Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Основни својства на функциите

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Основни својства на функциите

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

User rating (How does the rating system work?)
Ratings

Ratings allow you to judge the quality of modules. If other users have ranked the module then its average rating is displayed below. Ratings are calculated on a scale from one star (Poor) to five stars (Excellent).

How to rate a module

Hover over the star that corresponds to the rating you wish to assign. Click on the star to add your rating. Your rating should be based on the quality of the content. You must have an account and be logged in to rate content.

:
(0 ratings)

Summary: Во овој модул се дефинираат основните својства на функциите како: дефинициона област, ограниченост, монотоност, периодичност на функција и инверзна функција.

Note: Your browser may not currently support MathML. See our browser support page for additional details. You can always view the correct math in the PDF version.

ОСНОВНИ СВОЈСТВА НА ФУНКЦИИТЕ

Ќе ги наведеме основните својства (особини) на функциите.

Дефинициона област на функција

Дефиниција.

Нека е зададена функцијата f:D→G,(D,G⊆R).f:D→G,(D,G⊆R). size 12{f:D rightarrow G, \( D,G subseteq R \) "." } {} Множеството на релани броеви DD size 12{D} {} од кое аргументот на функцијата прима вредности се нарекува дефинициона област или домен на функцијата ff size 12{f} {} и се означува со DfDf size 12{D rSub { size 8{f} } } {} . Множеството G е множество од вредности на функцијата ff size 12{f} {} и се нарекува уште и кодомен.

Кога ќе се каже дека функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} е дефинирана (определена) за една вредност x=ax=a size 12{x=a} {}, тоа значи дека постои f(a)f(a) size 12{f \( a \) } {} и таа вредност може да се определи. Ако функцијата е определена за секоја вредност од интервалот (a,b),(a,b), size 12{ \( a,b \) ,} {} за неа се вели дека е дефинирана на тој интервал. Дефиниционата област се определува во зависност од аналитичкиот израз со кој е зададена функцијата. Дефиниоционата област на функција може да биде множеството реални броеви или кеkое негово подмножество како интервал (отворен, затворен, полуотворен и полузатворен), унија од интервали или од изолирани точки.

Ќе се прикажат дефиниционите области на некои карактеристични функции.

  • Дефинициона област на функцијата полином

Ако функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} е зададена со полином, тогаш дефиниционата област е целото множество R или Df=(−∞,+∞).Df=(−∞,+∞). size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}

Пример 1.

Функциите

y = x 2 , y = 3x 4 − 7x 2 + 10 , y = − 25 x 7 + 4,5 x 6 + x 3 − 12 x + 5 y = x 2 , y = 3x 4 − 7x 2 + 10 , y = − 25 x 7 + 4,5 x 6 + x 3 − 12 x + 5 size 12{y=x rSup { size 8{2} } ,~y=3x rSup { size 8{4} } - 7x rSup { size 8{2} } +"10",~y= - "25"x rSup { size 8{7} } +4,5x rSup { size 8{6} } +x rSup { size 8{3} } - "12"x+5} {}

се дефинирани за секој реален број и се означува со

D f = ( − ∞ , + ∞ ) . D f = ( − ∞ , + ∞ ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}

  • Дефинициона област на функцијата парен корен

Ако функцијата се наоѓа под парен корен,

y=f(x)2k,(k∈N)y=f(x)2k,(k∈N) size 12{y= nroot { size 8{2k} } {f \( x \) } ,~ \( k in N \) } {},

дефиниционата област се определува од неравенството f(x)≥0.f(x)≥0. size 12{f \( x \) >= 0 "." } {}

Пример 2.

Функцијата y=x+1y=x+1 size 12{y= sqrt {x+1} } {} е дефинирана за x+1≥0,x+1≥0, size 12{x+1 >= 0,``} {} односно x≥−1x≥−1 size 12{x >= - 1} {} и се пишува Df=[−1,+∞).Df=[−1,+∞). size 12{D rSub { size 8{f} } = \[ - 1,`+ infinity \) "." } {}

Пример 3.

