:
Hw=Hz|z,z=ⅇⅈw=∑k=0M b k ⅇ-ⅈwk∑k=0N a k ⅇ-ⅈwk Hw z w Hz k 0 M b k w k k 0 N a k w k (1)
Al factorizar la función de transferencia a sus polos y ceros y el multiplicar el numerador y denominador por ⅇⅈww se obtiene lo siguiente:
Hw=| b 0 a 0 |∏k=1M|ⅇⅈw- c k |∏k=1N|ⅇⅈw- d k | Hw b 0 a 0 k 1 M w c k k 1 N w d k (2)
De la ecuación 2 obtenemos la respuesta de frecuencia en una forma que se puede usar para interpretar las características físicas de las respuesta de frecuencia del filtro. El numerador y denominador contienen un producto en términos de la forma |ⅇⅈw-h| w h , donde hh es cero, marcado por c k c k o un polo, descrito por d k d k . Los vectores son usados para representar el término y sus partes en el plano complejo. El polo o cero, hh, es un vector que viene del origen a la su lugar en cualquier parte del plano complejo y ⅇⅈw w es un vector que viene del origen hasta una posición en el circulo unitario. El vector que conecta estos dos puntos, |ⅇⅈw-h| w h , conecta el polo o cero a un lugar en el circulo unitario que depende del valor de ww. De esto, podemos empezar entender como la magnitud de la respuesta de frecuencia es un radio de distancias de polos y ceros presente en el plano-z y ww va de cero a pi. Estas características no ayudan a entender.|Hw|Hw de la siguiente manera:
|Hw|=| b 0 a 0 |∏"distancias de los ceros"∏"distancias de los polos" Hw b 0 a 0 ∏ "distancias de los ceros" ∏ "distancias de los polos" (3)
En conclusión, usando las distancias del círculo unitario a los polos y ceros, podemos graficar la respuesta de la frecuencia del sistema. Cuando ww va de 00 a 2π 2 , las siguientes dos propiedades, tomadas de las ecuaciones anteriores, especifican como se debe graficar |Hw| Hw .
    Mientras se mueva alrededor del círculo unitario…
  1. si esta cercas de un cero, la magnitud es chica. Si el cero esta sobre el circulo unitario, entonces la respuesta de frecuencia es cero en eso punto.
  2. si esta cercas de un polo, la magnitud es grande. Si el polo esta sobre el circulo unitario, entonces la respuesta de frecuencia es infinita en ese punto.

Graficando la Respuesta de Frecuencia de una Grafica de Polos y Ceros

Veremos varios ejemplos donde se determina la magnitud de la respuesta de frecuencia de aun grafica de polos y ceros de una transformada-z. Si se le olvido o no sabe que es una grafica de polos y ceros, vea el modulo de graficas de polos y ceros.
Ejemplo 1 
En este ejemplo, tomaremos una transformada-z sencilla mostrada aquí: Hz=z+1=1+z-1 Hz z 1 1 z -1 Hw=1+ⅇ-ⅈw Hw 1 w Para este ejemplo, algunos de los vectores representados por |ⅇⅈw-h| w h , para valores aleatorios de ww, son graficados específicamente en el plano complejo, visto en la siguenta figura. Estos vectores muestran como la amplitud de la respuesta de frecuencia cambia cuando ww va de 00 a 2π2, también muestra el significado físico en términos de ecuación 2. Se puede observar que cuando w=0w0, el vector es mayor así que la respuesta de frecuencia tendrá la mayor amplitud. Cuando ww se acerca a π, el tamaño del vector disminuye junto con la amplitud de |Hw|Hw. Ya que la transformada no contiene polos, nada mas tenemos un vector en vez de un radio como en la ecuación 2.
Grafica de polos y cerosRespuesta de Frecuancia: |H(w)|
filt_eg1_pz.jpgfilt_eg1_fig.jpg
Subfigure 1.1
Subfigure 1.2
Figura 1: La primera figura reprecenta la grafica de polos y ceros con unos cuantos vectores, la segunda muestra la respuesta de frecuancia que es maxima en +2 y es graficada entre positivo y negativo π.
Ejemplo 2 
En este ejemplo, una función de transferencia más compleja es analizada para poder representar la respuesta de la frecuencia del sistema Hz=zz-12=11-12z-1 Hz z z 1 2 1 1 1 2 z -1 Hw=11-12ⅇ-ⅈw Hw 1 1 1 2 w
Pedemos observar dos figures que describes las ecuaciones anteriores. La cnxn target="eg2_fig1"/> representa la grafica sencilla de polos y ceros de la transformada-z, HwHw. subfigure 2.2 La secunda figura muestra la magnitud de la respuesta de frecuencia. Usando las formulas y lo dicho en la sección anterior, podemos ver que cuando w=0w0 la frecuencia será máxima ya que en este valor de, ww el polo esta mas cerca del circulo unitario. El radio de la ecuación 2 nos ayuda a ver la conducción matemáticamente y ver la relación entre las distancias del circulo unitario y los polos y los ceros. Cuando ww se mueve de 00 a π, observamos como el cero empieza a cubrir los efectos del polo y así hacer que la respuesta de frecuencia se vuelve casi igual a 00.
Grafica de Polos y CerosRespuesta de Frecuencia: |H(w)|
filt_eg2_pz.jpgfilt_eg2_freq.jpg
Subfigure 2.1
Subfigure 2.2
Figura 2: La primera fir=gura representa la grafica de polos y ceros, la segunda muestra la respuesta de frecuencia que es maxima en +2 y es graficada entre positivo y negativo π.

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