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La Transformada de Laplace

Module by: Richard Baraniuk Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: The Laplace Transforms por Richard Baraniuk

Summary: Describe la Transformada de Laplace.

La transformada de Laplace es una generalización de la Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo. Sin embargo, en lugar de usar funciones senosoidales complejas de la forma ⅇⅈωt ω t , como lo hace la CTFT, la transformada de laplace utiliza una forma más generalizada, ⅇst s t , donde s=σ+ⅈω s σ ω .
Aunque las transformadas de Laplace rara vez se resuelven mediante integración (si no por medio de tabla y uso de computadoras (por ejemplo Matlab) es más comun), aquí veremos los pares bilaterales de la transformada de Laplace . Esto define la transformada de Laplace y su inversa. Notese las similitudes entre la transformada de Laplace y su inversa. Esto nos dara como resultado muchas de las simetrias encontradas en el análisis de Fourier.
Transformada de Laplace Fs=∫-∞∞ftⅇ-stdt F s t f t s t (1)
Transformada Inversa de Laplace ft=12πⅈ∫c-ⅈ∞c+ⅈ∞Fsⅇstds f t 1 2 s c c F s s t (2)

Encontrando la Transformada de Laplace y su Inversa

Resolviendo la Integral

Probablemente el método más difícil y menos usado para encontrar la Transformada de Laplace es resolviendo la integral. Aunque es técnicamente posible es extremadamente consumidor de tiempo. Dada la facilidad de los siguientes dos métodos para encontrarla, no se vera de otra manera. Las integrales estan primordialmente para entender de donde se originan los siguientes métodos.

Usando una Computadora

El uso de una computadora para encontrar la transformada de Laplace es relativamente sencillo. Matlab tiene dos funciones, laplace e ilaplace, las dos forman parte de las librerias simbolicas, y encontraremos la transformada de Laplace y su inversa respectivamente. Este método es preferido generalmente para funciones más complicadas. Funciones más sencillas e ideales usualmente se encuetran más facil mediante el uso de tablas.

Usando Tablas

Cuando se aprende por primera vez la transformada de Laplace, las tablas es la forma más comun para encontrarla. Con suficiente práctica las tablas se hacen inecesarias. Para el proposito de sta sección, nos enfocaremos en la transformada inversa de Laplace, dado que la gran parte del diseño de aplicaciones empieza en el dominio de Laplace y dan como resultado una solución en el dominio del tiempo. El método es el siguiente:
  1. Se escribe la función que se desea transformar Hs H s , como la suma de otras funciones Hs=∑i=1m H i s H s i 1 m H i s donde cada una de las H i H i se encuentra en la tabla.
  2. Invertir cada H i s H i s para obtener su h i t h i t .
  3. Se suma cada h i t h i t para obtener ht=∑i=1m h i t h t i 1 m h i t
Ejemplo 1 
Calcule ht h t para ∀s,ℜs>-5:Hs=1s+5 s s -5 H s 1 s 5
Esto puede ser resuelto directamente usando la tabla para ser ht=ⅇ-5t h t 5 t
Ejemplo 2 
Encontrar la representación en el dominio del tiempo ht h t , de ∀s,ℜs>-10:Hs=25s+10 s s -10 H s 25 s 10
Para resolver esto, primero notemos que Hs H s también puede ser escrito como 251s+10 25 1 s 10 . Entonces podemos ir a la tabla para encontrar ht=25ⅇ-10t h t 25 10 t
Ejemplo 3 
Podemos extender los dos ejemplos anteriores encontrando ht h t para ∀s,ℜs>-5:Hs=1s+5+25s+10 s s 5 H s 1 s 5 25 s 10
Para realizar esto, tomamos ventaja de la propiedad de aditividad y linealidad y el método de los tres pasos descrito anteriormente para obtner como resultado ht=ⅇ-5t+25ⅇ-10t h t 5 t 25 10 t
Para ejemplos más complicados, seriá más difícil descomponer la función de transferencia en partes que se encuentren en la tabla. En este caso, es necesario el uso de expansión en fracciones parciales para obtener la función de transferencia en una forma más útil.

Visualizando la Transformada de Laplace

Con la transfromada de Fourier, tenemos una función de valores complejos de variables puramente imaginarias Fⅈω F ω . Esto es algo que se podría visualizar mediante gráficas en 2-dimensiones (parte real e imaginaria o magnitud y fase). Sin emabrgo, con Laplace tenemos una función de valores complejos de una variable compleja. Para examinar la magnitud y la fase o la parte real e imaginaria de esta función, debemos examinar la gráfica de superficie en 3-dimensiones de cada componente.
Ejemplo de gráficas real e imaginaria
Subfigure 1.1: La parte real de Hs H s
Subfigure 1.2: La parte Imaginaria de Hs H s
Figura 1: Parte real e imaginaria de Hs H s son cada una superficies en 3-dimensiones.
Ejemplos de gráficas de magnitud y fase
Subfigure 2.1: La magnitud de Hs H s
Subfigure 2.2: La fase de Hs H s
Figura 2: Magnitud y Fase de Hs H s son también superficies en 3-dimensiones. Esta representación es más comun que las partes real e imaginaria.
Mientras que estas son maneras legitimas de ver una señal en el dominio de Laplace, es algo difícil dibujarlas y analizarlas. Por esta razon, un método más sencillo ha sido desarrollado; que aquí no será discutido a detalle, el métode de Polos y Ceros donde es mucho más sencillo de entender la Transformada de Laplace y su contraparte discreta en el tiempo la Transformada Z y son representadas gráficamente.

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