Statistica per esperimenti Queste note di statistica e gli esempi riportati sono basati sui libri Statistica per psicologi, di Caudek e Luccio, e Statistics: an introduction using R di Crawley. Ipotesi Nulla H 0 La manipolazione della variabile indipendente non ha alcun effetto sulla variabile dipendente. Ipotesi Sostantiva H 1 La manipolazione della variabile indipendente ha effetto sulla variabile dipendente. In medicina, si afferma l'efficacia di un trattamento. Se, per via sperimentale, si accerta che la probabilità associata agli eventi è troppo bassa, l'ipotesi nulla viene respinta e si dimostra l'efficacia del trattamento, o l'esistenza di un effetto della variabile dipendente su quella indipendente. Livello di significatività α E' la soglia di probabilità al di sopra della quale accetto l'ipotesi nulla. E' la probabilità di commettere un errore del primo tipo. Errore del primo tipo Dice che il trattamento è efficace (o è presente l'effetto) quando in realtà non lo è. Livello di significatività β E' la probabilità di accettare l'ipotesi nulla, laddove essa sia effettivamente falsa. E' la probabilità di commettere un errore del secondo tipo. Errore del secondo tipo Dice che il trattamento è inefficace (o non è presente l'effetto) quando in realtà l'efficacia c'è. valore p E' una stima della probabilità che un certo risultato, o uno ancora più estremo, si sia verificato per caso, in caso di validità dell'ipotesi nulla. Un valore piccolo di p significa che l'ipotesi nulla è difficile da sostenere e che l'effetto misurato è significativo. Piccolo significa usualmente < 0.05 Situazione Effettiva Ipotesi Nulla vera falsa accetta corretto tipo II respingi tipo I corretto

Potenza di un test statistico E' la probabilità 1 β di rigettare l'ipotesi nulla quando essa è falsa. Se si vuole rilevare una variazione, dovuta a un trattamento, pari a δ e ci si può ragionevolmente aspettare una variabilità nei dati misurata da una varianza s 2 , allora si può dimensionare la numerosità del campione secondo la regola n potenza s 2 10 δ 2 . Un valore considerato adeguato per la potenza statistica è 0.8 . Ad esempio, se la media è circa 20 e la varianza è circa 10 , allora per rilevare una variazione del 10 % con potenza 0.8 bisogna usare n 20 . Ipotesi nulla: nascere maschio o nascere femmina non ha influenza sul fatto di diventare programmatori. H 0 : p m p f 0.5 Ipotesi sostantiva: H 1 : p m p f Livello di significatività: α 0.05 Se prendiamo un campione di 10 programmatori e, di questi, 2 sono donne, cosa possiamo concludere? La probabilità di ottenere il caso osservato e tutti quelli altrettanto o più sfavorevoli all'ipotesi nulla è pari a

probabilità
	  di tutte le sequenze con 2 femmine + probabilità di tutte le
	  sequenze con 1 femmina + probabilità di tutte le sequenze
	  con 0 femmine

. La prima di queste tre probabilità, ad esempio, si trova come p m 8 p f 2 moltiplicata per il numero di possibili sequenze con due femmine, cioè per le combinazioni di 10 su 8 elementi. La somma delle tre probabilità risulta essere complessivamente pari a 0.0547 e quindi, con il livello di significatività adottato, si accetta l'ipotesi nulla. In altri termini l'evento osservato e quelli altrettanto o più sfavorevoli sono troppo poco improbabili per poter accettare l'ipotesi sostantiva.

