chương 3
1.1
2007/07/02 03:35:43.332 GMT-5
2007/07/05 03:53:55.077 GMT-5
Phuong
Huu
Nguyen
nhphuong@hcmuns.edu.vn
Phuong
Huu
Nguyen
nhphuong@hcmuns.edu.vn
gfdfg
fgdf
CHÖÔNG 3:
TÍN HIEÄU VAØ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC THÔØI GIAN
Tín hieäu töông töï thöôøng laø lieân tuïc thôøi gian. Baèng caùch laáy maãu tín hieäu töông töï ôû toác ñoä Nyquist , hoaëc hôn, ta ñöôïc tín hieäu ñaõ laáy maãu hay goïi tín hieäu rôøi raïc thôøi gian (discrete time signal) hay tín hieäu soá (digital signal) hay chuoãi soá (digital sequence). Caùc maãu rôøi raïc naøy thöôøng ñöôïc löôïng töû hoùa roài maõ hoùa thaønh caùc soá nhò phaân ñeå löu tröõ vaø xöû lyù treân maùy tính hoaëc truyeàn taûi treân caùc heä thoáng truyeàn thoâng soá. Tuy nhieân thöôøng ta hieåu caùc maãu rôøi raïc laø tín hieäu soá, coøn söï löôïng töû hoùa vaø maõ hoùa nhò phaân ñöôïc hieåu ngaàm. Cuõng coù tröôøng hôïp tín hieäu rôøi raïc thôøi gian do maïch soá hoaëc chöông trình maùy tính taïo ra neân ñaõ saün ôû daïng caùc soá nhò phaân.
Caùc heä thoáng soá laø ñeå xöû lyù caùc tín hieäu soá. Coù nhieàu heä thoáng khaùc nhau vaø caùch xöû lyù cô baûn vaø phoå bieán nhaát laø loïc töùc laøm thay ñoåi tính chaát taàn soá cuûa tín hieäu. Chöông naøy trình baøy caùc loaïi tín hieäu vaø caùc heä thoáng khaùc nhau, coøn taùc ñoäng loïc seõ laø noäi dung cuûa caùc chöông tieáp theo.
3.1 TÍN HIEÄU RÔØI RAÏC THÔØI GIAN
Trong chöông tröôùc ta ñaõ vieát tín hieäu rôøi raïc thôøi gian laø
xˆt size 12{ { hat {x}} left (t right )} {} hoaëc x(nT) trong ñoù T laø khoaûng laáy maãu hoaëc chu kyø laáy maãu. T=1/fs vôùi fs laø taàn soá hay toác ñoä laáy maãu. Trong chöông naøy vaø caùc chöông tieáp theo ta vieát tín hieäu rôøi raïc thôøi gian laø x(n) trong ñoù n laø thôøi gian rôøi raïc vaø laø caùc soá nguyeân töø - ñeán . Nhö vaäy chu kyø laáy maãu T ñöôïc xem nhö baèng ñôn vò. n coøn ñöôïc goïi laø chæ soá (indese) tín hieäu töông töï nguyeân thuûy laø nhö theá naøo giöõa caùc thôøi ñieåm rôøi raïc thì ta khoâng quan taâm hoaëc khoâng bieát ñöôïc.
Hình 3.1 laø ví duï cuûa tín hieäu rôøi raïc thôøi gian. ÔÛ moãi thôøi ñieåm n bieân ñoä x(n) coù theå döông hoaëc aâm, soá nguyeân hoaëc soá coù phaân soá, soá thöïc hoaëc phöùc. Noùi toùm laïi x(n) coù theå coù baát cöù giaù trò naøo keå caû baèng khoâng hoaëc lôùn voâ haïn.
Hình 3.1: Tín hieäu rôøi raïc thôøi gianx(n)n-2-2024(a) tín hieäu voâ haïn thôøi gian-11313-3-4-122153. . .x(n)n-2-2024(b) tín hieäu höõu haïn thôøi gian-132-3-40125100-112. . .02
3.1.1 Tín hieäu höõu haïn thôøi gian vaø voâ haïn thôøi gian
Coù hai loaïi tín hieäu soá:
Tín hieäu laâu voâ haïn hay voâ haïn thôøi gian: laø tín hieäu, noùi chung, hieän höõu ôû moïi thôøi gian n (hình 3.1a).
Tín hieäu laâu höõu haïn hay höõu haïn thôøi gian: laø tín hieäu chæ hieän höõu trong moät khoaûng thôøi gian naøo ñoù. Thöôøng ta giaû söû khoaûng naøy ôû chung quang hoaëc gaàn goác thôøi gian n=0 (hình 3.1b).
Thay vì bao giôø cuõng phaûi veõ tín hieäu ra, caùch khaùc laø duøng caùch bieåu dieãn chuoãi (hay veùc tô ) theo ñoù ta vieát chuoãi bieân ñoä theo thöù töï thôøi gian taêng daàn vaø gaïch döôùi hoaëc vieát ñaäm bieân ñoä öùng vôùi goác thôøi gian n=0. Ví duï vôùi tín hieäu ôû hình 3.1 laø
x(n) = [...1, -2, 2, 3, 1, -1, 2, 2, 1, 3 ...] (3.1)
hoaëc
x(n) = [ 0, -2, -1, 2, 2, 1, 2, 0](3.2)
Ñeå yù laø khi tín hieäu laø voâ haïn thôøi gian phaûi theâm daáu chaám chaám ôû hai ñaàu cuûa chuoãi, coøn khi tín hieäu laø höõu haïn thôøi gian thì baét ñaàu baèng soá khoâng vaø keát thuùc baèng soá khoâng. Khi caùc bieân ñoä laø soá phaân soá (coù soá leû), ta duøng daáu chaám phaåy thay cho daáu phaåy ñeå taùch rôøi caùc soá.
3.1.2 Tín hieäu rôøi raïc thôøi gian cô baûn
Veà nguyeân taéc, tín hieäu töông töï coù baát cöù daïng soùng naøo neân tín hieäu rôøi raïc thôøi gian cuõng nhö vaäy (nhöng ñöôïc rôøi raïc hoùa veà thôøi gian). Tuy nhieân trong phaân tích ta thöôøng duøng moät soá tín hieäu xaùc ñònh, ñôn giaûn veà bieåu thöùc toaùn, goïi caùc tín hieäu cô baûn (muïc 1.2).
(a) Xung löïc ñôn vò
Xung löïc ñôn vò (unit impulse) coøn goïi laø maãu ñôn vò (unit sample) laø tín hieäu coù bieân ñoä 1 ôû goác thôøi gian vaø baèng khoâng ôû moïi thôøi ñieåm khaùc (hình 3.2):
(n) = 1 n = 0(3.3)
0 n 0
Ñeå yù laø tín hieäu xung löïc ñôn vò soá khaùc vôùi xung löïc ñôn vò (haøm delta Dirac) trong tín hieäu töông töï (xem phöông trình (1.15)).
(b) Baäc ñôn vò (caáp ñôn vò)
Tín hieäu baäc ñôn vò (unit step) baèng khoâng trong quaù khöù vaø baèng 1 keå töø goác thôøi gian veà sau (hình 3.3):
u(n) = 1 û n 0(3.4)
0 û n < 0 (hay n <= -1)
(c) Doác ñôn vò
Tín hieäu doác ñôn vò (unit ramp) laø doác leân (hình 3.4), coù bieåu thöùc toaùn hoïc
r(n) = 0 ôû n < 0(3.5)
1 ôû n 0
10123-1-2x(n) = (n)Hình 3.2: Xung löïc ñôn vò
10123-1-2x(n) = u(n)Hình 3.3: Baäc ñôn vò . . .
n
10123-1-2Hình 3.4: Doác ñôn vò x(n) = r(n)
n
. . .