За да се определи дефиниционата област на функцијата

y=x−1+21−x+x2+1y=x−1+21−x+x2+1 size 12{y= sqrt {x - 1} +2 sqrt {1 - x} + sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {},

функцијата y се запишува како сума од три функции

y = f 1 + f 2 + f 3 y = f 1 + f 2 + f 3 size 12{y=f rSub { size 8{1} } +f rSub { size 8{2} } +f rSub { size 8{3} } } {}

каде

f 1 = x − 1 , f 2 = 1 − x , f 3 = x 2 + 1 f 1 = x − 1 , f 2 = 1 − x , f 3 = x 2 + 1 size 12{f rSub { size 8{1} } = sqrt {x - 1} ,`f rSub { size 8{2} } = sqrt {1 - x} ,`f rSub { size 8{3} } = sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {}

и за секоја од овие помошни функции се определува дефиниционата област.

За функцијата f1=x−1f1=x−1 size 12{f rSub { size 8{1} } = sqrt {x - 1} } {} дефинициона област е Df1=[1,+∞)Df1=[1,+∞) size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{1} } } } = \[ 1,`+ infinity \) } {};

За функцијата f2=1−xf2=1−x size 12{`f rSub { size 8{2} } = sqrt {1 - x} } {} дефинициона област е Df2=(−∞,1]Df2=(−∞,1] size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{2} } } } = \( - infinity ,`1 \] } {};

За функцијата f3=x2+1f3=x2+1 size 12{f rSub { size 8{3} } = sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} дефинициона област е Df3=(−∞,+∞).Df3=(−∞,+∞). size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{3} } } } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}

Заедничката дефинициона област ке биде пресекот на овие поединечни области

D f = D f 1 ∩ D f 2 ∩ D f 3 = { 1 } , D f = D f 1 ∩ D f 2 ∩ D f 3 = { 1 } , size 12{D rSub { size 8{f} } =D rSub { size 8{f rSub { size 6{1} } } } intersection D rSub {f rSub { size 6{2} } } size 12{ intersection D rSub {f rSub { size 6{3} } } } size 12{ {}= lbrace 1 rbrace ,}} {}

што значи дека функцијата y=x−1+21−x+x2+1y=x−1+21−x+x2+1 size 12{y= sqrt {x - 1} +2 sqrt {1 - x} + sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} е дефинирана само во точката x=1.x=1. size 12{x=1 "." } {}

  • Дефинициона област на функцијата количник

Ако функцијата е задена како количник на две функции

y=f(x)g(x)y=f(x)g(x) size 12{y= { {f \( x \) } over {g \( x \) } } } {},

дефиниционата област се определува од условот g(x)≠0g(x)≠0 size 12{g \( x \) <> 0} {} и од дефинираноста на самите функции ff size 12{f} {} и gg size 12{g} {}.

Пример 4.

За функцијата y=x2+2x2−1y=x2+2x2−1 size 12{y= { {x rSup { size 8{2} } +2} over {x rSup { size 8{2} } - 1} } } {} дефиниционата област се определува од условот x2−1≠0x2−1≠0 size 12{x rSup { size 8{2} } - 1 <> 0} {}, односно x2≠1x2≠1 size 12{x rSup { size 8{2} } <> 1} {} или x≠±1x≠±1 size 12{x <> +- 1} {}, што значи дека од множеството на реални броеви се отфрлаат двете точки x=±1x=±1 size 12{x <> +- 1} {} и функцијата е дефинирана на три интервала

D f = ( − ∞ , − 1 ) ∪ ( − 1,1 ) ∪ ( 1, + ∞ ) . D f = ( − ∞ , − 1 ) ∪ ( − 1,1 ) ∪ ( 1, + ∞ ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity , - 1 \) union \( - 1,1 \) union \( 1,+ infinity \) "." } {}

Решени примери-1 за определување на дефинициона област на едноставни алгебарски функции со користење на ознаки за множества.

Решени примери-2 за определување на дефинициона област на алгебарски функции со користење на ознаки за интервали.

Решени примери-3 за определување на дефинициона област на функции под квадратен корен.

