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Reconstrucción

Module by: Justin Romberg. E-mail the authorTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Reconstruction by Justin Romberg

Summary: Este modulo describe la reconstrucción (también conocida como interpolación).

Introduction

El proceso de reconstrucción empieza tomando una señal muestreada, que estará en tiempo discreto, y haciendo unas operaciones para poder convertirla en tiempo-continuo y con algo de suerte en una copia de la señal original. Un método básico usado para reconstruir una señal limitada en banda de −π π de sus muestras en los enteros es hacer los siguientes pasos:

  • cambiar muestra de la secuencia fs ⁢n fs n en un tren de impulso fimp ⁢t fimp t
  • filtro pasa bajas fimp ⁢t fimp t para obtener la reconstrucción f ~ ⁢t f ~ t ( freq. = π)

Figura 1: Diagrama de bloque de reconstrucción con el filtro pasa bajas (lowpass filter (LPF)).
Figura 1 (recon_blka.png)

La respuesta al impulso del filtro pasa bajas es g⁢t g t . La siguiente ecuación nos permite reconstruir nuestra señal (figura 2), f ~ ⁢t f ~ t .

f ~ ⁢t=g⁢t⁢ fimp ⁢t=g⁢t⁢∑n=−∞∞ fs ⁢n⁢δ⁢t−n= f ~ ⁢t=∑n=−∞∞ fs ⁢n⁢(g⁢t⁢δ⁢t−n)=∑n=−∞∞ fs ⁢n⁢g⁢t−n f ~ t g t fimp t g t n fs n δ t n f ~ t n fs n g t δ t n n fs n g t n
(1)

Figura 2:
Figura 2 (recon_blk2.png)

Ejemplos de Filtros g

Ejemplo 1: Filtros de Orden Cero

Este tipo de "filtro" es uno de los más básicos en los filtros de reconstrucción. Este simplemente mantiene el valor que esta en el fs ⁢n fs n para ττ segundos. Esto crea un bloque o pasos como función donde cada valor del pulso en fs ⁢n fs n es simplemente arrastrado al siguiente pulso. La siguiente ecuación y la ilustración representan como el filtro de reconstrucción funciona con la siguiente gg: g⁢t={1  if  0<t<τ0  otherwise   g t 1 0 t τ 0

fs ⁢n=∑n=−∞∞ fs ⁢n⁢g⁢t−n fs n n fs n g t n
(2)

Figura 3: Mantiene el Orden Cero
(a) (b)
Figura 3(a) (receg_f1.png)Figura 3(b) (receg_f2.png)

pregunta:
¿Cómo es que f ~ ⁢t f ~ t reconstruida con orden cero se compara con la original f⁢t f t en el domionio de frecuencia?

Ejemplo 2: Orden N-esimo

Aquí veremos algunos ejemplos rápidos de la varianza del filtro de orden cero visto en el ejemplo anterior.

Figura 4: Ejemplo de N-esimo Orden (n-esimo orden es igual a un B-spline de n-esimo orden)
(a) Primer Orden
Figura 4(a) (recf_f1a.png)
(b) Segundo Orden
Figura 4(b) (recf_f2a.png)
(c) Orden ∞
Figura 4(c) (recf_f3a.png)

Último Filtro de Reconstrucción

pregunta:

¿Cúal es el último filtro de reconstrucción?

Recordando que ( figura 5)

Figura 5: Diagrama de bloque de nuestra reconstrucción. Notese que cada una de estas señales tiene su propia CTFT o DTFT correspondiente.
Figura 5 (recon_blk3a.png)

Si G⁢j⁢ω G ω tiene la siguiente forma (figura 6):

Figura 6: Filtro pasa baja ideal
Figura 6 (square_wv.png)

entonces f ~ ⁢t=f⁢t f ~ t f t Por lo tanto,¡un filtro pasa baja ideal nos dara una reconstrucción perfecta!

En el dominio en el tiempo, la respuesta al impulso

g⁢t=sinπ⁢tπ⁢t g t t t
(3)
f ~ ⁢t=∑n=−∞∞ fs ⁢n⁢g⁢t−n=∑n=−∞∞ fs ⁢n⁢sinπ⁢(t−n)π⁢(t−n)=f⁢t f ~ t n fs n g t n n fs n t n t n f t
(4)

Conclusiones sorprendentes

Si f⁢t f t es limitado en banda a −π π , puede ser reconstruido perfectamente de su muestra en lo enteros fs ⁢n=f⁢t|t=n fs n t n f t

f⁢t=∑n=−∞∞ fs ⁢n⁢sinπ⁢(t−n)π⁢(t−n) f t n fs n t n t n
(5)

La ecuación anterior para una reconstrucción perfecta merece una mirada más cercana, que se verá en la siguiente sección para un mejor entendimiento de la recostrucción. Aquí estan algunas cosas para empezar a pensar en ellas por ahorita:

  • ¿ Que sinπ⁢(t−n)π⁢(t−n) t n t n iguala a los enteros diferentes a n?
  • ¿Cúal es el soporte de sinπ⁢(t−n)π⁢(t−n) t n t n ?

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