chương 3

Module by: Phuong Nguyen

Summary: fgdf

CHÖÔNG 3:

TÍN HIEÄU VAØ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC THÔØI GIAN

Tín hieäu töông töï thöôøng laø lieân tuïc thôøi gian. Baèng caùch laáy maãu tín hieäu töông töï ôû toác ñoä Nyquist , hoaëc hôn, ta ñöôïc tín hieäu ñaõ laáy maãu hay goïi tín hieäu rôøi raïc thôøi gian (discrete time signal) hay tín hieäu soá (digital signal) hay chuoãi soá (digital sequence). Caùc maãu rôøi raïc naøy thöôøng ñöôïc löôïng töû hoùa roài maõ hoùa thaønh caùc soá nhò phaân ñeå löu tröõ vaø xöû lyù treân maùy tính hoaëc truyeàn taûi treân caùc heä thoáng truyeàn thoâng soá. Tuy nhieân thöôøng ta hieåu caùc maãu rôøi raïc laø tín hieäu soá, coøn söï löôïng töû hoùa vaø maõ hoùa nhò phaân ñöôïc hieåu ngaàm. Cuõng coù tröôøng hôïp tín hieäu rôøi raïc thôøi gian do maïch soá hoaëc chöông trình maùy tính taïo ra neân ñaõ saün ôû daïng caùc soá nhò phaân.

Caùc heä thoáng soá laø ñeå xöû lyù caùc tín hieäu soá. Coù nhieàu heä thoáng khaùc nhau vaø caùch xöû lyù cô baûn vaø phoå bieán nhaát laø loïc töùc laøm thay ñoåi tính chaát taàn soá cuûa tín hieäu. Chöông naøy trình baøy caùc loaïi tín hieäu vaø caùc heä thoáng khaùc nhau, coøn taùc ñoäng loïc seõ laø noäi dung cuûa caùc chöông tieáp theo.

3.1 TÍN HIEÄU RÔØI RAÏC THÔØI GIAN

Trong chöông tröôùc ta ñaõ vieát tín hieäu rôøi raïc thôøi gian laø xˆtxˆt size 12{ { hat {x}} left (t right )} {} hoaëc x(nT) trong ñoù T laø khoaûng laáy maãu hoaëc chu kyø laáy maãu. T=1/fs vôùi fs laø taàn soá hay toác ñoä laáy maãu. Trong chöông naøy vaø caùc chöông tieáp theo ta vieát tín hieäu rôøi raïc thôøi gian laø x(n) trong ñoù n laø thôøi gian rôøi raïc vaø laø caùc soá nguyeân töø - ñeán . Nhö vaäy chu kyø laáy maãu T ñöôïc xem nhö baèng ñôn vò. n coøn ñöôïc goïi laø chæ soá (indese) tín hieäu töông töï nguyeân thuûy laø nhö theá naøo giöõa caùc thôøi ñieåm rôøi raïc thì ta khoâng quan taâm hoaëc khoâng bieát ñöôïc.

Hình 3.1 laø ví duï cuûa tín hieäu rôøi raïc thôøi gian. ÔÛ moãi thôøi ñieåm n bieân ñoä x(n) coù theå döông hoaëc aâm, soá nguyeân hoaëc soá coù phaân soá, soá thöïc hoaëc phöùc. Noùi toùm laïi x(n) coù theå coù baát cöù giaù trò naøo keå caû baèng khoâng hoaëc lôùn voâ haïn.

Hình 3.1: Tín hieäu rôøi raïc thôøi gianx(n)n-2-2024(a) tín hieäu voâ haïn thôøi gian-11313-3-4-122153. . .x(n)n-2-2024(b) tín hieäu höõu haïn thôøi gian-132-3-40125100-112. . .02

3.1.1 Tín hieäu höõu haïn thôøi gian vaø voâ haïn thôøi gian

Coù hai loaïi tín hieäu soá:

 Tín hieäu laâu voâ haïn hay voâ haïn thôøi gian: laø tín hieäu, noùi chung, hieän höõu ôû moïi thôøi gian n (hình 3.1a).

 Tín hieäu laâu höõu haïn hay höõu haïn thôøi gian: laø tín hieäu chæ hieän höõu trong moät khoaûng thôøi gian naøo ñoù. Thöôøng ta giaû söû khoaûng naøy ôû chung quang hoaëc gaàn goác thôøi gian n=0 (hình 3.1b).