Verifica di ipotesi sulla differenza tra due medie (between-subjects design) Si supponga di avere un campione di numerosità n estratto da una popolazione normale di media μ e varianza σ 2 . La media di tale campione è anch'essa una variabile aleatoria normale, con media μ e varianza σ 2 n . Presi invece due campioni da due popolazioni, il valore atteso della differenza tra le medie di due campioni è E Y 1 _ Y 2 _ E Y 1 _ E Y 2 _ μ 1 μ 2 Se le medie dei due campioni sono indipendenti, allora la varianza della differenza delle medie campionarie è σ 2 Y 1 _ Y 2 _ σ 1 2 n 1 σ 2 2 n 2 σ 2 1 n 1 1 n 2 dove l'ultima uguaglianza assume che la varianza nei due campioni sia la stessa. A partire da un campione, lo stimatore privo di bias della varianza della popolazione è s 2 i 1 n x i x _ 2 n 1 . Questo perché, una volta conosciuta la media, i gradi di libertà associati ad un campione di numerosità n sono n 1 e nel calcolo della varianza campionaria bisogna dividere per il numero di gradi di libertà. Dati due campioni di n 1 e n 2 elementi uno stimatore della varianza della popolazione è σ ̂ 2 n 1 1 s 1 2 n 2 1 s 2 2 n 1 n 2 -2 . Le ipotesi sulla differenza tra le medie si verificano con la statistica t Y 1 _ Y 2 _ μ 1 μ 2 σ ̂ 1 n 1 1 n 2 differenza tra le medie deviazione standard della differenza tra le medie la quale è distribuita come una t di Student con n 1 n 2 -2 gradi di libertà. Maggiore è la differenza tra le medie e più siamo convinti dell'efficacia di un trattamento. Maggiore è la varianza dei campioni, e meno ne siamo convinti. Due software didattici (A e B) vengono confrontati esaminando i voti dei test di due classi di studenti. Ci si chiede se i due software siano diversamente efficaci. Usiamo il software libero R per analizzare i risultati dei test e rispondere alla domanda. La sequenza di istruzioni


	       classeA
	      [1] 3 4 4 3 2 3 1 3 5 2
	      > classeB
	      [1] 5 5 6 7 4 4 3 5 6 5
	      > profitto <- c(classeA, classeB)
	      > label <- factor(c(rep("A", 10), rep("B", 10)))
	      > boxplot(profitto~label, notch=T, xlab="classi", ylab="profitto")
	      ]]>

mostra i risultati dei test nelle due classi e disegna il boxplot di . Poiché i solchi dei due plot non si sovrappongono, si può concludere che le medie sono significativamente diverse, con un livello di significatività al 5%. La variabilità è simile in entrambe le classi, e pertanto ha senso procedere con un t-test.

Boxplot Boxplot. Possiamo calcolare esplicitamente le varianze campionarie per le due classi e, da queste, il valore della variabile t di Student:


	       s2A <-  var(classeA)
	      > s2B <-  var(classeB)
	      > (mean(classeA) - mean(classeB))/sqrt(s2A/10 + s2B/10)
	      [1] -3.872983
	      ]]>

Il valore ottenuto va considerato in modulo, e confrontato con il valore critico per la significatività scelta, il quale è


	       qt(0.975, 18) 
	      [1] 2.100922 
	      ]]>

Nel primo parametro della chiamata a qt(), si noti come il test vada condotto a due code, e quindi α divisa per due, perché non c'è una direzione preferenziale di confronto: ci interessa solo la diversità tra le due classi e non una relazione d'ordine. Il secondo parametro è il numero complessivo di gradi di libertà. Poiché il valore calcolato è più grande del valore critico l'ipotesi nulla può essere respinta. Rovesciando il ragionamento, possiamo attribuire un valore di probabilità all'osservazione, supponendo che valga l'ipotesi nulla. Questa probabilità è


	       2*pt(-3.872983, 18)
	      [1] 0.001114540  
	      ]]>

ed è molto inferiore al 5% che ci eravamo posti come soglia. In R, il t-test si può condurre con una sola istruzione


	     t.test(classeA, classeB)

	      Welch Two Sample t-test

	      data:  classeA and classeB 
	      t = -3.873, df = 18, p-value = 0.001115
	      alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
	      95 percent confidence interval:
	      -3.0849115 -0.9150885 
	      sample estimates:
	      mean of x mean of y 
	      3         5 
	      ]]>

In un rapporto di ricerca, il risultato dell'analisi si può presentare come "il profitto della classe B ( media 5 ) è significativamente diverso da quello della classe A ( media 3 ; t 3.873 , p 0.0011 (two-tailed), d.f. 18 )". Con il software libero Octave, la stessa analisi si svolgerebbe con il comando


	     classeA = [3 4 4 3 2 3 1 3 5 2];
	    octave> classeB = [5 5 6 7 4 4 3 5 6 5];
	    octave> [p, t, df] = t_test_2(classeA, classeB, "<>")
	    p = 0.0011145
	    t = -3.8730
	    df = 18
	    ]]>