  • Дефинициона област на логаритамска функција

Дефиниционата област на логаритамската функција

y = ln f ( x ) y = ln f ( x ) size 12{y="ln"f \( x \) } {}

се определува од неравенството f(x)>0.f(x)>0. size 12{f \( x \) >0 "." } {}

Пример 5.

Дефиниционата област на функцијата y=ln5x−x24y=ln5x−x24 size 12{y= sqrt {"ln" { {5x - x rSup { size 8{2} } } over {4} } } } {} ќе се определи од следните услови:

Првиот услов 5x−x24>05x−x24>0 size 12{ { {5x - x rSup { size 8{2} } } over {4} } >0} {} го определува логаритамската функција (дефинирана е само за позитивни вредности на аргументот).

Вториот услов ln5x−x24≥0ln5x−x24≥0 size 12{"ln" { {5x - x rSup { size 8{2} } } over {4} } >= 0} {} е определен од дефинираноста на функцијата квадратен корен.

Првиот услов доведува до квадратното неравенство 5x−x2>05x−x2>0 size 12{5x - x rSup { size 8{2} } >0} {} кое е точно за вредности на аргументот помеѓу корените на квадратната равенка 5x−x2=05x−x2=0 size 12{5x - x rSup { size 8{2} } =0} {} и тоа е интервалот (0, 5).

Вториот услов ln5x−x24≥0ln5x−x24≥0 size 12{"ln" { {5x - x rSup { size 8{2} } } over {4} } >= 0} {} е точен кога 5x−x24≥15x−x24≥1 size 12{ { {5x - x rSup { size 8{2} } } over {4} } >= 1} {}, односно 5x−x2≥45x−x2≥4 size 12{5x - x rSup { size 8{2} } >= 4} {}, што доведува до квадратно неравенство −x2+5x−4≥0−x2+5x−4≥0 size 12{ - x rSup { size 8{2} } +5x - 4 >= 0} {} кое е точно за вредности на xx size 12{x} {} меѓу корените на соодветната квадратана равенка −x2+5x−4=0−x2+5x−4=0 size 12{ - x rSup { size 8{2} } +5x - 4=0} {}, односно тоа е интервалот [1, 4]. Пресекот на интервалите добиени од двата услова ја определуваат дефиниционата област на функцијата и Df=(0,5)∩[1,4]=[1,4].Df=(0,5)∩[1,4]=[1,4]. size 12{D rSub { size 8{f} } = \( 0,5 \) intersection \[ 1,4 \] = \[ 1,4 \] "." } {}

  • Дефинициона област на инверзна тригонометриска функција

Дефиниционата област на инверзните тригонометриски функции

y = arcsin f ( x ) y = arcsin f ( x ) size 12{y="arcsin"f \( x \) `} {}

и

y = arccos f ( x ) y = arccos f ( x ) size 12{``y="arccos"f \( x \) } {}

се определува од условот

−1≤f(x)≤1−1≤f(x)≤1 size 12{ - 1 <= f \( x \) <= 1} {}.

Пример 6.

Дефиниционата област на функцијата

y = 3 − x + arcsin 3 − 2x 5 y = 3 − x + arcsin 3 − 2x 5 size 12{y= sqrt {3 - x} +"arcsin" { {3 - 2x} over {5} } } {}

ќе се определи како пресек на дефиниционите области на секоја поединечна функција од сумарната функција.

Првата функција y1=3−xy1=3−x size 12{y rSub { size 8{1} } = sqrt {3 - x} } {} е дефинирана за x≤3x≤3 size 12{x <= 3} {} или во интервалот (−∞,3](−∞,3] size 12{ \( - infinity ,3 \] } {}.

Втората функција y2=arcsin3−2x5y2=arcsin3−2x5 size 12{y rSub { size 8{2} } ="arcsin" { {3 - 2x} over {5} } } {} е дефинирана за −1≤3−2x5≤1−1≤3−2x5≤1 size 12{ - 1 <= { {3 - 2x} over {5} } <= 1} {}. Ова продолжено неравенство не доведува до следните две неравенства:

првото (лево) неравенство −1≤3−2x5−1≤3−2x5 size 12{ - 1 <= { {3 - 2x} over {5} } } {} доведува до неравенството x≤4;x≤4; size 12{x <= 4;} {}

второто (десно) неравенство 3−2x5≤13−2x5≤1 size 12{ { {3 - 2x} over {5} } <= 1} {} доведува до x≥−1.x≥−1. size 12{x >= - 1 "." } {} Заедничкиот интервал на овие две неравенства е интервалот [1, 4].