Thay vì bao giôø cuõng phaûi veõ tín hieäu ra, caùch khaùc laø duøng caùch bieåu dieãn chuoãi (hay veùc tô ) theo ñoù ta vieát chuoãi bieân ñoä theo thöù töï thôøi gian taêng daàn vaø gaïch döôùi hoaëc vieát ñaäm bieân ñoä öùng vôùi goác thôøi gian n=0. Ví duï vôùi tín hieäu ôû hình 3.1 laø

x(n) = [...1, -2, 2, 3, 1, -1, 2, 2, 1, 3 ...] (3.1)

hoaëc

x(n) = [ 0, -2, -1, 2, 2, 1, 2, 0](3.2)

Ñeå yù laø khi tín hieäu laø voâ haïn thôøi gian phaûi theâm daáu chaám chaám ôû hai ñaàu cuûa chuoãi, coøn khi tín hieäu laø höõu haïn thôøi gian thì baét ñaàu baèng soá khoâng vaø keát thuùc baèng soá khoâng. Khi caùc bieân ñoä laø soá phaân soá (coù soá leû), ta duøng daáu chaám phaåy thay cho daáu phaåy ñeå taùch rôøi caùc soá.

3.1.2 Tín hieäu rôøi raïc thôøi gian cô baûn

Veà nguyeân taéc, tín hieäu töông töï coù baát cöù daïng soùng naøo neân tín hieäu rôøi raïc thôøi gian cuõng nhö vaäy (nhöng ñöôïc rôøi raïc hoùa veà thôøi gian). Tuy nhieân trong phaân tích ta thöôøng duøng moät soá tín hieäu xaùc ñònh, ñôn giaûn veà bieåu thöùc toaùn, goïi caùc tín hieäu cô baûn (muïc 1.2).

(a) Xung löïc ñôn vò

Xung löïc ñôn vò (unit impulse) coøn goïi laø maãu ñôn vò (unit sample) laø tín hieäu coù bieân ñoä 1 ôû goác thôøi gian vaø baèng khoâng ôû moïi thôøi ñieåm khaùc (hình 3.2):

(n) = 1 n = 0(3.3)

0 n  0

Ñeå yù laø tín hieäu xung löïc ñôn vò soá khaùc vôùi xung löïc ñôn vò (haøm delta Dirac) trong tín hieäu töông töï (xem phöông trình (1.15)).

(b) Baäc ñôn vò (caáp ñôn vò)

Tín hieäu baäc ñôn vò (unit step) baèng khoâng trong quaù khöù vaø baèng 1 keå töø goác thôøi gian veà sau (hình 3.3):

u(n) = 1 û n  0(3.4)

0 û n < 0 (hay n <= -1)

(c) Doác ñôn vò

Tín hieäu doác ñôn vò (unit ramp) laø doác leân (hình 3.4), coù bieåu thöùc toaùn hoïc

r(n) = 0 ôû n < 0(3.5)

1 ôû n  0

10123-1-2x(n) = (n)Hình 3.2: Xung löïc ñôn vò

10123-1-2x(n) = u(n)Hình 3.3: Baäc ñôn vò . . .

n

10123-1-2Hình 3.4: Doác ñôn vò x(n) = r(n)

n

. . .

(d) Haøm muõ thöïc

ÔÛ ñaây ta chæ xeùt haøm muõ thöïc (real exponential), haøm muõ phöùc (complex eseponential) seõ noùi ôû sau. Tín hieäu

x(n) =an ôû n  0a thöïc(3.6)

=0 ôû n < 0

nx(n) . . .1-2-13210

(a) 0 < a < 1

x(n)

n1. . .-2-13210

(b) a > 1

x(n)

1

. . .

31

-2-120

(c) -1 < a < 0

x(n)

. . .1

31

-2-120

(d) a < -1

Hình 3.5: x(n)=an, n0, a thöïc

Hình 3.5 veõ tín hieäu haøm muõ thöïc ôû caùc tröôøng hôïp khaùc nhau cuûa a.

Taát caû caùc tín hieäu cô baûn neâu treân chæ hieän höõu ôû n  0. Caùc tín hieäu nhö vaäy ñöôïc goïi laø tín hieäu nhaân quaû (causal) (xem sau).