(d) Haøm muõ thöïc
ÔÛ ñaây ta chæ xeùt haøm muõ thöïc (real exponential), haøm muõ phöùc (complex eseponential) seõ noùi ôû sau. Tín hieäu
x(n) =an ôû n 0a thöïc(3.6)
=0 ôû n < 0
nx(n) . . .1-2-13210
(a) 0 < a < 1
x(n)
n1. . .-2-13210
(b) a > 1
x(n)
1
. . .
31
-2-120
(c) -1 < a < 0
x(n)
. . .1
31
-2-120
(d) a < -1
Hình 3.5: x(n)=an, n0, a thöïc
Hình 3.5 veõ tín hieäu haøm muõ thöïc ôû caùc tröôøng hôïp khaùc nhau cuûa a.
Taát caû caùc tín hieäu cô baûn neâu treân chæ hieän höõu ôû n 0. Caùc tín hieäu nhö vaäy ñöôïc goïi laø tín hieäu nhaân quaû (causal) (xem sau).
3.2 TÍN HIEÄU SIN - TAÀN SOÁ SOÁ
Khi noùi tín hieäu sin ta muoán noùi caû hai daïng sin vaø cosin nhöng daïng cosin thöôøng ñöôïc duøng hôn. Tín hieäu sin töông töï lieân tuïc thôøi gian coù bieåu thöùc toång quaùt
x(t) = Acos(
Ω size 12{ %OMEGA } {}t + 0)(3.7)
trong ñoù A laø bieân ñoä ñænh (ñôn vò volt),
Ω size 12{ %OMEGA } {} taàn soá goùc (ñôn vò radian/s), 0 pha ban ñaàu töùc pha ôû t = 0 (ñôn vò radian). Ngoaøi ra coøn coù caùc heä thöùc f =
Ω size 12{ %OMEGA } {}/2 vôùi f laø taàn soá (ñôn vò Hertz), Tx= 1/f laø chu kyø cuûa tín hieäu (ñôn vò s).
3.2.1 Tín hieäu sin soá thöïc
Tín hieäu sin rôøi raïc thôøi gian
x(n) = Acosn
ω size 12{ω} {}(3.8)
Trong bieåu thöùc naøy n laø rôøi raïc (soá nguyeân döông hoaëc aâm) coøn
ω size 12{ω} {} laø lieân tuïc. Vì n laø soá maãu coøn n
ω size 12{ω} {} phaûi laø goùc töùc coù ñôn vò laø radian neân
ω size 12{ω} {} coù ñôn vò laø radian/maãu vaø ñöôïc goïi laø taàn soá soá (digital frequency). Khi tín hieäu coù pha ban ñaàu 0 thì
x(n) = Acos(n
ω size 12{ω} {} + 0)(3.9)
Ví duï
x(n) = Acos(n/6 + /3)(3.10)
Tín hieäu ñöôïc veõ ra ôû hình 3.6.
Hình 3.6: Tín hieäu x(n)=Acos(n
ω+Φ0) size 12{ω+Φ rSub { size 8{0} } \) } {} vôùi
ω= size 12{ω={}} {}/6,
Φ0 size 12{Φ rSub { size 8{0} } } {}=/3
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
Söï tuaàn hoaøn
Tín hieäu sin rôøi raïc thôøi gian nhö bieåu dieãn bôûi (3.8) laø khoâng nhaát thieát tuaàn hoaøn. Maëc duø caùc trò maãu naèm treân moät hình bao tuaàn hoaøn nhöng baûn thaân caùc trò maãu coù theå khoâng phaûi laø moät chuoãi tuaàn hoaøn. ÔÛ ví duï treân (hình 3.6) tín hieäu laø tuaàn hoaøn. Neáu laáy maãu tín hieäu sin töông töï ôû caùc thôøi ñieåm maø bieân ñoä baèng khoâng hoaëc taïi caùc cöïc trò döông thì ta seõ ñöôïc tín hieäu sin rôøi raïc khoâng tuaàn hoaøn. Xem tín hieäu
x(n) = Acosn5/6(3.11)
n0468161820-221012142224A–A
Hình 3.7: Tín hieäu x(n) = Acos5/6
Nhìn hình ta khoâng thaáy daïng soùng sin nguyeân thuûy nhöng tín hieäu soá cuõng tuaàn hoaøn.
Tín hieäu sin rôøi raïc thôøi gian chæ tuaàn hoaøn khi chu kyø laáy maãu coù moät lieân heä naøo ñoù vôùi chu kyø sin töông töï töông öùng. Xem tín hieäu x(n) tuaàn hoaøn ôû chu kyø N maãu (N soá nguyeân) thì
x(n) = Acos(n + N)
ω size 12{ω} {} = Acosn
ω size 12{ω} {}
Ñeå thoûa ñieàu kieän naøy N
ω size 12{ω} {} phaûi laø boäi soá nguyeân m naøo ñoù cuûa 2:
N
ω size 12{ω} {} = m2
hay
ω2π size 12{ { {ω} over {2π} } } {}=
mN size 12{ { {m} over {N} } } {}(3.12)
Nhö vaäy tín hieäu sin soá chæ tuaàn hoaøn khi
ω size 12{ω} {}/2 laø moät soá höõu tæ (tæ soá hai soá nguyeân). Neáu khoâng thoûa ñieàu kieän naøy thì caùc trò maãu seõ khoâng laëp laïi. Tín hieäu (3.10) laø tuaàn hoaøn vì = /6 neân /2 = 1/12 vaø chu kyø laø N = 12 maãu. Tín tuaàn hoaøn vì = 5/6 neân
ω size 12{ω} {}/2 = 5/12 vaø chu kyø cuõng laø N = 12 maãu. Ñeå yù laø söï thay ñoåi nhoû cuûa taàn soá coù theå daãn ñeán thay ñoåi lôùn cuûa chu kyø, ví duï vôùi
ω size 12{ω} {}/2 = 31/60 60 maãu vôùi
ω size 12{ω} {}/2 = 30/60 = ½ chu kyø chæ coøn 2 maãu.
3.2.2 Lieân heä giöõa taàn soá soá vaø taàn soá töông töï
Tín hieäu sin soá x(n) = Acosn
ω size 12{ω} {} hoaøn thaønh moät voøng bieán ñoåi, töùc chu kyø, khi
n
ω size 12{ω} {} = 2 radian
töùc
ω size 12{ω} {} =
2πn size 12{ { {2π} over {n} } } {} radian/maãu(3.13)
Nhö vaäy
ω size 12{ω} {} coù theå ñöôïc xem nhö laø goùc giöõa hai maãu keá tieáp khi caùc maãu nhö phaân boá ñeàu treân voøng troøn. Tín hieäu (3.10) coù
ω size 12{ω} {} = /6 neân coù 2/
ω size 12{ω} {} = 12 maãu/chu kyø. Tín hieäu (3.11) coù = 5/6 neân coù 2/
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
= 12/5 = 2,4 maãu/chu kyø.