L'ipotesi fondante per la verifica di ipotesi sulle medie è che la popolazione sia normale, e di varianza omogenea tra i campioni. Il metodo è robusto a variazioni dalla normalità. Però deve valere l'ipotesi di indipendenza tra le medie, e questo non si può avere con test di tipo "within subjects". Per ovviare a questo problema si può però riformulare il test considerando i dati come provenienti da un unico campione di differenze di punteggi D . L'ipotesi nulla diventa H 0 : E D _ 0 , e si verifica con t D _ E D _ s D n con n 1 gradi di libertà.

Regressione multipla Si abbiano k variabili indipendenti quantitative. Il modello di regressione lineare si esprime come y i β 0 β 1 x 1, i β 2 x 2, i ... β k x k, i ɛi Con n osservazioni il modello si può esprimere in forma matriciale y X b ɛ Tipicamente il numero di osservazioni è superiore al numero di variabili indipendenti, e pertanto il sistema risulta sovradeterminato. Esso si può risolvere ai minimi quadrati ottenendo b X ' X -1 X ' y La è la soluzione che minimizza la Somma quadratica degli errori SSE i 1 n y i y ̂ i 2 , dove y ̂ i è la stima dell'i-esimo campione fornita dal modello lineare. Se si hanno k variabili quantitative e una variabile qualitativa il modello di regressione è y i β 0 γ D i β 1 x 1, i β 2 x 2, i ... β k x k, i ɛi dove D i è una variabile dicotomica, cioè assume solo i valori 0 o 1 . Si studi la relazione tra la prestazione in un test di apprendimento di un software (variabile y ) e il numero di volte in cui i soggetti hanno fatto ricorso all'help durante l'apprendimento dello stesso (variabile x ). La variabile qualitativa D discrimina tra utenti esperti e novizi. Ecco una sessione in R che produce la regressione ai minimi quadrati (funzione lm(), per linear model) e traccia il grafico di .


	     risp_corrette
	    [1] 80 88 89 62 67 37 62 78 62 77 81 41 26 41 37 57 35 58 22 25 46 18 56 26 38 21
	    > help
	    [1] 16 25 21 13 17  2 11 14  8 12 17  7  6 16 17 21 14 25  7 12 19  9 17 14 16  6
	    > esperienza
	    [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
	    > rce <- split(risp_corrette, esperienza)
	    > he <- split(help, esperienza)
	    > plot(help, risp_corrette, type="n", ylab="Risposte corrette", 
	    + xlab="invocazioni help")
	    > points(he[[1]], rce[[1]], pch=16) 
	    > points(he[[2]], rce[[2]])
	    > lm(risp_corrette ~ help + esperienza)
	    
	    Call:
	    lm(formula = risp_corrette ~ help + esperienza)
	    
	    Coefficients:
	    (Intercept)         help   esperienza  
	    3.738        2.280       33.962  
	    
	    > abline(3.738, 2.28)
	    > abline(3.738 + 33.962, 2.28, lty=2)
	    ]]>

Regressione multipla Regressione con una variabile qualitativa e una variabile quantitativa. Una domanda che è naturale porsi è se e quanto sia significativo il livello di esperienza.