3.2 TÍN HIEÄU SIN - TAÀN SOÁ SOÁ

Khi noùi tín hieäu sin ta muoán noùi caû hai daïng sin vaø cosin nhöng daïng cosin thöôøng ñöôïc duøng hôn. Tín hieäu sin töông töï lieân tuïc thôøi gian coù bieåu thöùc toång quaùt

x(t) = Acos( ΩΩ size 12{ %OMEGA } {}t + 0)(3.7)

trong ñoù A laø bieân ñoä ñænh (ñôn vò volt), ΩΩ size 12{ %OMEGA } {} taàn soá goùc (ñôn vò radian/s), 0 pha ban ñaàu töùc pha ôû t = 0 (ñôn vò radian). Ngoaøi ra coøn coù caùc heä thöùc f = ΩΩ size 12{ %OMEGA } {}/2 vôùi f laø taàn soá (ñôn vò Hertz), Tx= 1/f laø chu kyø cuûa tín hieäu (ñôn vò s).

3.2.1 Tín hieäu sin soá thöïc

Tín hieäu sin rôøi raïc thôøi gian

x(n) = Acosn ωω size 12{ω} {}(3.8)

Trong bieåu thöùc naøy n laø rôøi raïc (soá nguyeân döông hoaëc aâm) coøn ωω size 12{ω} {} laø lieân tuïc. Vì n laø soá maãu coøn n ωω size 12{ω} {} phaûi laø goùc töùc coù ñôn vò laø radian neân ωω size 12{ω} {} coù ñôn vò laø radian/maãu vaø ñöôïc goïi laø taàn soá soá (digital frequency). Khi tín hieäu coù pha ban ñaàu 0 thì

x(n) = Acos(n ωω size 12{ω} {} + 0)(3.9)

Ví duï

x(n) = Acos(n/6 + /3)(3.10)

Tín hieäu ñöôïc veõ ra ôû hình 3.6.

Hình 3.6: Tín hieäu x(n)=Acos(n ω+Φ0)ω+Φ0) size 12{ω+Φ rSub { size 8{0} } \) } {} vôùi ω=ω= size 12{ω={}} {}/6, Φ0Φ0 size 12{Φ rSub { size 8{0} } } {}=/3 ***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***

Söï tuaàn hoaøn

Tín hieäu sin rôøi raïc thôøi gian nhö bieåu dieãn bôûi (3.8) laø khoâng nhaát thieát tuaàn hoaøn. Maëc duø caùc trò maãu naèm treân moät hình bao tuaàn hoaøn nhöng baûn thaân caùc trò maãu coù theå khoâng phaûi laø moät chuoãi tuaàn hoaøn. ÔÛ ví duï treân (hình 3.6) tín hieäu laø tuaàn hoaøn. Neáu laáy maãu tín hieäu sin töông töï ôû caùc thôøi ñieåm maø bieân ñoä baèng khoâng hoaëc taïi caùc cöïc trò döông thì ta seõ ñöôïc tín hieäu sin rôøi raïc khoâng tuaàn hoaøn. Xem tín hieäu

x(n) = Acosn5/6(3.11)

n0468161820-221012142224A–A

Hình 3.7: Tín hieäu x(n) = Acos5/6

Nhìn hình ta khoâng thaáy daïng soùng sin nguyeân thuûy nhöng tín hieäu soá cuõng tuaàn hoaøn.

Tín hieäu sin rôøi raïc thôøi gian chæ tuaàn hoaøn khi chu kyø laáy maãu coù moät lieân heä naøo ñoù vôùi chu kyø sin töông töï töông öùng. Xem tín hieäu x(n) tuaàn hoaøn ôû chu kyø N maãu (N soá nguyeân) thì

x(n) = Acos(n + N) ωω size 12{ω} {} = Acosn ωω size 12{ω} {}

Ñeå thoûa ñieàu kieän naøy N ωω size 12{ω} {} phaûi laø boäi soá nguyeân m naøo ñoù cuûa 2:

N ωω size 12{ω} {} = m2

hay

ω2πω2π size 12{ { {ω} over {2π} } } {}= mNmN size 12{ { {m} over {N} } } {}(3.12)

Nhö vaäy tín hieäu sin soá chæ tuaàn hoaøn khi ωω size 12{ω} {}/2 laø moät soá höõu tæ (tæ soá hai soá nguyeân). Neáu khoâng thoûa ñieàu kieän naøy thì caùc trò maãu seõ khoâng laëp laïi. Tín hieäu (3.10) laø tuaàn hoaøn vì

= /6 neân /2 = 1/12 vaø chu kyø laø N = 12 maãu. Tín tuaàn hoaøn vì = 5/6 neân ωω size 12{ω} {}/2 = 5/12 vaø chu kyø cuõng laø N = 12 maãu. Ñeå yù laø söï thay ñoåi nhoû cuûa taàn soá coù theå daãn ñeán thay ñoåi lôùn cuûa chu kyø, ví duï vôùi ωω size 12{ω} {}/2 = 31/60 60 maãu vôùi ωω size 12{ω} {}/2 = 30/60 = ½ chu kyø chæ coøn 2 maãu.

