En el modulo previo en reconstrucción, dimos una introducción de como trabaja la reconstrucción y temporalemte derivamos una ecuación usada para realizar una perfecta reconstrucción. Ahora tomemos un vistazo más cercano a la formula de la reconstrucción perfecta:
ft=∑n=-∞∞
f
s
sinπt-nπt-n
f
t
n
f
s
t
n
t
n
(1)
Escribiremos
ft
f
t
en términos de las funciones sinc desplazadas y escaladas
sinπt-nπt-n
n∈ℤ
t
n
t
n
n
es una
base para el espacio de señales limitadas en bada
-ππ
. Pero espere . . . .
¿Que es
<sinπt-nπt-n,sinπt-kπt-k>=?
t
n
t
n
t
k
t
k
?
(2)
Este
producto interno
puede ser difícil de calcular en el dominio del tiempo, asi que usaremos el
Teorema de Plancharel
<·,·>=12π∫-ππⅇ-ⅈωnⅇⅈωkdω
·
·
1
2
ω
ω
n
ω
k
(3)
si
n=k
n
k
<
sinc
n
,
sinc
k
>=12π∫-ππⅇ-ⅈωnⅇⅈωkdω=1
sinc
n
sinc
k
1
2
ω
ω
n
ω
k
1
(4)
si
n≠k
n
k
<
sinc
n
,
sinc
k
>=12π∫-ππⅇ-ⅈωnⅇⅈωndω=12π∫-ππⅇⅈωk-ndω=12πsinπk-nⅈk-n=0
sinc
n
sinc
k
1
2
ω
ω
n
ω
n
1
2
ω
ω
k
n
1
2
k
n
k
n
0
(5)
En la
ecuación 5 usamos el echo de que la integral de la senosoidal en un intervalo completo es 0 para simplificar nuestra ecuación.
Así,
<sinπt-nπt-n,sinπt-kπt-k>=1ifn=k0ifn≠k
t
n
t
n
t
k
t
k
1
n
k
0
n
k
(6)
Por lo tanto
sinπt-nπt-n
n∈ℤ
t
n
t
n
n
es una
base ortonormal (ONB) para el espacio de funciones limitadas de banda de
-ππ
.
Muestreo es lo mismo que calcular los coeficientes de ONB,
que es el producto interno con sincs
Una última vez para
ft
f
t
-ππ
limitado en banda
ft=∑n=-∞∞
f
s
nsinπt-nπt-n
f
t
n
f
s
n
t
n
t
n
(7)
f
s
n=ft|
t=n
f
s
n
t
n
f
t
(8)
Para poder entender un poco más sobre como podemos reconstruir una señal exacatamente, será útil
examinar la relación entre las transformadas de Fourier (CTFT
y DTFT) a más profundidad.