Ñeå lieân heä taàn soá soá
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
vôùi taàn soá töông töï ta baét ñaàu baèng tín hieäu sin töông töï x(t) = Acos
Ω size 12{ %OMEGA } {}t trong ñoù,
Ω size 12{ %OMEGA } {} laø taàn soá goùc (radian/s), f=
Ω size 12{ %OMEGA } {}/2 laø taàn soá (Hz), Tx=1/f laø chu kyø (s). Khi laáy maãu ñeàu ôû caùc thôøi gian t=nT, T laø chu kyø laáy maãu hay khoaûng laáy maãu vaø fs = 1/T laø taàn soá hay toác ñoä laáy maãu, thì
x(n) = Acos
Ω size 12{ %OMEGA } {}nT = Acosn
Ω size 12{ %OMEGA } {}T
Nhö vaäy ñoái chieáu vôùi tín hieäu sin soá x(n) = Acosn
ω size 12{ω} {} ta coù heä thöùc
ω size 12{ω} {} =
Ω size 12{ %OMEGA } {}T(radian/s) (s) = radian/maãu(3.15)
Cuõng coù ngöôøi goïi taàn soá laø
Ω size 12{ %OMEGA } {} vaø taàn soá töông töï laø
ω size 12{ω} {} , töùc ngöôïc laïi vôùi ñaây.
Vôùi
Ω size 12{ %OMEGA } {}=2f vaø T=1/fs neân
ω size 12{ω} {} cuõng laø
ω size 12{ω} {} =
2πffs size 12{ { {2πf} over {f rSub { size 8{s} } } } } {}radian/maãu(3.16)
Tín hieäu sin soá trôû thaønh
x(n) = Acosn
2πffs size 12{ { {2πf} over {f rSub { size 8{s} } } } } {}(3.17)
Nhö vaäy taàn soá soá
ω size 12{ω} {} tuøy thuoäc vaøo taàn soá töông töï f laãn toác ñoä laáy maãu fs. Vì f vaø fs lieân tuïc neân
ω size 12{ω} {} cuõng lieân tuïc chôù khoâng giaùn ñoaïn.
Tính theo
ω size 12{ω} {} thì taàn soá fs töông öùng vôùi
ω size 12{ω} {} = 2, taàn soá Nyquist fs/2 töông öùng vôùi
ω size 12{ω} {} = , khoaûng Nyquist (-fs/2, fs/2) thaønh (-, ), vaø caùc taàn soá laëp f mfs thaønh
2πf±mfsfs size 12{ { {2π left (f +- ital "mf" rSub { size 8{s} } right )} over {f rSub { size 8{s} } } } } {}=
2πffs size 12{ { {2πf} over {f rSub { size 8{s} } } } } {} m2 =
ω size 12{ω} {} m2(3.18)
Ñieàu naøy coù nghóa laø theâm bôùt boäi soá 2 cho taàn soá
ω size 12{ω} {} khoâng thay ñoåi tín hieäu. Hai tín hieäu sin soá baát kyø coù taàn soá trong khoaûng (-, ), töùc coù taàn soá
ω size 12{ω} {} , laø taùch bieät (khaùc nhau). Caùc tín hieäu sin soá coù taàn soá
ω size 12{ω} {}> seõ ñöôïc bieät danh vaøo khoaûng Nyquist nhö ñaõ bieát. Trong luùc ñoù caùc tín hieäu sin töông töï laø taùch bieät ôû taát caû caùc taàn soá trong khoaûng (-,). Lieân heä giöõa taàn soá töông töï f vaø taàn soá soá
ω size 12{ω} {} ñöôïc trình baøy ôû hình 3.8. ÔÛ hình (b) neáu ta dòch chuyeån treân voøng troøn theo chieàu löôïng giaùc (ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà) thì
seõ qua caùc taàn soá Ω = 0, /2, , 3/2, 2, . . .; coøn neáu di chuyeån theo chieàu ngöôïc laïi seõ qua caùc taàn soá Ω = 0, -/2, -, -3/2, -2, . . .
32-2-3Khoaûng Nyquist. . .. . .
3fs2 size 12{ { {3f rSub { size 8{s} } } over {2} } } {}fs2 size 12{ { {f rSub { size 8{s} } } over {2} } } {}−fs2 size 12{ - { {f rSub { size 8{s} } } over {2} } } {}−3fs2 size 12{ - { {3f rSub { size 8{s} } } over {2} } } {}fs0fs. . .-
f (H3)
. . .
ω size 12{ω} {}(radian/maãu )0
(a)
π
2
f
=
f
s
4
size 12{ { {π} over {2} } " " left (f= { {f rSub { size 8{s} } } over {4} } right )} {}
ω size 12{ω} {}=0 (f=0) (f=fs/2)
0- (f=-fs/2)
(b)
−π2f=−fs4 size 12{ - { {π} over {2} } " " left (f= - { {f rSub { size 8{s} } } over {4} } right )} {}
Hình 3.8: Lieân heä giöõa taàn soá töông töï f vaø taàn soá soá
ω size 12{ω} {}{}
3.2.3 Tín hieäu muõ phöùc (sin phöùc)
Xem tín hieäu muõ x(n) = an. Khi a phöùc ta vieát
a = r ej
ω size 12{ω} {}(3.19)
Tín hieäu trôû thaønh
x(n) =( r ej
ω size 12{ω} {})n = rn ejn
ω size 12{ω} {}
Ñaây laø tín hieäu muõ phöùc. Phaân ra thaønh phaàn thöïc vaø aûo
x(n) = rn (cosn +jsinn
ω size 12{ω} {})
Vaäy
xR(n) = rn cosn
ω size 12{ω} {}(3.20a)
xI(n) = rn sinn
ω size 12{ω} {}(3.20b)
Töø ñaây ta coù bieân ñoä (ñoä lôùn) vaø pha
x(n) =
xR2n+xI2n=rn size 12{ sqrt {x rSub { size 8{R} } rSup { size 8{2} } left (n right )+x rSub { size 8{I} } rSup { size 8{2} } left (n right )} =r rSup { size 8{n} } } {}(3.21a)
(n) = arg x(n) = arctg
xInxRn size 12{ { {x rSub { size 8{I} } left (n right )} over {x rSub { size 8{R} } left (n right )} } } {}= arctg(tgn
ω size 12{ω} {}) = n
ω size 12{ω} {} (3.21b)
Thaät ra töø bieåu thöùc (3.18) ta thaáy ngay hai keát quaû treân cuûa x(n)vaø n.
Ví duï 3.2.1:
Veõ xR(n), xI(n),x(n), (n) khi r = 0,9 vaø
ω size 12{ω} {} = /10
Giaûi:
Ta coù
x(n) = 0,9n ejn/10
xR(n) = 0,9n cosn/10
xI(n) = 0,9n sinn/10
x(n) = 0,9n
(n) = n/10
Hình 3.9 veõ caùc haøm soá ôû treân. Rieâng veà pha (n) = n
ω size 12{ω} {} = n/10 thì caùch tröïc tieáp laø cho n caùc trò taêng daàn veà phía döông vaø aâm vaø veõ ra, nhöng vì chu kyø bieán ñoåi cuûa sin, cosin vaø haøm muõ phöùc laø 2 neân ngöôøi ta veõ pha (n) theo modulo 2 trong khoaûng 0 ñeán 2 hoaëc thöôøng hôn trong khoaûng - ñeán .
3.3 TÍN HIEÄU NAÊNG LÖÔÏNG VAØ TÍN HIEÄU COÂNG SUAÁT
Tín hieäu naêng löôïng vaø tín hieäu coâng suaát ñoái vôùi caùc tín hieäu töông töï ñaõ ñöôïc trình baøy ôû muïc 1.1.3. Coâng suaát töùc thôøi tieâu taùn ôû ñieän trôû R khi ñöôïc aùp hieäu theá x(t) laø p(t) = x2(t)/R. Ñeå ñöôïc ñoäc laäp vôùi R, ngöôøi ta xem R=1 vaø coâng suaát trôû thaønh p(t) = x2(t). Ñaây laø coâng suaát chuaån hoùa (normalised power) (muïc 1.1.3).
