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Sistemas Lineales CT y Ecuaciones Diferenciales

Module by: Michael Haag. E-mail the authorTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: CT Linear Systems and Differential Equations by Michael Haag

Summary: Este modulo presenta como representar sistemas lineales de tiempo invariante.

Sistemas Lineales de Tiempo-Continuo

Físicamente realizable, los sistemas lineales invariantes en el tiempo pueden ser descritos por un conjuto de ecuaciones lineales diferenciales:

Figura 1: Describción gráfica de un sistema básico lineal invariante en el tiempo con una entrada, f⁢t f t y una salida, y⁢t y t .
Figura 1 (ctlin.png)

d n y⁢td t n + a n − 1 ⁢d n−1 y⁢td t n−1 +…+ a 1 ⁢dy⁢td t + a 0 ⁢y⁢t= b m ⁢d m f⁢td t m +…+ b 1 ⁢df⁢td t + b 0 ⁢f⁢t n t y t a n − 1 n 1 t y t … a 1 t y t a 0 y t b m m t f t … b 1 t f t b 0 f t Equivalentemente,

∑ i =0n a i ⁢d i y⁢td t i =∑ i =0m b i ⁢d i f⁢td t i i n 0 a i i t y t i m 0 b i i t f t
(1)
con a n =1 a n 1 .

Es fácil mostra que estas ecuaciones definen un sistema que es lineal e invariante en el tiempo. Entonces una pregunta natural es ¿cómo encontrar la respuesta al impulso del sistema y⁢t y t para una entrada f⁢t f t ?. Recordando que tal solución se puede escribir como: y⁢t= y i ⁢t+ y s ⁢t y t y i t y s t Nos referimos a y i ⁢t y i t como la respuesta de salida-cero -- la solución homogenea debido a las condiciones iniciales del sistema. Nos referimos a y s ⁢t y s t como la respuesta de estado-cero -- la solución particular en respuesta a la entrada f⁢t f t . Ahora veremos como resolver cada una de estos componentes de la respuesta del sistema.

Encontrando la Respuesta de Entrada-Cero

La respuesta de la entrada-cero, y i ⁢t y i t , es la respuesta del sistema debido solo a las condiciones iniciales .

Ejemplo 1: Respuesta de la Entrada-Cero

Poner un voltaje a través de una capacitor en un circuito dibujado a continuación y deje todo lo demás solo.

Figura 2:
Figura 2 (image1.png)

Ejemplo 2: Respuesta de la Entrada-Cero

Imagine una masa unidia a un resorte como se muestra a continuación. Cuando jala la masa hacia abajo y la suelte, usted tiene un ejemplo de la respuesta de la entrada-cero.

Figura 3:
Figura 3 (image1.png)

No hay entrada, así que resolvemos para: y 0 ⁢t y 0 t tal que

∑ i =0n a i ⁢d i y 0 ⁢td t i =0  ,   a n =1    a n a n 1 i n 0 a i i t y 0 t 0
(2)
Si DD es el operador derivado, podemos escribir la ecuación anterior como:
(Dn+ a n − 1 ⁢Dn−1+…+ a 0 )⁢ y 0 ⁢t=0 D n a n − 1 D n 1 … a 0 y 0 t 0
(3)
Puesto que necesitamos una suma de varios y 0 ⁢t y 0 t 's dervados para ser 00 para todo tt, entonces y 0 ⁢td y 0 ⁢td t d 2 y 0 ⁢td t 2 … y 0 t t y 0 t 2 t y 0 t … deben de ser todos de la misma forma.

Solo el exponencial, es⁢t s t donde s∈C s , tiene esta propiedad (véase un libro de texto de Ecuaciones Diferenciales para más detalles). Así que asumimos que,

y 0 ⁢t=c⁢es⁢t  ,   c≠0    c c 0 y 0 t c s t
(4)
para algun cc y ss.