Дефиционата област на целата функција се определува како пресек на областите на дефинираност на двете сумарни функции, односно

D f = ( − ∞ , 3 ] ∩ [ − 1,4 ] = [ − 1,3 ] . D f = ( − ∞ , 3 ] ∩ [ − 1,4 ] = [ − 1,3 ] . size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,3 \] intersection \[ - 1,4 \] = \[ - 1,3 \] "." } {}

Решени примери-4 за определување на дефинициона област и вредности на функции со користење на ознаки за интервали.

Ограниченост и неограниченост на функција

Нека функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} се разгледува на произволен интервал D. Ако вредностите кои ги прима функцијата yy size 12{y} {}, односно вредностите на кодоменот G се конечни реални вредности, за y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} се вели дека е ограничена функција на интервалот D. Ако пак вредностите на yy size 12{y} {} се неограничени, за функцијата се вели дека е неограничена на интервалот D.

Дефиниција.

Функцијата е ограничена на интервалот D, ако ∃M∈R∃M∈R size 12{ exists M in R} {} такво да важи ∣f(x)∣≤M,(∀x∈D)∣f(x)∣≤M,(∀x∈D) size 12{ lline `f \( x \) ` rline <= M,` \( forall x in D \) } {}.

Нули на функција

Нека е зададена функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {}.

Дефиниција.

Вредностите на x за кои f(x)=0f(x)=0 size 12{f \( x \) =0} {} се нарекуваат нули на функцијата.

Нулите на функцијата се точки на пресек на графикот на функцијата со x−x− size 12{x - {}} {}оската.

Вредностa на функцијата y коja се добива кога аргументит x=0x=0 size 12{x=0} {} е пресечна точка на графикот со y−y− size 12{y - {}} {}оската.

Еднозначна функција може да има повеке пресечни точки со x−x− size 12{x - {}} {}оската, а само една пресечна точка со y−y− size 12{y - {}} {}оската.

Решени примери-5

Монотоност на функција

Дефиниција.

За функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} која е дефинирана на интервалот (a,b)(a,b) size 12{ \( a,b \) } {} се вели дека е монотоно растечка функција на тој интервал ако ∀x1,x2∈(a,b)∀x1,x2∈(a,b) size 12{ forall x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } in \( a,b \) } {} важи

x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) < f ( x 2 ) . x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) < f ( x 2 ) . size 12{~x rSub { size 8{1} } <x rSub { size 8{2} } ~ drarrow ~f \( x rSub { size 8{1} } \) <f \( x rSub { size 8{2} } \) "." ~} {}

Функцијата е монотоно опаѓачка ако важи

x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) > f ( x 2 ) . x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) > f ( x 2 ) . size 12{~x rSub { size 8{1} } <x rSub { size 8{2} } ~ drarrow ~f \( x rSub { size 8{1} } \) >f \( x rSub { size 8{2} } \) "." ~} {}

Ако во дефиницијата за монотоно растечка функција знакот за стриктно неравенство f(x2)>f(x1)f(x2)>f(x1) size 12{f \( x rSub { size 8{2} } \) >f \( x rSub { size 8{1} } \) } {} се замени со f(x2)≥f(x1)f(x2)≥f(x1) size 12{f \( x rSub { size 8{2} } \) >= f \( x rSub { size 8{1} } \) } {}, функцијата се нарекува монотоно неопаѓачка, и анлогно се дефинира и монотоно нерастечка функција.

Парност и непарност на функција

Ако дефиниционата област D⊆RD⊆R size 12{D subseteq R} {} на функцијата ff size 12{f} {} е таква да од (x∈D)⇒(−x∈D),(x∈D)⇒(−x∈D), size 12{ \( x in D \) drarrow \( - x in D \) ,} {} дефиниционата област се нарекува симетрична.