3.2.2 Lieân heä giöõa taàn soá soá vaø taàn soá töông töï

Tín hieäu sin soá x(n) = Acosn ωω size 12{ω} {} hoaøn thaønh moät voøng bieán ñoåi, töùc chu kyø, khi

n ωω size 12{ω} {} = 2 radian

töùc

ωω size 12{ω} {} = 2πn2πn size 12{ { {2π} over {n} } } {} radian/maãu(3.13)

Nhö vaäy ωω size 12{ω} {} coù theå ñöôïc xem nhö laø goùc giöõa hai maãu keá tieáp khi caùc maãu nhö phaân boá ñeàu treân voøng troøn. Tín hieäu (3.10) coù ωω size 12{ω} {} = /6 neân coù 2/ ωω size 12{ω} {} = 12 maãu/chu kyø. Tín hieäu (3.11) coù

= 5/6 neân coù 2/ ***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.*** = 12/5 = 2,4 maãu/chu kyø.

Ñeå lieân heä taàn soá soá ***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.*** vôùi taàn soá töông töï ta baét ñaàu baèng tín hieäu sin töông töï x(t) = Acos ΩΩ size 12{ %OMEGA } {}t trong ñoù, ΩΩ size 12{ %OMEGA } {} laø taàn soá goùc (radian/s), f= ΩΩ size 12{ %OMEGA } {}/2 laø taàn soá (Hz), Tx=1/f laø chu kyø (s). Khi laáy maãu ñeàu ôû caùc thôøi gian t=nT, T laø chu kyø laáy maãu hay khoaûng laáy maãu vaø fs = 1/T laø taàn soá hay toác ñoä laáy maãu, thì

x(n) = Acos ΩΩ size 12{ %OMEGA } {}nT = Acosn ΩΩ size 12{ %OMEGA } {}T

Nhö vaäy ñoái chieáu vôùi tín hieäu sin soá x(n) = Acosn ωω size 12{ω} {} ta coù heä thöùc

ωω size 12{ω} {} = ΩΩ size 12{ %OMEGA } {}T(radian/s) (s) = radian/maãu(3.15)

Cuõng coù ngöôøi goïi taàn soá laø ΩΩ size 12{ %OMEGA } {} vaø taàn soá töông töï laø ωω size 12{ω} {} , töùc ngöôïc laïi vôùi ñaây.

Vôùi ΩΩ size 12{ %OMEGA } {}=2f vaø T=1/fs neân ωω size 12{ω} {} cuõng laø

ωω size 12{ω} {} = 2πffs2πffs size 12{ { {2πf} over {f rSub { size 8{s} } } } } {}radian/maãu(3.16)

Tín hieäu sin soá trôû thaønh

x(n) = Acosn 2πffs2πffs size 12{ { {2πf} over {f rSub { size 8{s} } } } } {}(3.17)

Nhö vaäy taàn soá soá ωω size 12{ω} {} tuøy thuoäc vaøo taàn soá töông töï f laãn toác ñoä laáy maãu fs. Vì f vaø fs lieân tuïc neân ωω size 12{ω} {} cuõng lieân tuïc chôù khoâng giaùn ñoaïn.

Tính theo ωω size 12{ω} {} thì taàn soá fs töông öùng vôùi ωω size 12{ω} {} = 2, taàn soá Nyquist fs/2 töông öùng vôùi ωω size 12{ω} {} = , khoaûng Nyquist (-fs/2, fs/2) thaønh (-, ), vaø caùc taàn soá laëp f  mfs thaønh

2πf±mfsfs2πf±mfsfs size 12{ { {2π left (f +- ital "mf" rSub { size 8{s} } right )} over {f rSub { size 8{s} } } } } {}= 2πffs2πffs size 12{ { {2πf} over {f rSub { size 8{s} } } } } {} m2 = ωω size 12{ω} {}  m2(3.18)