Analisi della Regressione Indicata con y _ la media delle osservazioni, e definite la Somma totale dei quadrati SSY i 1 n y i y _ 2 e la Somma dei quadrati di regressione SSR i 1 n y ̂ i y _ 2 si dimostra che vale l'ortogonalità tra la variabilità dei dati rispetto al modello lineare e la variabilità del modello rispetto alla media dei dati. Cioè SSY SSR SSE Si usa anche dire che la varianza totale è data dalla somma della varianza entro i gruppi ( SSE ) e tra i gruppi ( SSR ). Il Coefficiente di determinazione è definito come r xy 2 SSR SSY Questo è un numero compreso tra 0 e 1 , e vale 1 se non c'è errore residuo, cioè se la regressione fa un fit perfetto. Si dimostra che r xy 2 è il quadrato del Coefficiente di correlazione, definito come il rapporto tra la covarianza e le deviazioni standard campionarie di x e y . r xy i 1 n x i x _ i 1 n y i y _ n S x S y S xy S x S y Proprietà dei coefficienti di regressione multipla Il valore atteso del j-esimo elemento di b è β j La varianza del j-esimo elemento di b è ν jj σ ɛ 2 , dove ν jj è il j-esimo elemento diagonale di X ' X -1 e σ ɛ 2 è la varianza del rumore additivo ɛ S E 2 SSE n k 1 è uno stimatore unbiased di σ ɛ . Le variabili di residuo ɛ i sono normalmente distribuite. I coefficienti parziali di regressione (elementi di b) sono normalmente distribuiti. Ulteriori proprietà sono associabili alla 3 di : S E 2 ν σ ɛ 2 è distribuita come una variabile aleatoria χ ν 2 con ν gradi di libertà. La differenza di due variabili aleatorie χ 2 con ν1 e ν2 gradi di libertà è ancora una variabile aleatoria χ 2 con ν1 ν2 gradi di libertà. Il rapporto di due variabili aleatorie χ 2 con ν1 e ν2 gradi di libertà è una variabile aleatoria di tipo F, secondo la relazione χ ν1 2 ν1 χ ν2 2 ν2 F ν1 ν2

Verifica di ipotesi sui coefficienti di regressione Se si deve verificare l'ipotesi nulla H 0 : b j β j, 0 si può applicare, in virtù delle 2 e 3 delle , il t-test con la statistica t b j β j, 0 SSE n k 1 ν jj

Verifica di minimalità di un modello Supponiamo di avere un modello con k regressori e di volere verificare l'ipotesi nulla H 0 : β 1 ... β p 0 , cioè che esiste un sottomodello ugualmente rappresentativo. Indichiamo con SSE k - p lo scarto per la regressione con le kp variabili rimaste. In virtù delle proprietà possiamo scrivere l'equivalenza nel senso della distribuzione statistica SSE k - p SSE p SSE n k -1 ≈ χ p 2 p χ n - k - 1 2 n k -1 ≈ F p, n - k - 1 F-test Maggiore è l'incremento di errore dovuto alla esclusione di p regressori, minore è la probabilità che valga l'ipotesi nulla. Dati i gradi di libertà di numeratore e denominatore, si legge il valore tabulato per un dato livello di significatività Fα e si rifiuta l'ipotesi nulla se F Fα . Oppure, il programma calcola la probabilità di errore del primo tipo associata al valore di F calcolato. Se p è piccolo e F 1 si respinge l'ipotesi nulla. La può anche essere scritta in termini di coefficiente di determinazione: SSR SSR k - p p SSE n k -1 r 2 r 2 k - p p 1 r 2 n k -1 Un importante caso particolare si ha per p k , per il quale l'ipotesi nulla è: nessuna variabile ha effetto su y . In questo caso il test si fa con F SSR k SSE n k -1 between-groups mean-square variance within-groups mean-square variance Si studi la relazione tra lo sviluppo di capacità logiche nella adolescenza (misurate con un test logictest) e il tempo speso settimanalmente ai videogame (vg) o alla televisione (tv). Lo studio è affrontato molto semplicemente in R.


	       vg
		[1] 12  7 23  8 19 24  5 31  9 21 24 17 19  6 16 12 12 11 33 14  4  2 21 18 21
		> tv
		[1] 32  4 12 12 22 21 14  6  9 26 19 18 12 21 18 24 23 23 12 21 26  8 23 12 26
		> logictest
		[1] 34 12 67 46 43 78 56 69 23 67 89 73 26 41 52 19 83 38 56 43 11 21 54 56 87

		> summary(lm(logictest~tv+vg))
		
		Call:
		lm(formula = logictest ~ tv + vg)
		
		Residuals:
		    Min      1Q  Median      3Q     Max 
		-28.192 -14.089   1.308  11.183  36.416 
		
		Coefficients:
		             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
		(Intercept)  11.1431    12.4141   0.898 0.379108    
		tv            0.6083     0.5203   1.169 0.254910    
		vg            1.7875     0.4592   3.893 0.000783 ***
		---
		Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 
		