Дефиниција.

Функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се нарекува парна функција ако важи равенството

f ( − x ) = f ( x ) , ( ∀ x ∈ D f ) . f ( − x ) = f ( x ) , ( ∀ x ∈ D f ) . size 12{f \( - x \) =f \( x \) , \( forall x in D rSub { size 8{f} } \) "." } {}

Парните функции се осно симетрични, при што оска на симетрија е y−y− size 12{y - {}} {}оската.

Дефиниција.

Функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се нарекува непарна ако важи равенството

f ( − x ) = − f ( x ) , ( ∀ x ∈ D f ) . f ( − x ) = − f ( x ) , ( ∀ x ∈ D f ) . size 12{f \( - x \) = - f \( x \) , \( forall x in D rSub { size 8{f} } \) "." } {}

Исто така и непарните функции се симетрични, но симе­тријата е централна и центарот на симетрија е координатниот почеток.

Постојат и функции кои не се ни парни ни непарни. За таквите функции не постои никаква симетрија на графикот.

Пример 7.

Да се испита парноста и непарноста на функциите:

а) y=3x2+4−cosxx4−5y=3x2+4−cosxx4−5 size 12{y= { {3x rSup { size 8{2} } +4 - "cos"x} over {x rSup { size 8{4} } - 5} } } {}

б) y=x3−2x+sinxy=x3−2x+sinx size 12{y=x rSup { size 8{3} } - 2x+"sin"x} {}.

Решение.

За функцијата под а) се добива

y ( − x ) = 3 ( − x ) 2 + 4 − cos ( − x ) ( − x ) 4 − 5 = 3x 2 + 4 − cos x x 4 − 5 = y ( x ) y ( − x ) = 3 ( − x ) 2 + 4 − cos ( − x ) ( − x ) 4 − 5 = 3x 2 + 4 − cos x x 4 − 5 = y ( x ) size 12{y \( - x \) = { {3 \( - x \) rSup { size 8{2} } +4 - "cos" \( - x \) } over { \( - x \) rSup { size 8{4} } - 5} } = { {3x rSup { size 8{2} } +4 - "cos"x} over {x rSup { size 8{4} } - 5} } =y \( x \) } {}

што значи дека таа е парна функција.

За функцијата под б) се добива

y ( − x ) = ( − x ) 3 − 2 ( − x ) + sin ( − x ) = − x 3 + 2x − sin x = − ( x 3 − 2x + sin x ) = − f ( x ) y ( − x ) = ( − x ) 3 − 2 ( − x ) + sin ( − x ) = − x 3 + 2x − sin x = − ( x 3 − 2x + sin x ) = − f ( x ) alignl { stack { size 12{y \( - x \) = \( - x \) rSup { size 8{3} } - 2 \( - x \) +"sin" \( - x \) = - x rSup { size 8{3} } +2x - "sin"x={}} {} # = - \( x rSup { size 8{3} } - 2x+"sin"x \) = - f \( x \) {} } } {}

и таа е непарна функција.

Имајќи ја во предвид симетричноста на парните и непарните функции, тие може да се испитуваат само за x≥0x≥0 size 12{x >= 0} {}.

Периодичност на функција

Дефиниција.

Функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} се нарекува периодична со период Т ако е точно равенството

f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x) size 12{f \( x+T \) =f \( x \) } {}.

Периодичноста на функција означува дека графикот од еден основен интервал со должина TT size 12{T} {} се повторува и лево и десно од наведениот интервал во истиот облик како во основниот интервал. Од дефиницијата за периодичност следи дека и

f ( x + kT ) = f ( x ) f ( x + kT ) = f ( x ) size 12{f \( x+ ital "kT" \) =f \( x \) } {}

при што kk size 12{k} {} е цел број. Во изучување на периодичните функции доволно е да се проучи функцијата само во интервалот 0≤x<T0≤x<T size 12{0 <= x<T} {}, а потоа сите нејзини вредности се трансла­ти­раат на лево и десно за наведениот период во целата дефинициона област.

