Físicamente realizable, los sistemas lineales invariantes en el tiempo pueden ser descritos por un conjuto de ecuaciones lineales diferenciales:
dndtnyt+
a
n
−
1
dn-1dtn-1yt+…+
a
1
ddtyt+
a
0
yt=
b
m
dmdtmft+…+
b
1
ddtft+
b
0
ft
n
t
y
t
a
n
−
1
n
1
t
y
t
…
a
1
t
y
t
a
0
y
t
b
m
m
t
f
t
…
b
1
t
f
t
b
0
f
t
Equivalentemente,
∑i=0n
a
i
didtiyt=∑i=0m
b
i
didtift
i
n
0
a
i
i
t
y
t
i
m
0
b
i
i
t
f
t
(1)
con
a
n
=1
a
n
1
.
Es fácil mostra que estas ecuaciones definen un sistema que es lineal e invariante en el tiempo. Entonces una pregunta natural es ¿cómo encontrar la respuesta al impulso del sistema
yt
y
t
para una entrada
ft
f
t
?. Recordando que tal solución se puede escribir como:
yt=
y
i
t+
y
s
t
y
t
y
i
t
y
s
t
Nos referimos a
y
i
t
y
i
t
como la respuesta de salida-cero -- la solución homogenea debido a las condiciones iniciales del sistema. Nos referimos a
y
s
t
y
s
t
como la respuesta de estado-cero -- la solución particular en respuesta a la entrada
ft
f
t
. Ahora veremos como resolver cada una de estos componentes de la respuesta del sistema.
La respuesta de la entrada-cero,
y
i
t
y
i
t
, es la respuesta del sistema debido solo a las condiciones iniciales .
Poner un voltaje a través de una capacitor en un circuito dibujado a continuación y deje todo lo demás solo.
Imagine una masa unidia a un resorte como se muestra a continuación. Cuando jala la masa hacia abajo y la suelte, usted tiene un ejemplo de la respuesta de la entrada-cero.
No hay entrada, así que resolvemos para:
y
0
t
y
0
t
tal que
∀
a
n
,
a
n
=1:∑i=0n
a
i
didti
y
0
t=0
a
n
a
n
1
i
n
0
a
i
i
t
y
0
t
0
(2)
Si
DD es el operador derivado, podemos escribir la ecuación anterior como:
Dn+
a
n
−
1
Dn-1+…+
a
0
y
0
t=0
D
n
a
n
−
1
D
n
1
…
a
0
y
0
t
0
(3)
Puesto que necesitamos una suma de varios
y
0
t
y
0
t
's dervados para ser
00
para todo tt, entonces
y
0
tddt
y
0
td2dt2
y
0
t…
y
0
t
t
y
0
t
2
t
y
0
t
…
deben de ser todos de la misma forma.
Solo el exponencial,
ⅇst
s
t
donde
s∈ℂ
s
, tiene esta propiedad (véase un libro de texto de Ecuaciones Diferenciales para más detalles). Así que asumimos que,
∀c,c≠0:
y
0
t=cⅇst
c
c
0
y
0
t
c
s
t
(4)
para algun
cc y
ss.
