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Más sobre Reconstrucción Perfecta

Module by: Roy Ha, Justin Romberg Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: More on Perfect Reconstruction por Roy Ha, Justin Romberg

Summary: Este modulo examina la idea y detras de la formula de reconstrucción perfecta más a fondo.

Introducción

En el modulo previo en reconstrucción, dimos una introducción de como trabaja la reconstrucción y temporalemte derivamos una ecuación usada para realizar una perfecta reconstrucción. Ahora tomemos un vistazo más cercano a la formula de la reconstrucción perfecta:

ft=∑n=-∞∞ f s sinπt-nπt-n f t n f s t n t n (1)
Escribiremos ft f t en términos de las funciones sinc desplazadas y escaladas sinπt-nπt-n n∈ℤ t n t n n es una base para el espacio de señales limitadas en bada -ππ . Pero espere . . . .

Formulas de la Derivada de Reconstrucción

¿Que es

<sinπt-nπt-n,sinπt-kπt-k>=? t n t n t k t k ? (2)
Este producto interno puede ser difícil de calcular en el dominio del tiempo, asi que usaremos el Teorema de Plancharel
<·,·>=12π∫-ππⅇ-ⅈωnⅇⅈωkdω · · 1 2 ω ω n ω k (3)

Figura 1
Subfigure 1.1
Subfigure 1.1 (fig1a.png)
Subfigure 1.2
Subfigure 1.2 (fig1b.png)

si n=k n k

< sinc n , sinc k >=12π∫-ππⅇ-ⅈωnⅇⅈωkdω=1 sinc n sinc k 1 2 ω ω n ω k 1 (4)
si n≠k n k
< sinc n , sinc k >=12π∫-ππⅇ-ⅈωnⅇⅈωndω=12π∫-ππⅇⅈωk-ndω=12πsinπk-nⅈk-n=0 sinc n sinc k 1 2 ω ω n ω n 1 2 ω ω k n 1 2 k n k n 0 (5)

nota:

En la ecuación 5 usamos el echo de que la integral de la senosoidal en un intervalo completo es 0 para simplificar nuestra ecuación.
Así,
<sinπt-nπt-n,sinπt-kπt-k>=1ifn=k0ifn≠k t n t n t k t k 1 n k 0 n k (6)
Por lo tanto sinπt-nπt-n n∈ℤ t n t n n es una base ortonormal (ONB) para el espacio de funciones limitadas de banda de -ππ .

muestreo:

Muestreo es lo mismo que calcular los coeficientes de ONB, que es el producto interno con sincs

Resumen

Una última vez para ft f t -ππ limitado en banda

Síntesis

ft=∑n=-∞∞ f s nsinπt-nπt-n f t n f s n t n t n (7)

Análisis

f s n=ft| t=n f s n t n f t (8)
Para poder entender un poco más sobre como podemos reconstruir una señal exacatamente, será útil examinar la relación entre las transformadas de Fourier (CTFT y DTFT) a más profundidad.

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