Ñieàu naøy coù nghóa laø theâm bôùt boäi soá 2 cho taàn soá ωω size 12{ω} {} khoâng thay ñoåi tín hieäu. Hai tín hieäu sin soá baát kyø coù taàn soá trong khoaûng (-, ), töùc coù taàn soá  ωω size 12{ω} {} , laø taùch bieät (khaùc nhau). Caùc tín hieäu sin soá coù taàn soá  ωω size 12{ω} {}>  seõ ñöôïc bieät danh vaøo khoaûng Nyquist nhö ñaõ bieát. Trong luùc ñoù caùc tín hieäu sin töông töï laø taùch bieät ôû taát caû caùc taàn soá trong khoaûng (-,). Lieân heä giöõa taàn soá töông töï f vaø taàn soá soá ωω size 12{ω} {} ñöôïc trình baøy ôû hình 3.8. ÔÛ hình (b) neáu ta dòch chuyeån treân voøng troøn theo chieàu löôïng giaùc (ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà) thì

seõ qua caùc taàn soá Ω = 0, /2, , 3/2, 2, . . .; coøn neáu di chuyeån theo chieàu ngöôïc laïi seõ qua caùc taàn soá Ω = 0, -/2, -, -3/2, -2, . . .

32-2-3Khoaûng Nyquist. . .. . . 3fs23fs2 size 12{ { {3f rSub { size 8{s} } } over {2} } } {}fs2fs2 size 12{ { {f rSub { size 8{s} } } over {2} } } {}−fs2−fs2 size 12{ - { {f rSub { size 8{s} } } over {2} } } {}−3fs2−3fs2 size 12{ - { {3f rSub { size 8{s} } } over {2} } } {}fs0fs. . .-

f (H3)

. . .

ωω size 12{ω} {}(radian/maãu )0

(a)

π 2 f = f s 4 π 2 f = f s 4 size 12{ { {π} over {2} } " " left (f= { {f rSub { size 8{s} } } over {4} } right )} {}

ωω size 12{ω} {}=0 (f=0) (f=fs/2)

0- (f=-fs/2)

(b) −π2f=−fs4−π2f=−fs4 size 12{ - { {π} over {2} } " " left (f= - { {f rSub { size 8{s} } } over {4} } right )} {}

Hình 3.8: Lieân heä giöõa taàn soá töông töï f vaø taàn soá soá ωω size 12{ω} {}{}

3.2.3 Tín hieäu muõ phöùc (sin phöùc)

Xem tín hieäu muõ x(n) = an. Khi a phöùc ta vieát

a = r ej ωω size 12{ω} {}(3.19)

Tín hieäu trôû thaønh

x(n) =( r ej ωω size 12{ω} {})n = rn ejn ωω size 12{ω} {}

Ñaây laø tín hieäu muõ phöùc. Phaân ra thaønh phaàn thöïc vaø aûo

x(n) = rn (cosn

+jsinn ωω size 12{ω} {})

Vaäy

xR(n) = rn cosn ωω size 12{ω} {}(3.20a)

xI(n) = rn sinn ωω size 12{ω} {}(3.20b)

Töø ñaây ta coù bieân ñoä (ñoä lôùn) vaø pha

x(n) = xR2n+xI2n=rnxR2n+xI2n=rn size 12{ sqrt {x rSub { size 8{R} } rSup { size 8{2} } left (n right )+x rSub { size 8{I} } rSup { size 8{2} } left (n right )} =r rSup { size 8{n} } } {}(3.21a)

(n) = arg x(n) = arctg xInxRnxInxRn size 12{ { {x rSub { size 8{I} } left (n right )} over {x rSub { size 8{R} } left (n right )} } } {}= arctg(tgn ωω size 12{ω} {}) = n ωω size 12{ω} {} (3.21b)

Thaät ra töø bieåu thöùc (3.18) ta thaáy ngay hai keát quaû treân cuûa x(n)vaø n.

Ví duï 3.2.1:

Veõ xR(n), xI(n),x(n), (n) khi r = 0,9 vaø ωω size 12{ω} {} = /10

Giaûi:

Ta coù

x(n) = 0,9n ejn/10

xR(n) = 0,9n cosn/10

xI(n) = 0,9n sinn/10

x(n) = 0,9n

(n) = n/10

Hình 3.9 veõ caùc haøm soá ôû treân. Rieâng veà pha (n) = n ωω size 12{ω} {} = n/10 thì caùch tröïc tieáp laø cho n caùc trò taêng daàn veà phía döông vaø aâm vaø veõ ra, nhöng vì chu kyø bieán ñoåi cuûa sin, cosin vaø haøm muõ phöùc laø 2 neân ngöôøi ta veõ pha (n) theo modulo 2 trong khoaûng 0 ñeán 2 hoaëc thöôøng hôn trong khoaûng - ñeán . 