Since
ddt
y
0
t=csⅇst
t
y
0
t
c
s
s
t
,
d2dt2
y
0
t=cs2ⅇst
2
t
y
0
t
c
s
2
s
t
, … tenemos
Dn+
a
n
−
1
Dn-1+…+
a
0
y
0
t=0
D
n
a
n
−
1
D
n
1
…
a
0
y
0
t
0
csn+
a
n
−
1
sn-1+…+
a
1
s+
a
0
ⅇst=0
c
s
n
a
n
−
1
s
n
1
…
a
1
s
a
0
s
t
0
(5)
ecuación 5 se mantiene para todo
tt
solo cuando
sn+
a
n
−
1
sn-1+…+
a
1
s+
a
0
=0
s
n
a
n
−
1
s
n
1
…
a
1
s
a
0
0
(6)
Donde esta ecuación es conocida como la
ecuación característica del sistema. Los posibles valores de
ss son las raices o ceros de este polinomio
s
1
s
2
…
s
n
s
1
s
2
…
s
n
s-
s
1
s-
s
2
s-
s
3
…s-
s
n
=0
s
s
1
s
s
2
s
s
3
…
s
s
n
0
es decir las posibles soluciones son:
c
1
ⅇ
s
1
t
c
1
s
1
t
,
c
2
ⅇ
s
2
t
c
2
s
2
t
,
……,
c
n
ⅇ
s
n
t
c
n
s
n
t
. Ya que el sistema es
lineal, la solución general es de la forma:
y
0
t=
c
1
ⅇ
s
1
t+
c
2
ⅇ
s
2
t+…+
c
n
ⅇ
s
n
t
y
0
t
c
1
s
1
t
c
2
s
2
t
…
c
n
s
n
t
(7)
Entonces, resolver para
c
1
…
c
n
c
1
…
c
n
usando las condiciones iniciales.
Véase Lathi p.108 para un buen ejemplo.
Generalmente asumimos que las IC's de un sistema son cero, lo que implica que
y
i
t=0
y
i
t
0
. Sin embargo, elmétodo de resolver para
y
i
t
y
i
t
se probará más adelante.
Resolviendo una ecuación lienal diferencial
∑i=0n
a
i
didtiyt=∑i=0m
b
i
didtift
i
n
0
a
i
i
t
y
t
i
m
0
b
i
i
t
f
t
(8)
dada una entrada específica
ft
f
t
es una tarea difícil en general. Más importantemente, el método depende completamente en la naturaleza de
ft
f
t
; si cambiamos la señal de entrada, debemos de re-resolver el sistema de ecuaciones para encontrar la respuesta del sistema.
La Convolución nos ayuda a pasar estas dificultades. En la sección explicamos como la convolución nos ayuda a determinar la salida del sistema, dada solo la entrada
ft
f
t
y la respuesta al impulso del sistema,
ht
h
t
.
Antes de derivar el procedimiento de convolución, mostramos que la respuesta al impulso es derivada facilmente de su ecuación lineal diferencial (LDE). Mostraremos la derivación del siguiente LDE, donde
m<n
m
n
:
dndtnyt+
a
n
−
1
dn-1dtn-1yt+…+
a
1
ddtyt+
a
0
yt=
b
m
dmdtmft+…+
b
1
ddtft+
b
0
ft
n
t
y
t
a
n
−
1
n
1
t
y
t
…
a
1
t
y
t
a
0
y
t
b
m
m
t
f
t
…
b
1
t
f
t
b
0
f
t
(9)
Podemos reescribir
ecuación 9 como
Q
D
yt=
P
D
ft
Q
D
y
t
P
D
f
t
(10)
donde
Q
D
·
Q
D
·
es una operador que mapea
yt
y
t
al lado izquierdo de la
ecuación 9
Q
D
yt=dndtnyt+
a
n
−
1
dn-1dtn-1yt+…+
a
1
ddtyt+
a
0
yt
Q
D
y
t
n
t
y
t
a
n
−
1
n
1
t
y
t
…
a
1
t
y
t
a
0
y
t
(11)
y
P
D
·
P
D
·
mapea
ft
f
t
al lado derecho de la
ecuación 9. Lathi muestra (en el Apendice 2.1) que la respuesta al impulso del sistema descrito por
ecuación 9 es dado por:
ht=
b
n
δt+
P
D
y
n
tμt
h
t
b
n
δ
t
P
D
y
n
t
μ
t
(12)
donde para
m<n
m
n
we have
b
n
=0
b
n
0
. También,
y
n
y
n
igual a la respuesta salida-cero con las condiciones iniciales.
y
n
−
1
0=1
y
n
−
2
0=1…y0=0
y
n
−
1
0
1
y
n
−
2
0
1
…
y
0
0
