Sistemas Lineales de Tiempo-Continuo Físicamente realizable, los sistemas lineales invariantes en el tiempo pueden ser descritos por un conjuto de ecuaciones lineales diferenciales:

Describción gráfica de un sistema básico lineal invariante en el tiempo con una entrada, f t y una salida, y t . n t y t a n − 1 n 1 t y t … a 1 t y t a 0 y t b m m t f t … b 1 t f t b 0 f t Equivalentemente, i n 0 a i i t y t i m 0 b i i t f t con a n 1 . Es fácil mostra que estas ecuaciones definen un sistema que es lineal e invariante en el tiempo. Entonces una pregunta natural es ¿cómo encontrar la respuesta al impulso del sistema y t para una entrada f t ?. Recordando que tal solución se puede escribir como: y t y i t y s t Nos referimos a y i t como la respuesta de salida-cero -- la solución homogenea debido a las condiciones iniciales del sistema. Nos referimos a y s t como la respuesta de estado-cero -- la solución particular en respuesta a la entrada f t . Ahora veremos como resolver cada una de estos componentes de la respuesta del sistema.

Encontrando la Respuesta de Entrada-Cero La respuesta de la entrada-cero, y i t , es la respuesta del sistema debido solo a las condiciones iniciales . Respuesta de la Entrada-Cero Poner un voltaje a través de una capacitor en un circuito dibujado a continuación y deje todo lo demás solo.

Respuesta de la Entrada-Cero Imagine una masa unidia a un resorte como se muestra a continuación. Cuando jala la masa hacia abajo y la suelte, usted tiene un ejemplo de la respuesta de la entrada-cero.

No hay entrada, así que resolvemos para: y 0 t tal que a n a n 1 i n 0 a i i t y 0 t 0 Si D es el operador derivado, podemos escribir la ecuación anterior como: D n a n − 1 D n 1 … a 0 y 0 t 0 Puesto que necesitamos una suma de varios y 0 t 's dervados para ser 0 para todo t, entonces y 0 t t y 0 t 2 t y 0 t … deben de ser todos de la misma forma. Solo el exponencial, s t donde s , tiene esta propiedad (véase un libro de texto de Ecuaciones Diferenciales para más detalles). Así que asumimos que, c c 0 y 0 t c s t para algun c y s. Since t y 0 t c s s t , 2 t y 0 t c s 2 s t , … tenemos D n a n − 1 D n 1 … a 0 y 0 t 0 c s n a n − 1 s n 1 … a 1 s a 0 s t 0 se mantiene para todo t solo cuando s n a n − 1 s n 1 … a 1 s a 0 0 Donde esta ecuación es conocida como la ecuación característica del sistema. Los posibles valores de s son las raices o ceros de este polinomio s 1 s 2 … s n s s 1 s s 2 s s 3 … s s n 0 es decir las posibles soluciones son: c 1 s 1 t , c 2 s 2 t , …, c n s n t . Ya que el sistema es lineal, la solución general es de la forma: y 0 t c 1 s 1 t c 2 s 2 t … c n s n t Entonces, resolver para c 1 … c n usando las condiciones iniciales. Véase Lathi p.108 para un buen ejemplo. Generalmente asumimos que las IC's de un sistema son cero, lo que implica que y i t 0 . Sin embargo, elmétodo de resolver para y i t se probará más adelante.

Encontrando la Respuesta del Estado-Cero Resolviendo una ecuación lienal diferencial i n 0 a i i t y t i m 0 b i i t f t dada una entrada específica f t es una tarea difícil en general. Más importantemente, el método depende completamente en la naturaleza de f t ; si cambiamos la señal de entrada, debemos de re-resolver el sistema de ecuaciones para encontrar la respuesta del sistema. La Convolución nos ayuda a pasar estas dificultades. En la sección explicamos como la convolución nos ayuda a determinar la salida del sistema, dada solo la entrada f t y la respuesta al impulso del sistema, h t . Antes de derivar el procedimiento de convolución, mostramos que la respuesta al impulso es derivada facilmente de su ecuación lineal diferencial (LDE). Mostraremos la derivación del siguiente LDE, donde m n : n t y t a n − 1 n 1 t y t … a 1 t y t a 0 y t b m m t f t … b 1 t f t b 0 f t Podemos reescribir como Q D y t P D f t donde Q D · es una operador que mapea y t al lado izquierdo de la Q D y t n t y t a n − 1 n 1 t y t … a 1 t y t a 0 y t y P D · mapea f t al lado derecho de la . Lathi muestra (en el Apendice 2.1) que la respuesta al impulso del sistema descrito por es dado por: h t b n δ t P D y n t μ t donde para m n we have b n 0 . También, y n igual a la respuesta salida-cero con las condiciones iniciales. y n − 1 0 1 y n − 2 0 1 … y 0 0