Нека се дадени две множества A и B. Ако секој елемент од множеството A припаѓа и на множеството B, тогаш множеството A е подмножество (дел) од B и симболички се означува со
A⊆BA⊆B size 12{A subseteq B} {}. Овој исказ математички се запишува со
(
∀
a
∈
A
)
⇒
(
a
∈
B
)
⇔
A
⊆
B
.
(
∀
a
∈
A
)
⇒
(
a
∈
B
)
⇔
A
⊆
B
.
size 12{ \( forall a in A \) drarrow \( a in B \) dlrarrow A subseteq B "." } {}
Ако постои барем еден елемент од множеството B кој не е елемент на A, множеството A е вистинско подмножество од B се означува со
A⊂BA⊂B size 12{A subset B} {} и се запишува со
(
∃
b
∈
B
)
∧
(
∃
b
∈
B
)
∧
size 12{ \( exists b in B \) and } {}
(
b
∉
A
)
⇔
A
⊂
B
.
(
b
∉
A
)
⇔
A
⊂
B
.
size 12{ \( b notin A \) dlrarrow A subset B "." } {}
Јасно е дека секое множество A е подмножество од самото себе, т.е.
A⊆AA⊆A size 12{A subseteq A} {}.
Две множества A и B се еднакви ако имаат исти елементи и едаквоста се означува со A=B. Еднаквоста на множествата значи дека сите елементи од множеството A се елементи на множеството B и обратно, сите елементи од множеството B се елементи на множеството A или ако
A⊆BA⊆B size 12{A subseteq B} {} и
B⊆AB⊆A size 12{B subseteq A} {}, тогаш A=B.
Нееднаквостана можествата A и B се означува со
A≠BA≠B size 12{A <> B} {}.
Унија на множествата A и B е множество кое се состои од сите елементи кои припаѓаат барем на едно од множествата A или B и се означува
A
∪
B
=
{
x
∣
(
x
∈
A
)
∨
(
x
∈
B
)
}
.
A
∪
B
=
{
x
∣
(
x
∈
A
)
∨
(
x
∈
B
)
}
.
size 12{A union B= lbrace x \lline \( x in A \) or \( x in B \) rbrace "." } {}
Согласно на горенаведената дефиниција за унија, може да се дефинира унија на конечен број множеста
Ai,(i=1,2,...,n)Ai,(i=1,2,...,n) size 12{A rSub { size 8{i} } ,` \( i=1,2, "." "." "." ,n \) } {} со:
A1∪A2∪…∪An=i=1nAiA1∪A2∪…∪An=i=1nAi size 12{A rSub { size 8{1} } union A rSub { size 8{2} } union dotslow union A rSub { size 8{n} } = union rSub { size 8{i=1} } rSup { size 8{n} } {A rSub { size 8{i} } } } {},
или унија на бесконечен број множества
Ai,(i=1,2,...)Ai,(i=1,2,...) size 12{A rSub { size 8{i} } ,` \( i=1,2, "." "." "." \) } {} со:
A1∪A2∪…∪An∪…=i=1∞AiA1∪A2∪…∪An∪…=i=1∞Ai size 12{A rSub { size 8{1} } union A rSub { size 8{2} } union dotslow union A rSub { size 8{n} } union dotslow = union rSub { size 8{i=1} } rSup { size 8{ infinity } } {A rSub { size 8{i} } } } {}.
Пример
1
.
Нека се дадени три множества
A1={a,b,c},A2={a,1,2},A1={a,b,c},A2={a,1,2}, size 12{A rSub { size 8{1} } = lbrace a,b,c rbrace ,``A rSub { size 8{2} } = lbrace a,1,2 rbrace ,`} {}A3={a,x,1,3}A3={a,x,1,3} size 12{`A rSub { size 8{3} } = lbrace a,x,1,3 rbrace } {}.
Унијата на овие множества е
A
1
∪
A
2
∪
A
3
=
{
a
,
b
,
c
,
x
,
1,2,3
}
.
A
1
∪
A
2
∪
A
3
=
{
a
,
b
,
c
,
x
,
1,2,3
}
.
size 12{A rSub { size 8{1} } union A rSub { size 8{2} } union A rSub { size 8{3} } = lbrace a,b,c,x,1,2,3 rbrace "." } {}
Пресек на множествата A и B е множество кое се состои од заедничките елементи на множествата A и B и се означува со:
A
∩
B
=
{
x
∣
(
x
∈
A
)
∧
(
x
∈
B
)
}
.
A
∩
B
=
{
x
∣
(
x
∈
A
)
∧
(
x
∈
B
)
}
.
size 12{A intersection B= lbrace x \lline \( x in A \) and \( x in B \) rbrace "." } {}
Пресекот на конечен број множества
Ai,(i=1,2,...,n)Ai,(i=1,2,...,n) size 12{A rSub { size 8{i} } ,` \( i=1,2, "." "." "." ,n \) } {}се дефинира со:
A1∩A2∩…∩An=intersecti=1nAiA1∩A2∩…∩An=intersecti=1nAi size 12{A rSub { size 8{1} } intersection A rSub { size 8{2} } intersection dotslow intersection A rSub { size 8{n} } = intersect rSub { size 8{i=1} } rSup { size 8{n} } {A rSub { size 8{i} } } } {},
додека пресекот на бесконечен број множества
Ai,(i=1,2,...)Ai,(i=1,2,...) size 12{A rSub { size 8{i} } ,` \( i=1,2, "." "." "." \) } {} се дефинира со:
A1∩A2∩…∩An∩…=intersecti=1∞AiA1∩A2∩…∩An∩…=intersecti=1∞Ai size 12{A rSub { size 8{1} } intersection A rSub { size 8{2} } intersection dotslow intersection A rSub { size 8{n} } intersection dotslow = intersect rSub { size 8{i=1} } rSup { size 8{ infinity } } {A rSub { size 8{i} } } } {}.