		Residual standard error: 18.45 on 22 degrees of freedom
		Multiple R-Squared: 0.4249,	Adjusted R-squared: 0.3727 
		F-statistic: 8.129 on 2 and 22 DF,  p-value: 0.002274 		
	      ]]>

Il prospetto fornito da summary(lm()) si può interpretare come segue I residui non presentano una distribuzione evidentemente asimmetrica, visti i valori minimo, massimo e mediano, e pertanto si può ragionevolmente assumere la gaussianità; Il valore di F è alto ed accompagnato da un p piccolo, e pertanto si può falsificare l'ipotesi nulla secondo cui né i videogiochi né la televisione hanno effetto sullo sviluppo delle capacità logiche; Il coefficiente legato alle ore di videogiochi è significativamente (secondo il t-test) positivo, indicando un effetto. In octave lo stesso f-test si svolgerebbe con il comando


		 [p, f, df_num, df_den] = f_test_regression(logictest', 
		> [ones(1,25);tv;vg]',[[0 1 0];[0 0 1]])
		p = 0.0022740
		f = 8.1286
		df_num = 2
		df_den = 22
		]]>

Si riprenda lo e ci si chieda se è significativo il grado di esperienza. In R, da una summary(lm(risp_corrette~help+esperienza)) si ricava il coefficiente di determinazione come primo numero riportato nella linea


		Multiple R-Squared: 0.9051, Adjusted R-squared: 0.8969

Il secondo numero, se moltiplicato per 100, si interpreta come riduzione percentuale della varianza apportata dal modello lineare. Trascurando la variabile dicotomica relativa al grado di esperienza, il coefficiente di determinazione risulta da


		> cor(risp_corrette, help) ^ 2
		[1] 0.3099675

o da


		> summary(lm(risp_corrette~help-esperienza))
		...
		Multiple R-Squared:  0.31,	Adjusted R-squared: 0.2812

e facendo il calcolo della si trova F 1, 23 144.27 . Il valore di p associato a tale F è molto piccolo, e quindi si rigetta l'ipotesi nulla. In altri termini: il grado di esperienza conta. Inoltre, possiamo effettuare il t-test per verificare se l'help-on-line è efficace per entrambi i gruppi. Anche tale informazione si può estrarre dal prospetto di summary(lm(risp_corrette~help+esperienza)):


		|t|)    
		(Intercept)   3.7382     3.9736   0.941    0.357    
		help          2.2797     0.2448   9.312 2.89e-09 ***
		esperienza   33.9622     2.8275  12.011 2.17e-11 ***
		]]>

Poiché il valore t 9.312 è elevato e la corrispondente p 2.89e-09 è piccolissima, possiamo considerare provata l'efficacia dell'help. In octave, f-test e t-test si conducono con le due chiamate


		 [p, f, dfn, dfd] = f_test_regression(risp_corrette, 
		> [ones(1,26); esperienza; help]', [0, 1, 0])
		p =  2.1692e-11
		f = 144.27
		dfn = 1
		dfd = 23
		octave> [p, t, dfn] = t_test_regression(risp_corrette, 
		> [ones(1,26); esperienza; help]', [0, 0, 1], 0, ">")
		p =  1.4428e-09
		t = 9.3115
		dfn = 23
		]]>

L'analisi andrebbe completata verificando la assenza di interazioni tra esperienza e help. Ciò si fa con un altro f-test, aggiungendo il prodotto esperienza.*help, e usando i coefficienti di determinazione con e senza il prodotto delle due variabili. In Octave:


		  [p, f, dfn, dfd] = f_test_regression(risp_corrette, 
		> [ones(1,26); esperienza; help; esperienza.*help]', [0, 0, 0, 1])
		p = 0.66901
		f = 0.18776
		dfn = 1
		dfd = 22
		]]>

In R, si fa


		> summary(lm(risp_corrette ~ help + esperienza + help:esperienza))

da cui si ottiene


		Multiple R-Squared: 0.9059,	Adjusted R-squared: 0.8931

che si può usare insieme al valore del coefficiente di determinazione senza interazioni (0.9051) all'interno della , trovando così F 1, 22 0.19 , la cui probabilità associata è


		> 2*pf(0.19, 1, 22)
		[1] 0.6656723

In questo caso non c'è evidenza di interazioni tra esperienza e help e quindi i loro effetti si possono studiare separatamente. Viceversa, la presenza di interazione significherebbe che gli effetti di ciascuna variabile mutano a seconda dei valori assunti dall'altra.

