Anteriormente habia estado expuesto a los conceptos detras del
muestreo y el teorema de muestreo. Mientras aprendía estas ideas, debio haber empezado a notar que si muestreamos a muy bajo valor, hay una oportunidad que nuestra señal original no sea únicamente definida por nuestra señal muestreada. Si esto sucede, entonces no es garantia de que recontruyamos correctamente la señal.
Como resultado de esto, el Teorema de Nyquist ha sido creado. A continuación veremos exactamente lo que este torema nos dice.
Sea TT igual a nuestro período de muestreo (distancia entre las muestras). Después sea
Ωs=2πT
Ωs
2
T
(frecuencia de muestreo radianes/seg). Hemos visto que si
ft
f
t
es limitado en banda en
-ΩBΩB
ΩB
ΩB
y muestreamos con período
T<πΩb⇒2πΩs<πΩB⇒Ωs>2ΩB
T
Ωb
2
Ωs
ΩB
Ωs
2
ΩB
entonces podemos reconstruir
ft
f
t
de sus muestras.
Si
ft
f
t
es limitado en banda a
-ΩBΩB
ΩB
ΩB
, podemos reconstruirlo
perfectamente de sus muestras
fsn=fnT
fs
n
f
n
T
para
Ωs=2πT>2ΩB
Ωs
2
T
2
ΩB
ΩN=2ΩB
ΩN
2
ΩB
es llamada la "frecuencia Nyquist " para
ft
f
t
. Para la reconstrucción perfecta de ser posible
Ωs≥2ΩB
Ωs
2
ΩB
donde
Ωs
Ωs
es la frecuancia de muestreo y
ΩB
ΩB
es la frecuencia más alta en la señal.
-
El oído humano oye frecuencias hasta 20 kHz → CD el valor de la muestra es 44.1 kHz.
-
La linea telefónica pasa frecuencias de hasta 4 kHz →
la muestra de la compañia de telefonos es de 8 kHz.
La formula de la reconstrucción en el dominio del tiempo se ve como
ft=∑n=-∞∞fsnsinπTt-nTπTt-nT
f
t
n
fs
n
T
t
n
T
T
t
n
T
Podemos concluir, desde antes que
∀n,n∈ℤ:sinπTt-nTπTt-nT
n
n
T
t
n
T
T
t
n
T
es una base para el espacio de
-ΩBΩB
ΩB
ΩB
funciones limitadas en banda,
ΩB=πT
ΩB
T
. Los coeficientes de expansión para esta base son calculados muestreando
ft
f
t
en el valor
2πT=2ΩB
2
T
2
ΩB
.
La base también es ortogonal. Para hacerla
ortonormal, necesitamos un factor de normalización de
T
T
.
¿Que pasa si
Ωs<2ΩB
Ωs
2
ΩB
? ¿Qué sucede cuando muestreamos abajo del valor de Nyquist?
Vayase a través de los pasos: (véase la figura 2)
Finalmente, ¿Qué le pasara ahora a
F
s
ⅇⅈω
F
s
ω
? Para contestar esta última pregunta, necesitamos ver el concepto de aliasing.