Ñoái vôùi tín hieäu rôøi raïc x(n), coâng suaát (yù noùi coâng suaát chuaån hoùa) laø
p=x2(n)(3.22
Tuy nhieân neáu x(n) phöùc thì coâng suaát phaûi ñöôïc hieåu laø
p=x(n)2(3.23)
Cuõng nhö ñoái vôùi tín hieäu töông töï ñoâi khi ngöôøi ta caàn phaân tín hieäu soá ra laøm tín hieäu naêng löôïng vaø tín hieäu coâng suaát.
3.3.1 Tín hieäu naêng löôïng
Coâng suaát cuûa tín hieäu ñaõ ñöôïc bieát nhö treân. Naêng löôïng cuûa tín hieäu ôû moïi thôøi gian
E=∑n=−∞∞∣xn∣2 size 12{E= Sum cSub { size 8{n= - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { lline x left (n right ) rline rSup { size 8{2} } } } {}(3.24)
Neáu E höõu haïn vaø khaùc khoâng töùc 0<E<∞ ta coù tín hieäu naêng löôïng, neáu E voâ haïn tín hieäu khoâng phaûi laø loaïi naêng löôïng.
Ví duï 3.3.1:
Cho tín hieäu sau, xem coù phaûi tín hieäu naêng löôïng khoâng:
xn=12n size 12{x left (n right )= left ( { {1} over {2} } right ) rSup { size 8{n} } } {}n 0
= 3nn < 0
Giaûi:
Tröôùc tieân tín hieäu ñöôïc veõ ra nhö ôû hình 4.10. Naêng löôïng cuûa tín hieäu
E
=
∑
n
=
0
∞
1
2
2n
+
∑
n
=
−
∞
−
1
3
2n
=
∑
n
=
0
∞
1
4
n
+
∑
n
=
1
∞
1
9
n
size 12{E= Sum cSub { size 8{n=0} } cSup { size 8{ infinity } } { left ( { {1} over {2} } right ) rSup { size 8{2n} } } + Sum cSub { size 8{n= - infinity } } cSup { size 8{ - 1} } {3 rSup { size 8{2n} } } = Sum cSub { size 8{n=0} } cSup { size 8{ infinity } } { left ( { {1} over {4} } right ) rSup { size 8{n} } } + Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{ infinity } } { left ( { {1} over {9} } right ) rSup { size 8{n} } } } {}
11−1/4+11−1/9−1=3524 size 12{ = left ( { {1} over {1 - {1} slash {4} } } right )+ left ( { {1} over {1 - {1} slash {9} } } - 1 right )= { {"35"} over {"24"} } } {}(3.25)
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
Vaäy tín hieäu laø naêng löôïng.
Ví duï 3.3.2:
Tín hieäu baäc ñôn vò sau laø tín hieäu gì ?
u(n) = 1n 0
=0n < 0
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
Giaûi:
Naêng löôïng
E=∑k=0∞u2n size 12{E= Sum cSub { size 8{k=0} } cSup { size 8{ infinity } } {u rSup { size 8{2} } } left (n right )} {}= 12(n=0) + 12(n=1) + 12(n=2) = ... = (3.26)
Vaäy khoâng phaûi laø tín hieäu naêng löôïng. Nhöng laø tín hieäu gì ? (xem sau).
3.3.2 Tín hieäu coâng suaát
Naêng löôïng tín hieäu trong khoaûng thôøi gian (-N, N)
E
2N
=
∑
n
=
−
N
N
∣
x
n
∣
2
size 12{E rSub { size 8{2N} } = Sum cSub { size 8{n= - N} } cSup { size 8{N} } { lline x left (n right ) rline rSup { size 8{2} } } } {}
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
Coâng suaát trung bình trong khoaûng thôøi gian naøy cho bôûi
P2N=
12N+1 size 12{ { {1} over {2N+1} } } {}E2N
Coâng suaát trung bình trong toaøn thôøi gian
P=limN→∞12N+1E2N size 12{P= {"lim"} cSub { size 8{N rightarrow infinity } } { {1} over {2N+1} } E rSub { size 8{2N} } } {}(3.27)
Neáu coâng suaát trung bình naøy höõu haïn vaø khaùc khoâng töùc 0<P<∞ thì x(n) laø tín hieäu coâng suaát. Caùc tín hieäu thöïc teá laø loaïi naêng löôïng hoaëc loaïi coâng suaát.
Ví duï 3.3.3:
Chöùng toû tín hieäu baäc ñôn vò laø tín hieäu coâng suaát.
Giaûi:
Naêng löôïng trong khoaûng thôøi gian [-N, N ]
E
2N
=
∑
n
=
−
N
N
s
2
n
=
∑
n
=
0
N
s
2
n
=
1
+
1
+
.
.
.
+
1
=
1
+
N
size 12{E rSub { size 8{2N} } = Sum cSub { size 8{n= - N} } cSup { size 8{N} } {s rSup { size 8{2} } left (n right )} = Sum cSub { size 8{n=0} } cSup { size 8{N} } {s rSup { size 8{2} } left (n right )} =1+1+ "." "." "." +1=1+N} {}
Khi N thì naêng löôïng lôùn voâ haïn nhö tröôùc. Nhöng coâng suaát trung bình:
P=limN→∞12N+1E2N=limN→∞N+12N+1=12 size 12{P= {"lim"} cSub { size 8{N rightarrow infinity } } { {1} over {2N+1} } E rSub { size 8{2N} } = {"lim"} cSub { size 8{N rightarrow infinity } } { {N+1} over {2N+1} } = { {1} over {2} } } {}(3.28)
Vaäy x(n) laø tín hieäu coâng suaát.
Ví duï 3.3.4:
Tín hieäu doác ñôn vò sau laø tín hieäu gì ?
r(n) = nn 0
=0n < 0
Giaûi:
Naêng löôïng trong khoaûng (-N, N)
E
2N
=
∑
n
=
−
N
N
r
2
n
=
∑
n
=
0
N
r
2
n
=
0
2
+
1
2
+
2
2
+
.
.
.
+
N
2
=
N
(
N
+
1
)
(
2N
+
1
)
6
size 12{E rSub { size 8{2N} } = Sum cSub { size 8{n= - N} } cSup { size 8{N} } {r rSup { size 8{2} } left (n right )={}} Sum cSub { size 8{n=0} } cSup { size 8{N} } {r rSup { size 8{2} } left (n right )={}} 0 rSup { size 8{2} } +1 rSup { size 8{2} } +2 rSup { size 8{2} } + "." "." "." +N rSup { size 8{2} } = { {N \( N+1 \) \( 2N+1 \) } over {6} } } {}
Khi N , E2N vaäy r(n) khoâng phaûi laø tín hieäu naêng löôïng. Coâng suaát trung bình
P=limN→∞12N+1⋅N(N+1)(2N+1)6=limN→∞N(N+1)6=∞ size 12{P= {"lim"} cSub { size 8{N rightarrow infinity } } { {1} over {2N+1} } cdot { {N \( N+1 \) \( 2N+1 \) } over {6} } = {"lim"} cSub { size 8{N rightarrow infinity } } { {N \( N+1 \) } over {6} } = infinity } {} (3.29)
Vaäy r(n) cuõng khoâng phaûi laø tín hieäu coâng suaát. Ñeå yù laø tín hieäu doác leân voâ haïn laø khoâng theå phaùt sinh trong thöïc teá.