ANOVA Con il termine ANOVA si indica usualmente una analisi della regressione multipla in cui tutte le variabili indipendenti sono qualitative. Lo scopo è quello di stabilire se esistono differenze statisticamente significative tra i gruppi corrispondenti alle variabili indipendenti. One-way ANOVA E' una ANOVA con una sola variabile indipendente qualitativa (o fattore) con m categorie (o livelli). Ci siano n elementi misurati per ogni livello. y i α γ 1 D 1, i γ 2 D 2, i ... γ m-1 D m-1, i εi D 1 D 2 ... D m-1 Group 1 1 0 ... 0 Group 2 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... Group m-1 0 0 ... 1 Group m 0 0 ... 0

Con questa codifica la matrice X ' X risulta invertibile. Ci sono m 1 gradi di libertà. Il test si effettua sulla statistica F between-groups mean-square variance within-groups mean-square variance SSA m 1 SSE m n 1 SSE n m 1 i 1 m y _ i y _ 2 1 m n 1 i 1 m j 1 n i y i,j y _ i 2 il cui valore si confronta con il valore tabulato di F m-1, n-m per un dato valore di significatività α . Se F è circa 1 , ciò significa che le differenze tra le medie dei gruppi sono casuali. Invece, se F è significativamente maggiore di 1 significa che c'è più variazione tra che entro i gruppi, e quindi il raggruppamento gioca un ruolo significativo. Se la one-way ANOVA ha solo due livelli, essa equivale ad un t-test. SSA è la cosiddetta somma dei quadrati di trattamento, e corrisponde alla SSR già definita per la regressione con variabili quantitative. Si misuri mediante un test il profitto di tre gruppi di studenti precedentemente sottoposti a tre programmi di addestramento. Si intende verificare se il tipo di addestramento è ininfluente sul risultato del test. In R l'ANOVA si esegue nel seguente modo:


		 test <- c(9, 16, 12, 10,  8, 14,  8, 11,  7,  9, 20, 19, 14, 17, 12)
		> addestramento <- c("A", "A", "A", "A", "A", "B", "B", "B", "B", "B", 
		+ "C", "C", "C", "C", "C")
		> summary(aov(test~factor(addestramento)))
		                      Df  Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)  
		factor(addestramento)  2 123.600  61.800  6.3931 0.01288 *
		Residuals             12 116.000   9.667                  
		---
		Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 
	      ]]>

mentre in Octave la stessa analisi si svolge con


		 y1 = [9 16 12 10  8 14  8 11  7  9 20 19 14 17 12];
		octave> g = [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3];
		octave> anova(y1, g)
		
		One-way ANOVA Table:
		
		Source of Variation   Sum of Squares    df  Empirical Var
		*********************************************************
		Between Groups              123.6000     2        61.8000
		Within Groups               116.0000    12         9.6667
		---------------------------------------------------------
		Total                       239.6000    14
		
		Test Statistic f              6.3931
		p-value                       0.0129
		
		ans = 0.012877
		]]>

Per un valore di significatività a 0.05 è ragionevole rigettare l'ipotesi nulla e quindi stabilire un effetto del tipo di addestramento. Nell'analisi ANOVA l'ipotesi nulla H 0 è che non esistano differenze statisticamente significative tra i gruppi corrispondenti alle variabili indipendenti. Se H 0 viene rifiutata, tuttavia, si può procedere con una comparazione a coppie per vedere quali coppie di gruppi sono significativamente differenti. Bisogna fare attenzione, però, che il livello di significatività α scelto in queste comparazioni deve diminuire con il numero delle stesse. Infatti, supponendo di fare un t-test con α0.05 su 100 coppie, si ottiene che mediamente 5 di questi confronti sono affetti da errore del I tipo. La probabilità di commettere almeno un errore del I tipo nei 100 confronti è 1 1 α 100 0.994 La correzione di Bonferroni prevede che il livello α per n test multipli debba essere diviso per n.