Пример
2
.
За множествата
A1={a,b,c},A2={a,1,2},A3={a,x,1,3}A1={a,b,c},A2={a,1,2},A3={a,x,1,3} size 12{A rSub { size 8{1} } = lbrace a,b,c rbrace ,``A rSub { size 8{2} } = lbrace a,1,2 rbrace ,`A rSub { size 8{3} } = lbrace a,x,1,3 rbrace } {} пресекот е
A
1
∩
A
2
∩
A
3
=
{
a
}
.
A
1
∩
A
2
∩
A
3
=
{
a
}
.
size 12{A rSub { size 8{1} } intersection A rSub { size 8{2} } intersection A rSub { size 8{3} } = lbrace a rbrace "." } {}
Разлика на множествата A и B се означува со A \ B и тоа е множество кое се состои од елементи кои припаѓаат на множеството A а не припаѓаат на множеството B, односно
A\B
=
{
x
∣
(
x
∈
A
)
∧
(
x
∉
B
)
}
.
A\B
=
{
x
∣
(
x
∈
A
)
∧
(
x
∉
B
)
}
.
size 12{"A\B"= lbrace x \lline \( x in A \) and \( x notin B \) rbrace "." } {}
Пример
3
.
За множествата
A={a,b,c},B={a,1,2}A={a,b,c},B={a,1,2} size 12{A= lbrace a,b,c rbrace ,``B= lbrace a,1,2 rbrace } {} разликата е
A \ B=
{b,c}{b,c} size 12{ lbrace b,c rbrace } {}.
Ако
B⊆XB⊆X size 12{B subseteq X} {}, тогаш множеството X \ B се нарекува комплемент на множеството B и се означува со
X=CXB=Bˉ.X=CXB=Bˉ. size 12{X\B=C rSub { size 8{X} } B= { bar {B}} "." } {}
Пример
4
.
За бесконечните множества од реални броеви
A=(0,5),B=[1,6]A=(0,5),B=[1,6] size 12{A= \( 0,5 \) ,``B= \[ 1,6 \] } {}, односно
A={x∣0<x<5}A={x∣0<x<5} size 12{A= lbrace x \lline 0<x<5 rbrace } {} и
B={x∣1≤x≤6}B={x∣1≤x≤6} size 12{B= lbrace x \lline 1 <= x <= 6 rbrace } {} ќе важи:
A∪B={x∣0<x≤6}A∪B={x∣0<x≤6} size 12{A union B= lbrace x \lline 0<x <= 6 rbrace } {},
A∩B={x∣1≤x<5}A∩B={x∣1≤x<5} size 12{A intersection B= lbrace x \lline 1 <= x<5 rbrace } {},
A\B={x∣0<x<1}A\B={x∣0<x<1} size 12{"A\B"= lbrace x \lline 0<x<1 rbrace } {},
B\A={x∣5≤x≤6}B\A={x∣5≤x≤6} size 12{"B\A"= lbrace x \lline 5 <= x <= 6 rbrace } {}.
Производ на две множества A и B се дефинира со:
A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B} size 12{A times B= lbrace \( a,b \) \lline a in A,b in B rbrace } {}.
Овој производ се нарекува уште и Декартов производ и неговите елементи се подредени парови на елементи во кои првиот елемент од парот припаѓа на првото, а вториот елемент на второто множество од производот.
Пример
5
.
За множествата
A={a,b,c},B={a,1,2}A={a,b,c},B={a,1,2} size 12{A= lbrace a,b,c rbrace ,``B= lbrace a,1,2 rbrace } {} производот е:
A
×
B
=
{
(
a
,
a
)
,
(
a
,
1
)
,
(
a
,
2
)
,
(
b
,
a
)
,
(
b
,
1
)
,
(
b
,
2
)
,
(
c
,
a
)
,
(
c
,
1
)
,
(
c
,
2
)
}
.
A
×
B
=
{
(
a
,
a
)
,
(
a
,
1
)
,
(
a
,
2
)
,
(
b
,
a
)
,
(
b
,
1
)
,
(
b
,
2
)
,
(
c
,
a
)
,
(
c
,
1
)
,
(
c
,
2
)
}
.
size 12{A times B= lbrace \( a,a \) , \( a,1 \) , \( a,2 \) , \( b,a \) , \( b,1 \) , \( b,2 \) , \( c,a \) , \( c,1 \) , \( c,2 \) rbrace "." } {}
Пример
6
.
Ако
A={x∣1≤x≤4}A={x∣1≤x≤4} size 12{A= lbrace x \lline 1 <= x <= 4 rbrace } {},
B={y∣2≤y≤6}B={y∣2≤y≤6} size 12{B= lbrace y \lline 2 <= y <= 6 rbrace } {}, тогаш:
A
×
B
=
{
(
x
,
y
)
∣
(
1
≤
x
≤
4
)
∧
(
2
≤
y
≤
6
)
}
A
×
B
=
{
(
x
,
y
)
∣
(
1
≤
x
≤
4
)
∧
(
2
≤
y
≤
6
)
}
size 12{A times B= lbrace \( x,y \) \lline \( 1 <= x <= 4 \) and \( 2 <= y <= 6 \) rbrace } {}
и геометриски претставува множество на внатрешни и гранични точки од правоаголникот ограничен со правите:
x=1,x=4,y=2,y=6x=1,x=4,y=2,y=6 size 12{x=1, `x=4, `y=2, `y=6} {}.