Since dd t y 0 ⁢t=c⁢s⁢es⁢t t y 0 t c s s t , d 2 dt 2 y 0 ⁢t=c⁢s2⁢es⁢t 2 t y 0 t c s 2 s t , … tenemos (Dn+ a n − 1 ⁢Dn−1+…+ a 0 )⁢ y 0 ⁢t=0 D n a n − 1 D n 1 … a 0 y 0 t 0

c⁢(sn+ a n − 1 ⁢sn−1+…+ a 1 ⁢s+ a 0 )⁢es⁢t=0 c s n a n − 1 s n 1 … a 1 s a 0 s t 0
(5)
ecuación 5 se mantiene para todo tt solo cuando
sn+ a n − 1 ⁢sn−1+…+ a 1 ⁢s+ a 0 =0 s n a n − 1 s n 1 … a 1 s a 0 0
(6)
Donde esta ecuación es conocida como la ecuación característica del sistema. Los posibles valores de ss son las raices o ceros de este polinomio s 1 s 2 … s n s 1 s 2 … s n (s− s 1 )⁢(s− s 2 )⁢(s− s 3 )⁢…⁢(s− s n )=0 s s 1 s s 2 s s 3 … s s n 0 es decir las posibles soluciones son: c 1 ⁢e s 1 ⁢t c 1 s 1 t , c 2 ⁢e s 2 ⁢t c 2 s 2 t , ……, c n ⁢e s n ⁢t c n s n t . Ya que el sistema es lineal, la solución general es de la forma:
y 0 ⁢t= c 1 ⁢e s 1 ⁢t+ c 2 ⁢e s 2 ⁢t+…+ c n ⁢e s n ⁢t y 0 t c 1 s 1 t c 2 s 2 t … c n s n t
(7)
Entonces, resolver para c 1 … c n c 1 … c n usando las condiciones iniciales.

Ejemplo 3

Véase Lathi p.108 para un buen ejemplo.

Generalmente asumimos que las IC's de un sistema son cero, lo que implica que y i ⁢t=0 y i t 0 . Sin embargo, elmétodo de resolver para y i ⁢t y i t se probará más adelante.

Encontrando la Respuesta del Estado-Cero

Resolviendo una ecuación lienal diferencial

∑ i =0n a i ⁢d i y⁢td t i =∑ i =0m b i ⁢d i f⁢td t i i n 0 a i i t y t i m 0 b i i t f t
(8)
dada una entrada específica f⁢t f t es una tarea difícil en general. Más importantemente, el método depende completamente en la naturaleza de f⁢t f t ; si cambiamos la señal de entrada, debemos de re-resolver el sistema de ecuaciones para encontrar la respuesta del sistema.

La Convolución nos ayuda a pasar estas dificultades. En la sección explicamos como la convolución nos ayuda a determinar la salida del sistema, dada solo la entrada f⁢t f t y la respuesta al impulso del sistema, h⁢t h t .

Antes de derivar el procedimiento de convolución, mostramos que la respuesta al impulso es derivada facilmente de su ecuación lineal diferencial (LDE). Mostraremos la derivación del siguiente LDE, donde m<n m n :

d n y⁢td t n + a n − 1 ⁢d n−1 y⁢td t n−1 +…+ a 1 ⁢dy⁢td t + a 0 ⁢y⁢t= b m ⁢d m f⁢td t m +…+ b 1 ⁢df⁢td t + b 0 ⁢f⁢t n t y t a n − 1 n 1 t y t … a 1 t y t a 0 y t b m m t f t … b 1 t f t b 0 f t
(9)
Podemos reescribir ecuación 9 como
Q D ⁢y⁢t= P D ⁢f⁢t Q D y t P D f t
(10)
donde Q D ⁢· Q D · es una operador que mapea y⁢t y t al lado izquierdo de la ecuación 9
Q D ⁢y⁢t=d n y⁢td t n + a n − 1 ⁢d n−1 y⁢td t n−1 +…+ a 1 ⁢dy⁢td t + a 0 ⁢y⁢t Q D y t n t y t a n − 1 n 1 t y t … a 1 t y t a 0 y t
(11)
y P D ⁢· P D · mapea f⁢t f t al lado derecho de la ecuación 9. Lathi muestra (en el Apendice 2.1) que la respuesta al impulso del sistema descrito por ecuación 9 es dado por:
h⁢t= b n ⁢δ⁢t+ P D ⁢ y n ⁢t⁢μ⁢t h t b n δ t P D y n t μ t
(12)
donde para m<n m n we have b n =0 b n 0 . También, y n y n igual a la respuesta salida-cero con las condiciones iniciales. y n − 1 ⁢0=1 y n − 2 ⁢0=1…y⁢0=0 y n − 1 0 1 y n − 2 0 1 … y 0 0

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