The above allows us to relate the Fourier transform of an Aperture and the resulting E field from diffraction through that aperture. To extend this to an array of apertures, requires that one introduce a new concept, the Dirac delta function.

The fundamental definition of the Dirac delta function is

δ ( x ) = 0    i f   x ≠ 0 f ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x ) ⅆ x δ ( x ) = 0    i f   x ≠ 0 f ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x ) ⅆ x

As a special case if f ( x ) = 1 f ( x ) = 1

∫ − ∞ ∞ δ ( x ) ⅆ x = 1 ∫ − ∞ ∞ δ ( x ) ⅆ x = 1

This function has some important properties:

f ( x ′ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x − x ′ ) ⅆ x f ( x ′ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x − x ′ ) ⅆ x which follows direction from the definition ie. define a new coordinate a = x − x ′ a = x − x ′ , then x = a + x ′ x = a + x ′ and d a = ⅆ x . d a = ⅆ x . Then

∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x − x ′ ) ⅆ x = ∫ − ∞ ∞ f ( a + x ′ ) δ ( a ) ⅆ a = f ( x ′ ) ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x − x ′ ) ⅆ x = ∫ − ∞ ∞ f ( a + x ′ ) δ ( a ) ⅆ a = f ( x ′ )

We also note that δ ( x ) = δ ( − x ) . δ ( x ) = δ ( − x ) .

It gets even more interesting. Recall f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ′ ) e i k ( x ′ − x ) ⅆ x ′ ⅆ k f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ′ ) e i k ( x ′ − x ) ⅆ x ′ ⅆ k which we rearrange suggestively f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ′ ) e i k ( x ′ − x ) ⅆ x ′ ⅆ k = ∫ − ∞ ∞ [ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i k ( x ′ − x ) ⅆ k ] f ( x ′ ) ⅆ x ′ f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ′ ) e i k ( x ′ − x ) ⅆ x ′ ⅆ k = ∫ − ∞ ∞ [ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i k ( x ′ − x ) ⅆ k ] f ( x ′ ) ⅆ x ′ we also have f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ′ ) δ ( x ′ − x ) ⅆ x ′ f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ′ ) δ ( x ′ − x ) ⅆ x ′ so we must have δ ( x ′ − x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i k ( x ′ − x ) ⅆ k δ ( x ′ − x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i k ( x ′ − x ) ⅆ k or δ ( x ) = δ ( − x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − i k x ⅆ k δ ( x ) = δ ( − x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − i k x ⅆ k

That is the Dirac delta function is the inverse Fourier transform of 1. This is a very useful property that allows us to do problems like Young's double slit. Consider the aperture function: A = E 0 ( δ ( y − a / 2 ) + δ ( y + a / 2 ) ) A = E 0 ( δ ( y − a / 2 ) + δ ( y + a / 2 ) ) where we have represented the slits by Dirac delta functions. Then we obtain E = ∫ − ∞ ∞ E 0 δ ( y − a / 2 ) e i y k y + ∫ − ∞ ∞ E 0 δ ( y + a / 2 ) e i y k y = E 0 ( e i a k y / 2 + e − i a k y / 2 ) = E 0 2 cos ( k y a / 2 ) = E 0 2 cos ( k a sin θ 2 ) E = ∫ − ∞ ∞ E 0 δ ( y − a / 2 ) e i y k y + ∫ − ∞ ∞ E 0 δ ( y + a / 2 ) e i y k y = E 0 ( e i a k y / 2 + e − i a k y / 2 ) = E 0 2 cos ( k y a / 2 ) = E 0 2 cos ( k a sin θ 2 ) which is exactly what we obtained before. Well that was a lot easier than what we did earlier in the course!