Тригонометриските функции се периодични. Функциите sinxsinx size 12{"sin"x} {} и cosxcosx size 12{"cos"x} {} се со период T=2πT=2π size 12{T=2π} {} , додека за функциите tgxtgx size 12{ ital "tgx"} {} и ctgxctgx size 12{ ital "ctgx"} {} периодот T=πT=π size 12{T=π} {}.

Пример 8.

Функцијата y=sin3xy=sin3x size 12{y="sin"3x} {} има период кој се определува од

sin 3 ( x + T ) = sin 3x sin 3 ( x + T ) = sin 3x size 12{"sin"3 \( x+T \) ="sin"3x} {}

или

3 ( x + T ) = 3x + 2kπ , ( k = 0, ± 1, ± 2, . . . ) 3 ( x + T ) = 3x + 2kπ , ( k = 0, ± 1, ± 2, . . . ) size 12{3 \( x+T \) =3x+2kπ,~ \( k=0, +- 1, +- 2, "." "." "." \) } {}

од каде се следи дека 3T=2kπ3T=2kπ size 12{3T=2kπ} {} , а период е најмалиот позитивен број Т кој се добива за k=1k=1 size 12{k=1} {}, односно

T=2π3T=2π3 size 12{T= { {2π} over {3} } } {}.

Инверзна функција

Нека со функцијата ff size 12{f} {} е определено обратноеднозначно пресликување од D во G кое се означува со f:D→Gf:D→G size 12{f:D rightarrow G} {}. Тогаш ∀y∈G∀y∈G size 12{ forall y in G} {} одговара единствено xx size 12{x} {} такво што y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {}. Кореспонденцијата y↦xy↦x size 12{y↦x} {} го дефинира пресликувањето G→DG→D size 12{G rightarrow D} {}кое се нарекува инверзно пресликување на ff size 12{f} {} или инверзна функција и се означува со f−1f−1 size 12{f rSup { size 8{ - 1} } } {}.

Притоа важи

f(f−1(y))=yf(f−1(y))=y size 12{f \( f rSup { size 8{ - 1} } \( y \) \) =y} {} за ( ∀y∈G∀y∈G size 12{ forall y in G} {})

и

( f − 1 ) − 1 = f . ( f − 1 ) − 1 = f . size 12{ \( f rSup { size 8{ - 1} } \) rSup { size 8{ - 1} } =f "." } {}

Важно е да се спомене дека функциите y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} и y=f−1(x)y=f−1(x) size 12{y=f rSup { size 8{ - 1} } \( x \) } {} се симетрични во однос на правата y=xy=x size 12{y=x} {} (симетралата на првиот и третиот квадрант). Оваа особина ќе се користи за скицирање на графикот на функцијата f−1(x)f−1(x) size 12{f rSup { size 8{ - 1} } \( x \) } {} ако се знае графикот на функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {}и обратно.

Ефективно, за да се определи инверзна функција за дадена функција y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} потребно е од дадената функција променливата x да се изрази преку y и потоа xx size 12{x} {} и yy size 12{y} {} да си ги заменат местата.

Пример 9.

Figure 1
Figure 1 (graphics1.png)

За функцијата y=2x+5y=2x+5 size 12{y=2x+5} {} инверзната функција (Сл.2.5) се определува кога равенката се решава по xx size 12{x} {} и се добива x=y−52x=y−52 size 12{x= { {y - 5} over {2} } } {}, а потоа променли­вите си ги заменуваат местата и инверзната функција е y=x−52y=x−52 size 12{y= { {x - 5} over {2} } } {}.

Content actions

Give Feedback:

E-mail the module author | Rate module ( How does the rating system work?)

Rating system

Ratings

Ratings allow you to judge the quality of modules. If other users have ranked the module then its average rating is displayed below. Ratings are calculated on a scale from one star (Poor) to five stars (Excellent).

How to rate a module

Hover over the star that corresponds to the rating you wish to assign. Click on the star to add your rating. Your rating should be based on the quality of the content. You must have an account and be logged in to rate content.

(0 ratings)

Download:

Module PDF

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections directly in Connexions. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need a Connexions account to use 'My Favorites'.

| A lens (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of Connexions content. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see Connexions through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to Connexions materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual Connexions member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks