Дефиниција.
Нека е зададена функцијата
f:D→G,(D,G⊆R).f:D→G,(D,G⊆R). size 12{f:D rightarrow G, \( D,G subseteq R \) "." } {} Множеството на релани броеви
DD size 12{D} {} од кое аргументот на функцијата прима вредности се нарекува дефинициона област или домен на функцијата
ff size 12{f} {} и се означува со
DfDf size 12{D rSub { size 8{f} } } {} . Множеството G е множество од вредности на функцијата ff size 12{f} {} и се нарекува уште и кодомен.
Кога ќе се каже дека функцијата
y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} е дефинирана (определена) за една вредност
x=ax=a size 12{x=a} {}, тоа значи дека постои
f(a)f(a) size 12{f \( a \) } {} и таа вредност може да се определи. Ако функцијата е определена за секоја вредност од интервалот
(a,b),(a,b), size 12{ \( a,b \) ,} {} за неа се вели дека е дефинирана на тој интервал. Дефиниционата област се определува во зависност од аналитичкиот израз со кој е зададена функцијата. Дефиниоционата област на функција може да биде множеството реални броеви или кеое негово подмножество како интервал (отворен, затворен, полуотворен и полузатворен), унија од интервали или од изолирани точки.
Ќе се прикажат дефиниционите области на некои карактеристични функции.
-
Дефинициона област на функцијата полином
Ако функцијата
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} е зададена со полином, тогаш дефиниционата област е целото множество R или
Df=(−∞,+∞).Df=(−∞,+∞). size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}
Пример 1.
Функциите
y
=
x
2
,
y
=
3x
4
−
7x
2
+
10
,
y
=
−
25
x
7
+
4,5
x
6
+
x
3
−
12
x
+
5
y
=
x
2
,
y
=
3x
4
−
7x
2
+
10
,
y
=
−
25
x
7
+
4,5
x
6
+
x
3
−
12
x
+
5
size 12{y=x rSup { size 8{2} } ,~y=3x rSup { size 8{4} } - 7x rSup { size 8{2} } +"10",~y= - "25"x rSup { size 8{7} } +4,5x rSup { size 8{6} } +x rSup { size 8{3} } - "12"x+5} {}
се дефинирани за секој реален број и се означува со
D
f
=
(
−
∞
,
+
∞
)
.
D
f
=
(
−
∞
,
+
∞
)
.
size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}
-
Дефинициона
област
на
функцијата
парен
корен
Ако функцијата се наоѓа под парен корен,
y=f(x)2k,(k∈N)y=f(x)2k,(k∈N) size 12{y= nroot { size 8{2k} } {f \( x \) } ,~ \( k in N \) } {},
дефиниционата област се определува од неравенството
f(x)≥0.f(x)≥0. size 12{f \( x \) >= 0 "." } {}
Пример 2.
Функцијата
y=x+1y=x+1 size 12{y= sqrt {x+1} } {} е дефинирана за
x+1≥0,x+1≥0, size 12{x+1 >= 0,``} {} односно
x≥−1x≥−1 size 12{x >= - 1} {} и се пишува
Df=[−1,+∞).Df=[−1,+∞). size 12{D rSub { size 8{f} } = \[ - 1,`+ infinity \) "." } {}
Пример 3.
За да се определи дефиниционата област на функцијата
y=x−1+21−x+x2+1y=x−1+21−x+x2+1 size 12{y= sqrt {x - 1} +2 sqrt {1 - x} + sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {},
функцијата y се запишува како сума од три функции
y
=
f
1
+
f
2
+
f
3
y
=
f
1
+
f
2
+
f
3
size 12{y=f rSub { size 8{1} } +f rSub { size 8{2} } +f rSub { size 8{3} } } {}
каде
f
1
=
x
−
1
,
f
2
=
1
−
x
,
f
3
=
x
2
+
1
f
1
=
x
−
1
,
f
2
=
1
−
x
,
f
3
=
x
2
+
1
size 12{f rSub { size 8{1} } = sqrt {x - 1} ,`f rSub { size 8{2} } = sqrt {1 - x} ,`f rSub { size 8{3} } = sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {}
и за секоја од овие помошни функции се определува дефиниционата област.
За функцијата
f1=x−1f1=x−1 size 12{f rSub { size 8{1} } = sqrt {x - 1} } {} дефинициона област е
Df1=[1,+∞)Df1=[1,+∞) size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{1} } } } = \[ 1,`+ infinity \) } {};
За функцијата
f2=1−xf2=1−x size 12{`f rSub { size 8{2} } = sqrt {1 - x} } {} дефинициона област е
Df2=(−∞,1]Df2=(−∞,1] size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{2} } } } = \( - infinity ,`1 \] } {};
За функцијата
f3=x2+1f3=x2+1 size 12{f rSub { size 8{3} } = sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} дефинициона област е
Df3=(−∞,+∞).Df3=(−∞,+∞). size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{3} } } } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}
Заедничката дефинициона област ке биде пресекот на овие поединечни области
D
f
=
D
f
1
∩
D
f
2
∩
D
f
3
=
{
1
}
,
D
f
=
D
f
1
∩
D
f
2
∩
D
f
3
=
{
1
}
,
size 12{D rSub { size 8{f} } =D rSub { size 8{f rSub { size 6{1} } } } intersection D rSub {f rSub { size 6{2} } } size 12{ intersection D rSub {f rSub { size 6{3} } } } size 12{ {}= lbrace 1 rbrace ,}} {}
што значи дека функцијата
y=x−1+21−x+x2+1y=x−1+21−x+x2+1 size 12{y= sqrt {x - 1} +2 sqrt {1 - x} + sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} е дефинирана само во точката
x=1.x=1. size 12{x=1 "." } {}
-
Дефинициона област на функцијата количник
Ако функцијата е задена како количник на две функции
y=f(x)g(x)y=f(x)g(x) size 12{y= { {f \( x \) } over {g \( x \) } } } {},
дефиниционата област се определува од условот
g(x)≠0g(x)≠0 size 12{g \( x \) <> 0} {} и од дефинираноста на самите функции
ff size 12{f} {} и
gg size 12{g} {}.
Пример 4.
За функцијата
y=x2+2x2−1y=x2+2x2−1 size 12{y= { {x rSup { size 8{2} } +2} over {x rSup { size 8{2} } - 1} } } {} дефиниционата област се определува од условот
x2−1≠0x2−1≠0 size 12{x rSup { size 8{2} } - 1 <> 0} {}, односно
x2≠1x2≠1 size 12{x rSup { size 8{2} } <> 1} {} или
x≠±1x≠±1 size 12{x <> +- 1} {}, што значи дека од множеството на реални броеви се отфрлаат двете точки
x≠±1x≠±1 size 12{x <> +- 1} {} и функцијата е дефинирана на три интервала
D
f
=
(
−
∞
,
−
1
)
∪
(
−
1,1
)
∪
(
1,
+
∞
)
.
D
f
=
(
−
∞
,
−
1
)
∪
(
−
1,1
)
∪
(
1,
+
∞
)
.
size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity , - 1 \) union \( - 1,1 \) union \( 1,+ infinity \) "." } {}
Решени примери-1 за определување на дефинициона област на едноставни алгебарски функции со користење на ознаки за множества.
Решени примери-2 за определување на дефинициона област на алгебарски функции со користење на ознаки за интервали.
Решени примери-3 за определување на дефинициона област на функции под квадратен корен.
-
Дефинициона област на логаритамска функција
Дефиниционата област на логаритамската функција
y
=
ln
f
(
x
)
y
=
ln
f
(
x
)
size 12{y="ln"f \( x \) } {}
се определува од неравенството
f(x)>0.f(x)>0. size 12{f \( x \) >0 "." } {}
Пример 5.
Дефиниционата област на функцијата
y=ln5x−x24y=ln5x−x24 size 12{y= sqrt {"ln" { {5x - x rSup { size 8{2} } } over {4} } } } {} ќе се определи од следните услови:
Првиот услов
5x−x24>05x−x24>0 size 12{ { {5x - x rSup { size 8{2} } } over {4} } >0} {} го определува логаритамската функција (дефинирана е само за позитивни вредности на аргументот).
Вториот услов
ln5x−x24≥0ln5x−x24≥0 size 12{"ln" { {5x - x rSup { size 8{2} } } over {4} } >= 0} {} е определен од дефинираноста на функцијата квадратен корен.