3.4 HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC THÔØI GIAN
Xem moät heä thoáng nhaän tín hieäu vaøo x(n) vaø cho tín hieäu ra y(n). Heä thoáng coù moät taùc ñoäng hoaëc xöû lyù naøo ñoù leân tín hieäu vaøo neân, noùi chung, tín hieäu ra khaùc tín hieäu vaøo. Ta goïi taùc ñoäng hay xöû lyù cuûa heä thoáng laø H, vaø vieát
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
x(n)H→y(n) size 12{x \( n \) widevec { size 8{H} } y \( n \) } {}(3.30a)
hoaëc:
y(n)=Hxn size 12{y \( n \) =H left [x left (n right ) right ]} {}(3.30b)
Ví duï neáu heä thoáng laø maïch nhaân ñoâi bieân ñoä thì
y(n) = 2 x x(n)(x laø daáu nhaân)
vaø
H = 2x
nx(n): Ví duï heä thoáng nhaân ñoâi-0.5H = 2x-1011,52y(n)-10234VaøoRa-2nHình 3.12
Tröôøng hôïp naøy heä thoáng chæ nhaân ñoâi treân bieân ñoä vaøo ôû caùc thôøi ñieåm n ñeå cho tín hieäu ra (hình 3.12).
Nhö ñaõ noùi ôû tröôùc, heä thoáng rôøi raïc thôøi gian thöôøng ñöôïc goïi laø boä xöû lyù tín hieäu soá. Söï xöû lyù ôû ñaây coù theå laø do phaàn cöùng (maïch ñieän töû) hoaëc phaàn meàm (chöông trình) hoaëc keát hôïp caû hai.
3.4.1 Phöông trình tín hieäu vaøo ra moâ taû heä thoáng
Thöôøng ta chæ ñeå yù ñeán taùc ñoäng toaøn theå cuûa heä thoáng leân tín hieäu vaøo maø khoâng quan taâm ñeán, hoaëc khoâng bieát ñöôïc caáu truùc cuï theå cuûa heä thoáng (phaàn cöùng hoaëc/ vaø phaàn meàm). Trong tröôøng hôïp naøy thöôøng heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình tín hieäu vaøo ra (input – output signal equation) chæ söï lieân heä giöõa tín hieäu ra vaø vaøo, ví duï:
y(n) = 2x(n)
Thöôøng thì lieân heä giöõa tín hieäu ra vaø vaøo phöùc taïp hôn. Xem caùc ví duï sau.
Ví duï 3.4.1:
Heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi caùc phöông trình vaøo ra
(a) y(n) = x(n-1)(3.31)
(b) y(n) = x(n+1)(3.32)
(c) y(n) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x(n-1) + x(n) + x(n+1)](3.33)
(d) y(n) = max [x(n-1), x(n), x(n+1)](3.34)
(e) y(n) = x(2n)(3.35)
(f) y(n) =
xn2 size 12{x left ( { {n} over {2} } right )} {} n chaün(3.36)
= 0n leû
Tìm tín hieäu ra khi tín hieäu vaøo
x(n) = n-3 n 3
= 0beân ngoaøi
Giaûi:
Tín hieäu vaøo ñöôïc tính ra laø
x(n) = [ 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 0 ]
Ñaây laø tín hieäu höõu haïn thôøi gian (hình 3.13).
Caùch chung ñeå tìm tín hieäu ra laø tính tín hieäu ra ôû n= 0, 1, 2, ... cho ñeán khi tín hieäu ra baèng khoâng lieân tieáp, roài tính tín hieäu ra ôû n= -1, -2, ... cho ñeán khi tín hieäu ra baèng khoâng lieân tieáp.
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
Hình 3.13: Ví duï 3.4.1 (tín hieäu vaøo)
(a)y(n) = x(n-1)(3.35)
y(0) = x(-1) = 1
y(1) = x(0) = 0
y(2) = x(1) = 1
y(3) = x(2) = 2
y(4) = x(3) = 3
y(5) = x(4) = 0
y(-1) = x(-2) = 2
y(-2) = x(-3) = 3
y(-3) = x(-3) = 0
Vaäy tín hieäu ra
y(n) = [ 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 0 ]
Ta thaáy tín hieäu ra laø tín hieäu vaøo ñöôïc laøm chaäm ñi (trì hoaõn) moät ñôn vò thôøi gian (moät maãu). ÔÛ thôøi ñieåm n=0
y(0) = x(-1)
coù nghóa laø tín hieäu ra ôû thôøi ñieåm n=0 baèng tín hieäu vaøo ôû n=-1, töùc heä thoáng laø moät trì hoaõn ñôn vò (unit delay). Nhaän xeùt söï trì hoaõn, töø daïng soùng cuûa x(n) ta dòch chuyeån phaûi moät ñôn vò seõ ñöôïc daïng soùng cuûa y(n) maø khoâng caàn tính toaùn chi tieát nhö ôû treân.
(b)y(n) = x(n+1)
y(0) = x(1) = 1
y(1) = x(2) = 2
y(2) = x(3) = 3
y(3) = x(4) = 0
y(-1) = x(0) = 0
y(-2) = x(-1) = 1
y(-3) = x(-2) = 2
y(-4) = x(-3) = 3
y(-5) = x(-4) = 0
Vaäy tín hieäu ra
y(n) = [ 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 0
Tín hieäu vaøo x(n) ñöôïc laøm tôùi tröôùc (xaûy ra tröôùc) moät ñôn vò thôøi gian (moät maãu) ñeå thaønh tín hieäu ra. ÔÛ thôøi ñieåm n=0
y(0) = x(+1)
coù nghóa laø tín hieäu ra ôû thôøi ñieåm n=0 laø tín hieäu vaøo ôû moät khoaûng laáy maãu sau ñoù. Vaäy heä thoáng laø maïch tôùi tröôùc ñôn vò (unit advance). Töø nhaän xeùt naøy ta coù theå veõ thaúng tín hieäu ra maø khoâng caàn tính toaùn chi tieát nhö ôû treân.
(c) y(n) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x(n-1) + x(n) + x(n+1)]
Döïa vaøo keát quaû ôû (a) vaø (b) thì bieåu thöùc naøy cho thaáy tín hieäu ra ôû moät thôøi ñieåm (n) laø trò trung bình cuûa tín hieäu vaøo ôû thôøi ñieåm ñoù (n), tín hieäu vaøo moät thôøi ñieåm tröôùc ñoù (n-1) vaø tín hieäu vaøo moät thôøi ñieåm sau ñoù (n+1). Ñaây laø maïch laáy trung bình coäng . Sau naøy ta seõ thaáy ñaây laø moät loïc thoâng thaáp (lowpass filter) (cho taàn soá thaáp ñi ra vaø chaën laïi taàn soá cao).
Sau ñaây laø caùch tính töøng thôøi ñieåm:
y(0) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x(-1) + x(0) + x(1)] =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}(1+0+1) =
23 size 12{ { {2} over {3} } } {}
y(1) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x(0) + x(1) + x(2)] =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}(0+1+2) = 1
y(2) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x(1) + x(2) + x(3)] =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}(+2+3) = 2
y(3) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x(2) + x(3) + x(4)] =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}(2+3+0) =
53 size 12{ { {5} over {3} } } {}
Tieáp tuïc seõ ñöôïc keát quaû
y(n) = [ 0, 1,
53 size 12{ { {5} over {3} } } {}, 2, 1,
23 size 12{ { {2} over {3} } } {}, 1, 2,
53 size 12{ { {5} over {3} } } {}, 1, 0 ]
(d) y(n) = max[x(n-1), x(n), x(n+1)]
Tín hieäu ra ôû thôøi ñieåm n laø tín hieäu vaøo lôùn nhaát ôû 3 thôøi ñieåm n-1, n vaø n+1.
Caùch tính nhö sau :
y(0) = max[x(-1), x(0), x(1)] = max(1,0,1) = 1
y(1) = max[x(0), x(1), x(2)] = max(0,1,2) = 2
y(2) = max[x(1), x(2), x(3)] = max(1,2,3) = 3
Tieáp tuïc seõ ñöôïc:
y(n) = [ 0, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 0 ]
(e) y(n) = x(2n)
y(0) = x(0) = 0
y(1) = x(2) = 2
y(2) = x(4) = 0
y(-1) = x(-2) = 0
y(-2) = x(-4) = 0
Heä thoáng chæ giöõ moät maãu boû moät maãu xen keõ nhau keå töø goác. Ñaây laø söï neùn toác ñoä (rate compressing) hay laáy maãu xuoáng (down sampling) hay tieâu huûy (decimation)(muïc 2.2.4).
(f) y(n) = x(n/2) neáu n chaün, = 0 neáu n leû
y(0) = x(0) = 0
y(1) = x(1/2) = 0
y(2) = x(1) = 1
y(3) = x(3/2) = 0
y(4) = x(2) = 2
y(5) x(5/2) = 0
y(6) x(3) = 3
y(7) = x(7/2) = 0
Heä thoáng taêng gaáp ñoâi soá maãu vaøo baèng caùch theâm caùc maãu khoâng xen keû. Ñaây laø söï giaõn toác ñoä (rate expanding) hay laáy maãu leân (upsampling) hay noäi suy (interpolation)(muïc 2.5.2).
3.4.2 Bieåu dieãn heä thoáng baèng sô ñoà khoái
Thay vì phöông trình vaøo - ra ta coù theå duøng sô ñoà khoái (hay löu ñoà tín hieäu) ñeå moâ taû heä thoáng. Caùch bieåu dieãn naøy giuùp thaáy ñöôïc caáu truùc cuûa heä thoáng. Sau ñaây laø moät soá sô ñoà (hay kyù hieäu) cô baûn, töø caùc sô ñoà cô baûn naøy ta coù theå veõ neân sô ñoà khoái caùc heä thoáng phöùc taïp hôn .
Maïch coäng tín hieäu:
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
Maïch tröø tín hieäu:+
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
Maïch nhaân vôùi haèng soá:
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
Caùc soà nhaän a ñöôïc hieåu laø döông, coøn döông hay aâm thì daáu ñöôïc ghi ôû ñaàu vaøo maïch coäng
Maïch nhaân tín hieäu:
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
Neáu moät tín hieäu töï nhaân laø maïch bình phöông:
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
Trì hoaõn ñôn vò thôøi gian:
x(n) y(n) = x(n-1)
Kyù hieäu z duøng ôû ñaây vì coù lieân quan ñeán bieán ñoåi z (xem chöông 7). Trì hoaõn hai ñôn vò thôøi gian laø:
x(n) y(n) = x(n-2)
hoaëc
x(n) y(n) = x(n-2)
Tôùi tröôùc moät vaø hai ñôn vò thôøi gian
x(n) y(n) = x(n+1)
x(n) y(n) = x(n+2)
Ví duï 3.4.1:
Veõ löu ñoà caùc heä thoáng sau
(a)y(n) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x(n+1) + x(n) + x(n-1)]
(b)y(n) = 2x1(n) - 3x2(n) + 5x1(n)x2(n)
(c)y(n) = 3[
x1n−2x22n size 12{x rSub { size 8{1} } left (n right ) - 2x rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } left (n right )} {}]
(d)y(n) = -5x(n) + 2x(n-2) – 0,8y(n-1) + 3y(n-2)
Giaûi:
(a)
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
(b)
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
(c)
+.5230,8+--+
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
X(n)
(d)
Hình 3.14: Ví duï 3.4.1
Tín hieäu ra ñaõ trì hoaõn y(n-1) vaø y(n-2) xuaát hieän ôû veá beân phaûi chæ söï hoài tieáp(feedback). Heä thoáng ñöôïc goïi laø taùi sinh (regenerative) hay ñeä quy (recursive)(muïc 4.5). Ngöôïc laïi töø moät löu ñoà cho ta coù theå vieát phöông trình vaøo ra cuûa heä thoáng. Coù taùc giaû cho soá nhaän a coù theå döông hay aâm neân caùc ñaàu vaøo ôû maïch coäng ñeàu döông (khoâng caàn ghi theâm daáu coäng).
3.5 CAÙC LOAÏI HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC THÔØI GIAN
Heä thoáng rôøi raïc thôøi gian (boä xöû lyù tín hieäu soá) coù nhieàu loaïi vôùi nhöõng ñaëc tính khaùc nhau. Söï phaân loaïi giuùp ta hieåu theâm veà heä thoáng vaø choïn phöông phaùp phaân tích phuø hôïp hoaëc choïn loaïi heä thoáng phuø hôïp cho töøng öùng duïng.
3.5.1 Heä thoáng tónh vaø ñoäng
Heä thoáng tónh (static) laø heä thoáng maø tín hieäu ra chæ laø haøm cuûa tín hieäu vaøo ôû cuøng thôøi ñieåm (khoâng trì hoaõn, khoâng tôùi tröôùc). Ví duï:
y(n) = 2x(n)
y(n) = 2x(n) - x2(n)
Heä thoáng tónh khoâng caàn boä nhôù, vì tín hieäu vaøo seõ ra tröïc tieáp, neân coøn goïi heä thoáng khoâng coù nhôù (memoryless).
Heä thoáng ñoäng (dynamic) hay coù nhôù laø heä thoáng coù boä nhôù ñeå thöïc hieän söï trì hoaõn hoaëc / vaø söï tôùi tröôùc. Ví duï
y(n) = x(n) + x(n-1)caàn 1 oâ nhôù
y(n) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x(n+1) +x(n) + x(n-1)]caàn 2 oâ nhôù
yn=∑k=0Kxn−k size 12{y left (n right )= Sum cSub { size 8{k=0} } cSup { size 8{K} } {x left (n - k right )} } {}caàn boä nhôù höõu haïn (K oâ nhôù)
yn=∑k=−∞+∞xn−k size 12{y left (n right )= Sum cSub { size 8{k= - infinity } } cSup { size 8{+ infinity } } {x left (n - k right )} } {}caàn boä nhôù voâ haïn.
3.5.2 Heä thoáng nhaân quaû vaø phi nhaân quaû
Nhaân quaû (causal) yù noùi keát quaû phaûi ñeán sau nguyeân nhaân. ÔÛ heä thoáng nhaân quaû, tín hieäu ra xuaát hieän sau hay sôùm nhaát laø ñoàng thôøi vôùi tín hieäu vaøo. Neáu tín hieäu ra ôû moät thôøi ñieåm tuøy thuoäc vaøo tín hieäu vaøo ôû caùc thôøi ñieåm sau ñoù (töùc keát quaû coù tröôùc nguyeân nhaân) thì heä thoáng laø phi nhaân quaû (noncausal).
Ví du:ï
- y(n) = 2x(n) - 3x2(n) laø nhaân quaû.
- y(n) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x(n-1) +x(n) + x(n+1)] laø phi nhaân quaû vì x(n+1) laø tín hieäu xaûy ra sau y(n).