3.3 TÍN HIEÄU NAÊNG LÖÔÏNG VAØ TÍN HIEÄU COÂNG SUAÁT

Tín hieäu naêng löôïng vaø tín hieäu coâng suaát ñoái vôùi caùc tín hieäu töông töï ñaõ ñöôïc trình baøy ôû muïc 1.1.3. Coâng suaát töùc thôøi tieâu taùn ôû ñieän trôû R khi ñöôïc aùp hieäu theá x(t) laø p(t) = x2(t)/R. Ñeå ñöôïc ñoäc laäp vôùi R, ngöôøi ta xem R=1 vaø coâng suaát trôû thaønh p(t) = x2(t). Ñaây laø coâng suaát chuaån hoùa (normalised power) (muïc 1.1.3).

Ñoái vôùi tín hieäu rôøi raïc x(n), coâng suaát (yù noùi coâng suaát chuaån hoùa) laø

p=x2(n)(3.22

Tuy nhieân neáu x(n) phöùc thì coâng suaát phaûi ñöôïc hieåu laø

p=x(n)2(3.23)

Cuõng nhö ñoái vôùi tín hieäu töông töï ñoâi khi ngöôøi ta caàn phaân tín hieäu soá ra laøm tín hieäu naêng löôïng vaø tín hieäu coâng suaát.

3.3.1 Tín hieäu naêng löôïng

Coâng suaát cuûa tín hieäu ñaõ ñöôïc bieát nhö treân. Naêng löôïng cuûa tín hieäu ôû moïi thôøi gian

E=∑n=−∞∞∣xn∣2E=∑n=−∞∞∣xn∣2 size 12{E= Sum cSub { size 8{n= - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { lline x left (n right ) rline rSup { size 8{2} } } } {}(3.24)

Neáu E höõu haïn vaø khaùc khoâng töùc 0<E<∞ ta coù tín hieäu naêng löôïng, neáu E voâ haïn tín hieäu khoâng phaûi laø loaïi naêng löôïng.

Ví duï 3.3.1:

Cho tín hieäu sau, xem coù phaûi tín hieäu naêng löôïng khoâng:

xn=12nxn=12n size 12{x left (n right )= left ( { {1} over {2} } right ) rSup { size 8{n} } } {}n  0

= 3nn < 0

Giaûi:

Tröôùc tieân tín hieäu ñöôïc veõ ra nhö ôû hình 4.10. Naêng löôïng cuûa tín hieäu

E = ∑ n = 0 ∞ 1 2 2n + ∑ n = − ∞ − 1 3 2n = ∑ n = 0 ∞ 1 4 n + ∑ n = 1 ∞ 1 9 n E = ∑ n = 0 ∞ 1 2 2n + ∑ n = − ∞ − 1 3 2n = ∑ n = 0 ∞ 1 4 n + ∑ n = 1 ∞ 1 9 n size 12{E= Sum cSub { size 8{n=0} } cSup { size 8{ infinity } } { left ( { {1} over {2} } right ) rSup { size 8{2n} } } + Sum cSub { size 8{n= - infinity } } cSup { size 8{ - 1} } {3 rSup { size 8{2n} } } = Sum cSub { size 8{n=0} } cSup { size 8{ infinity } } { left ( { {1} over {4} } right ) rSup { size 8{n} } } + Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{ infinity } } { left ( { {1} over {9} } right ) rSup { size 8{n} } } } {}

11−1/4+11−1/9−1=352411−1/4+11−1/9−1=3524 size 12{ = left ( { {1} over {1 - {1} slash {4} } } right )+ left ( { {1} over {1 - {1} slash {9} } } - 1 right )= { {"35"} over {"24"} } } {}(3.25)

***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***

Vaäy tín hieäu laø naêng löôïng.

Ví duï 3.3.2:

Tín hieäu baäc ñôn vò sau laø tín hieäu gì ?

u(n) = 1n  0

=0n < 0

***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***

Giaûi:

Naêng löôïng

E=∑k=0∞u2nE=∑k=0∞u2n size 12{E= Sum cSub { size 8{k=0} } cSup { size 8{ infinity } } {u rSup { size 8{2} } } left (n right )} {}= 12(n=0) + 12(n=1) + 12(n=2) = ... =  (3.26)

Vaäy khoâng phaûi laø tín hieäu naêng löôïng. Nhöng laø tín hieäu gì ? (xem sau).