Првиот услов доведува до квадратното неравенство
5x−x2>05x−x2>0 size 12{5x - x rSup { size 8{2} } >0} {} кое е точно за вредности на аргументот помеѓу корените на квадратната равенка
5x−x2=05x−x2=0 size 12{5x - x rSup { size 8{2} } =0} {} и тоа е интервалот (0, 5).
Вториот услов
ln5x−x24≥0ln5x−x24≥0 size 12{"ln" { {5x - x rSup { size 8{2} } } over {4} } >= 0} {} е точен кога
5x−x24≥15x−x24≥1 size 12{ { {5x - x rSup { size 8{2} } } over {4} } >= 1} {}, односно
5x−x2≥45x−x2≥4 size 12{5x - x rSup { size 8{2} } >= 4} {}, што доведува до квадратно неравенство
−x2+5x−4≥0−x2+5x−4≥0 size 12{ - x rSup { size 8{2} } +5x - 4 >= 0} {} кое е точно за вредности на
xx size 12{x} {} меѓу корените на соодветната квадратана равенка
−x2+5x−4=0−x2+5x−4=0 size 12{ - x rSup { size 8{2} } +5x - 4=0} {}, односно тоа е интервалот [1, 4]. Пресекот на интервалите добиени од двата услова ја определуваат дефиниционата област на функцијата и
Df=(0,5)∩[1,4]=[1,4].Df=(0,5)∩[1,4]=[1,4]. size 12{D rSub { size 8{f} } = \( 0,5 \) intersection \[ 1,4 \] = \[ 1,4 \] "." } {}
-
Дефинициона област на инверзна тригонометриска функција
Дефиниционата област на инверзните тригонометриски функции
y
=
arcsin
f
(
x
)
y
=
arcsin
f
(
x
)
size 12{y="arcsin"f \( x \) `} {}
и
y
=
arccos
f
(
x
)
y
=
arccos
f
(
x
)
size 12{``y="arccos"f \( x \) } {}
се определува од условот
−1≤f(x)≤1−1≤f(x)≤1 size 12{ - 1 <= f \( x \) <= 1} {}.
Пример 6.
Дефиниционата област на функцијата
y
=
3
−
x
+
arcsin
3
−
2x
5
y
=
3
−
x
+
arcsin
3
−
2x
5
size 12{y= sqrt {3 - x} +"arcsin" { {3 - 2x} over {5} } } {}
ќе се определи како пресек на дефиниционите области на секоја поединечна функција од сумарната функција.
Првата функција
y1=3−xy1=3−x size 12{y rSub { size 8{1} } = sqrt {3 - x} } {} е дефинирана за
x≤3x≤3 size 12{x <= 3} {} или во интервалот
(−∞,3](−∞,3] size 12{ \( - infinity ,3 \] } {}.
Втората функција
y2=arcsin3−2x5y2=arcsin3−2x5 size 12{y rSub { size 8{2} } ="arcsin" { {3 - 2x} over {5} } } {} е дефинирана за
−1≤3−2x5≤1−1≤3−2x5≤1 size 12{ - 1 <= { {3 - 2x} over {5} } <= 1} {}. Ова продолжено неравенство не доведува до следните две неравенства:
првото (лево) неравенство
−1≤3−2x5−1≤3−2x5 size 12{ - 1 <= { {3 - 2x} over {5} } } {} доведува до неравенството
x≤4;x≤4; size 12{x <= 4;} {}
второто (десно) неравенство
3−2x5≤13−2x5≤1 size 12{ { {3 - 2x} over {5} } <= 1} {} доведува до
x≥−1.x≥−1. size 12{x >= - 1 "." } {} Заедничкиот интервал на овие две неравенства е интервалот [1, 4].
Дефиционата област на целата функција се определува како пресек на областите на дефинираност на двете сумарни функции, односно
D
f
=
(
−
∞
,
3
]
∩
[
−
1,4
]
=
[
−
1,3
]
.
D
f
=
(
−
∞
,
3
]
∩
[
−
1,4
]
=
[
−
1,3
]
.
size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,3 \] intersection \[ - 1,4 \] = \[ - 1,3 \] "." } {}