(c)
yn=∑k=0Kxn−k size 12{y left (n right )= Sum cSub { size 8{k=0} } cSup { size 8{K} } {x left (n - k right )} } {} laø nhaân quaû.
(d) y(n) = x(-n) laø nhaân quaû khi n>0, phi nhaân quaû khi n<0, noùi chung laø phi nhaân quaû.
(e) y(n) =
∑n=−∞∞xn size 12{ Sum cSub { size 8{n= - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } {x left (n right )} } {} laø phi nhaân quaû.
(f) y(n) =
∑k=−∞∞xn−k size 12{ Sum cSub { size 8{k= - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } {x left (n - k right )} } {} laø phi nhaân quaû.
(g) y(n) = x(n2) laø phi nhaân quaû.
(h) y(n) =x(2n) laø nhaân quaû khi n<0, phi nhaân quaû khi n>0, noùi chung laø phi nhaân quaû.
Heä thoáng xöû lyù thôøi gian thöïc (real time processing) laø heä thoáng nhaân quaû. Coøn heä thoáng xöû lyù thôøi gian khoâng thöïc hay xöû lyù khoái (block processing) (xem chöông 4) thì coù theå phi nhaân quaû vì caùc trò quaù khöù, hieän taïi vaø töông lai ñeàu ñaõ ñöôïc löu tröõ saün ôû boä nhôù.
3.5.3 Heä thoáng baát bieán thôøi gian vaø bieán thieân thôøi gian
Ñaëc tính cuûa heä thoáng coù theå thay ñoåi theo thôøi gian khieán tín hieäu ra tuøy thuoäc luùc aùp tín hieäu vaøo, ñaây laø heä thoáng bieán thieân thôøi gian (time variant), Cuõng coù heä thoáng maø ñaëc tính khoâng thay ñoåi theo thôøi gian, do ñoù tín hieäu ra ñoäc laäp vôùi thôøi ñieåm aùp tín hieäu vaøo, ñaây laø heä thoáng baát bieán thôøi gian (time invariant). Thay vì thôøi gian coù theå goïi dòch chuyeån , do ñoù heä thoáng laø bieán thieân dòch chuyeån (shift variant) hay baát bieán dòch chuyeån (shift invariant). Hình veõ 3.15 trình baøy heä thoáng baát bieán thôøi gian (dòch chuyeån) , döïa vaøo phöông trình tín hieäu vaøo ra cuûa heä thoáng: Khi tín hieäu vaøo x(n) trì hoaõn (dòch chuyeån) thaønh x(n-k) thì tín hieäu ra luùc baáy giôø y(n-k) giöôøng nhö tín hieäu ra luùc ñaàu y(n).
vaøorax(n)Hình 3.15: Heä thoáng baát bieán thôøi gianHeä thoángy(n)trì hoaõnkx(n-k)trì hoaõnky(n-k)
Sau ñaây laø moät soá ví duï :
(a) Heä thoáng moâ taû bôûi phöông trình vaøo - ra:
y(n) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x(n-1) + x(n) + x(n+1)] (3.35)
Neáu tín hieäu vaøo chaäm ñi k maãu töùc vaøo laø x(n-k) thì ra
y(n-k) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x(n-1-k) + x(n-k) + x(n+1+k)](3.36)
Neáu tín hieäu ra y(n) ôû (3.35) ñöôïc laøm chaäm laïi k maãu seõ trôû thaønh
y’(n-k) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x(n-1-k) + x(n-k) + x(n+1+k)](3.37)
Vì y’(k-n) = y(k-n) neân heä thoáng laø baát bieán thôøi gian.
(b) Heä thoáng laø
y(n) = nx(n)(3.38)
Ta coù
y(n-k) = nx(n-k)(3.39)
y’(n-k) = (n-k)x(n-k)(3.40)
Vì y’(k-n) khaùc y(k-n) neân heä thoáng bieán thieân thôøi gian.
(c) Heä thoáng
y(n) = x(-n)
Ta coù
y(n-k) = x(-n-k)
y’(n-k) = x[-(n-k)] = x(-n+k) y(n-k)
Vaäy heä thoáng laø bieán thieân thôøi gian.
3.5.4 Heä thoáng tuyeán vaø phi tuyeán
YÙ nghóa vaø tieâu chí veà tuyeán (hay tuyeán tính) (linear) vaø phi tuyeán (nonlinear) cuõng gioáng nhö ôû maïch töông töï. Hình 3.16 trình baøy ñieàu kieän ñeå heä thoáng laø tuyeán hay phi tuyeán. Giaû söû hai tín hieäu vaøo x1(n) vaø x2(n) aùp rieâng bieät cho tín hieäu ra laàn löôït laø y1(n) vaø y2(n). Khi aùp moät toå hôïp tuyeán cuûa hai tín hieäu vaøo (yù noùi moãi tín hieäu vaøo ñöôïc nhaân vôùi moät haèng soá roài coäng vaøo nhau) thì neáu tín hieäu ra laø toå hôïp tuyeán hai tín hieäu ra vôùi cuøng caùc heä soá, heä thoáng laø tuyeán.
Heä thoángvaøo ra
y1(n)Khi
x1(n)
y2(n)x2(n)
Thì tuyeán neáu
a1x1(n) size 12{a rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{1} } \( n \) } {}+
a2x2(n) size 12{a rSub { size 8{2} } x rSub { size 8{2} } \( n \) } {}a1y1(n) size 12{a rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{1} } \( n \) } {}+
a2y2(n) size 12{a rSub { size 8{2} } y rSub { size 8{2} } \( n \) } {}
(a1, a2 laø haèng soá)
Hình 3.16: Heä thoáng tuyeán vaø phi tuyeán
Lyù luaän treân cho thaáy heä thoáng tuyeán coù tính tæ leä (propoztion) vaø choàng chaát (superposition). Thay vì hai tín hieäu vaøo tröôøng hôïp nhieàu tín hieäu vaøo cuõng töông töï .
Sau ñaây laø moät soá ví duï :
(a) Heä thoáng moâ taû bôûi phöông trình vaøo ra
y(n) = nx(n)
Hai tín hieäu vaøo rieâng bieät x1(n), x2(n) cho hai tín hieäu ra rieâng bieät laàn löôït laø:
y1(n) = nx1(n)
y2(n) = nx2(n)
Vôùi tín hieäu vaøo
x(n) = a1x1(n) + a2x2(n)
Tín hieäu ra
y(n) = n[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1[nx1(n)] + a2[nx2(n)] = a1y1(n) + a2y2(n)
Vaäy heä thoáng laø tuyeán.
(b) Cho heä thoáng
y(n) = x(n2)
Lyù luaän ta toùm löôïc:
x1(n) y1(n) = x1(n2)
x2(n) y2(n) = x2(n2)
x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) y(n) = a1x1(n2) + a2x2(n2) = a1y1(n) + a2y2(n)
Vaäy heä thoáng laø tuyeán.
(c) Cho heä thoáng
y(n) = x2(n)
Lyù luaän:
x1(n) y1(n) = x12(n)
x2(n) y2(n) = x22(n)
x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) y(n) = [a1x1(n) + a2x2(n)]2
= a12y12(n) + a22y22(n) + 2a1a2x1(n)x2(n)
Vaäy heä thoáng laø phi tuyeán.
(d) Heä thoáng
y(n) = Ax(n) + BA, B haèng soá
Lyù luaän:
x1(n) y1(n) = Ax1(n) + B
x2(n) y2(n) = Ax2(n) + B
x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) y(n) = A[a1x1(n) + a2x2(n)] + B
= a1Ax1(n) + a2Ax2(n) + B
= a1[Ax1(n)+B] + a2[Ax2(n)+B] + B - a1B - a2B
= a1y1(n) + a2y2(n) + (1- a1 - a2)B
Do coù soá haïng cuoái cuøng neân heä thoáng laø phi tuyeán. Neáu B=0 heä thoâùng laø tuyeán. Heä thoáng coù ñieàu kieän ban ñaàu baèng khoâng, töùc khi x(n)=0 thì y(n)=0, maø trong tröôøng hôïp naøy laø B=0, laø heä thoáng ñöôïc thö giaõn (relaxed). Khi B0, heä thoáng khoâng ñöôïc thö giaõn neân heä thoáng khoâng ñuùng laø tuyeán maëc duø phöông trình bieåu thò moät ñöôøng thaúng.
Moät ñaëc tính quan troïng khaùc cuûa heä thoáng, vaø cuõng laø moät tieâu chí ñeå xeáp loaïi, laø söï oån ñònh (stability) maø thöôøng ñöôïc hieåu laø ñoái vôùi moät tín hieäu vaøo coù bieân ñoä höõu haïn tín hieäu ra phaûi coù bieân ñoä höõu haïn. Ñieàu kieän ñeå heä thoáng oån ñònh seõ ñöôïc trình baøy ôû chöông keá.
BAØI TAÄP CHÖÔNG 3
TÍN HIEÄU VAØ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC THÔØI GIAN
3.1 Tín hieäu rôøi raïc thôøi gian
3.1.1 Veõ caùc tín hieäu
(a) (n), -(n), 2(n – 4), - 5(n - 2)
(b) –u(n), u(-n), u(n-1), -u(-n-1), -3u(- n-3).
(c) –2r(n), r(-n), r(n) - 3r(n-2).
3.1.2 Chöùng toû u(n) – u(n-1) = (n) ôû moïi n.
3.1.3 Veõ caùc tín hieäu
(a) x(n) =
3−∣n∣ size 12{3 - lline n rline } {}-3 n 3, = 0 khaùc
(b) x(n) = 2n2 – 3n + 4 -3 n 3, = 0 khaùc
3.1.4 Veõ caùc tín hieäu lieân quan ñeán haøm muõ thöïc sau:
- x(n) = (-2)n
- x(n) = (-2)n +
−12n size 12{ left ( - { {1} over {2} } right ) rSup { size 8{n} } } {}
- x(n) =
−12−n size 12{ left ( - { {1} over {2} } right ) rSup { size 8{ - n} } } {}+ (-2)-n
3.1.5 Tìm bieåu thöùc cho caùc tín hieäu ôû hình veõ
x(n)0. . . x(n)24681012340.. . . 1x(n)n0(b)
n
(c)(a)n
Hình BT.3.1.7
3.2 Tín hieäu sin – taàn soá soá
3.2.1 Veõ caùc tín hieäu sau, xem tín hieäu naøo laø tuaàn hoaøn vaø xaùc ñònh chu kyø cuûa noù:
- x(n) = cos
πn4 size 12{ { {πn} over {4} } } {}{}
- x(n) = 5cos(n/5 + /6)
- x(n) = sinn2/15
- x(n) =
2cosπn5+π−3sinπn10−π size 12{2"cos" left ( { {πn} over {5} } +π right ) - 3"sin" left ( { {πn} over {"10"} } - π right )} {}
3.2.2 Veõ caùc tín hieäu
(a) x(n) = e0,3n
(b) x(n) = en/12sin
πn6 size 12{ { {πn} over {6} } } {}{}
(c) x(n) = e-n/5cos
πn4 size 12{ { {πn} over {4} } } {}u(n)
3.2.3 Cho tín hieäu:
x(n) = an vôùi a = 0,5ej(n/6 - /3)
Veõ Re x(n) , Im x(n) , x(n), x(n)
3.3 Tín hieäu naêng löôïng vaø tín hieäu coâng suaát
3.3.1 Xem caùc tín hieäu sau laø loaïi naêng löôïng hoaëc coâng suaát
- x(n) = 0,01ejn/10
- x(n) = 2(n) - 2(n-100)
3.3.2 Xem caùc tín hieäu sau laø loaïi naêng löôïng hoaëc coâng suaát
- x(n) = Asinn
ω size 12{ω} {}0
- x(n) = Asin2n
ω size 12{ω} {}0, A vaø
ω size 12{ω} {}0 laø caùc haèng.
3.4 Heä thoáng rôøi raïc thôøi gian
3.4.1 Tín hieäu vaøo ôû heä thoáng laø
x(n) = [ 0, 1, 2, 3, 2, 0]
Tìm tín hieäu ra khi phöông trình vaøo-ra cuûa heä thoáng cho bôûi
- y(n) = x(n) – 2x(n-1)
- y(n) = x2(n) – x(n)
- y(n) = min [x(n-1) , 2x(n) , x(n+1)]
3.4.2Cho tín hieäu tuaàn hoaøn
x(n) = [. . . 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0 . . .]
- Veõ 5 chu kyø tín hieäu.
- Veõ x(n) =
16 size 12{ { {1} over {6} } } {}[x(0)+x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)]
Heä thoáng naøy laø heä thoáng gì? Nhaän xeùt gì veà hai daïng soùng veõ ñöôïc?
3.4.3Cho caùc tín hieäu vaøo
x1(n) = u(n)
x2(n) = n khi –3 n 3, = 0 beân ngoaøi.
x3(n) = 3(n) - 5(n-3)
Tìm tín hieäu ra ôû heä thoáng moâ taû bôûi phöông trình:
- y(n) =
13 size 12{ { {1} over {3} } } {}[x1(n) + x2(n) + x3(n)]
- y(n) = max [x1(n) – 2x2(n) + x3(n)]
- Veõ sô ñoà khoái cuûa heä thoáng moâ taû bôûi phöông trình tín hieäu vaøo ra
(a) y(n) = - 2x2(n) - 3x(n)x(n-1) + 5x(n+1)x(n-2)
(b) y(n) =
−13 size 12{ - { {1} over {3} } } {}[x(n+1) + x2(n) - 2x(n-1) ]
(c) y(n) =
−13 size 12{ - { {1} over {3} } } {} x(n) + 3x(n) x(n-1)
−15 size 12{ - { {1} over {5} } } {}y(n-1) + 5y(n+2)
(d) y(n) = 1,23 y(n-1) - 0,54 y(n-2) + 2x(n) - 1,34 x(n-1) - 5x(n-2)
3.4.5 Sô ñoà khoái cuûa heä thoáng ñöôïc cho ôû hình veõ, vieát phöông trình moâ taû heä thoáng.
y(n)z-13++x(n)4z-1++2z-2z-132+y(n)z-2x1(n)x2(n)x3(n)23++++
(b)(a)
Hình BT.3.4.4
3.5 Caùc loaïi heä thoáng rôøi raïc thôøi gian
3.5.1 Xem caùc heä thoáng sau ñaây vaø xeáp loaïi tónh/ ñoäng, nhaân quaû/ phi nhaân quaû, baát bieán thôøi gian / bieán thieân thôøi gian, tuyeán / phi tuyeán:
- y(n) = x(n) - 3x2(n)
-
y
n
=
∑
k
=
0
∞
x
n
+
k
size 12{y left (n right )= Sum cSub { size 8{k=0} } cSup { size 8{ infinity } } {x left (n+k right )} } {}
- y(n) = x2(-2n)
-
y
n
=
∑
k
=
∞
∞
x
2