Skip to content Skip to navigation

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Операции со множества

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Операции со множества

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се дефинираат основните операции со множества и илустрираат со примери

ОПЕРАЦИИ СО МНОЖЕСТВА

Подмножество

Нека се дадени две множества A и B. Ако секој елемент од множеството A припаѓа и на множеството B, тогаш мно­жество­то A е подмножество (дел) од B и симболички се означува со ABAB size 12{A subseteq B} {}. Овој исказ математички се запишува со

( a A ) ( a B ) A B . ( a A ) ( a B ) A B . size 12{ \( forall a in A \) drarrow \( a in B \) dlrarrow A subseteq B "." } {}

Ако постои барем еден елемент од множеството B кој не е елемент на A, множеството A е вистинско подмножество од B се означува со ABAB size 12{A subset B} {} и се запишува со

( b B ) ( b B ) size 12{ \( exists b in B \) and } {} ( b A ) A B . ( b A ) A B . size 12{ \( b notin A \) dlrarrow A subset B "." } {}

Јасно е дека секое множество A е подмно­жес­тво од самото себе, т.е. AAAA size 12{A subseteq A} {}.

Еднаквост на множества

Две множества A и B се еднакви ако имаат исти елементи и едаквоста се означува со A=B. Еднаквоста на множествата значи дека сите елементи од множеството A се елементи на множеството B и обратно, сите елементи од множеството B се елементи на множеството A или ако ABAB size 12{A subseteq B} {} и BABA size 12{B subseteq A} {}, тогаш A=B.

Нееднаквостана мо­жествата A и B се означува со ABAB size 12{A <> B} {}.

Унија на множества

Унија на множествата A и B е множество кое се состои од сите елементи кои припаѓаат барем на едно од множествата A или B и се означува

A B = { x ( x A ) ( x B ) } . A B = { x ( x A ) ( x B ) } . size 12{A union B= lbrace x \lline \( x in A \) or \( x in B \) rbrace "." } {}

Согласно на горенаведената дефиниција за унија, може да се дефинира унија на конечен број множеста Ai,(i=1,2,...,n)Ai,(i=1,2,...,n) size 12{A rSub { size 8{i} } ,` \( i=1,2, "." "." "." ,n \) } {} со:

A 1 A 2 A i = i = 1 n A i A 1 A 2 A i = i = 1 n A i size 12{A rSub { size 8{1} } union A rSub { size 8{2} } union dotslow union A rSub { size 8{n} } =` union { {} rSub { size 8{i=1} } rSup { size 8{n} } } A rSub { size 8{i} } } {}

или унија на бесконечен број множества Ai,(i=1,2,...)Ai,(i=1,2,...) size 12{A rSub { size 8{i} } ,` \( i=1,2, "." "." "." \) } {} со:

A 1 A 2 A i = i = 1 A i A 1 A 2 A i = i = 1 A i size 12{A rSub { size 8{1} } union A rSub { size 8{2} } union dotslow union A rSub { size 8{i} } union dotslow =` union { {} rSub { size 8{i=1} } rSup { size 8{ infinity } } } A rSub { size 8{i} } } {}

Пример 1 .

Нека се дадени три множества A1={a,b,c},A2={a,1,2},A1={a,b,c},A2={a,1,2}, size 12{A rSub { size 8{1} } = lbrace a,b,c rbrace ,``A rSub { size 8{2} } = lbrace a,1,2 rbrace ,`} {}A3={a,x,1,3}A3={a,x,1,3} size 12{`A rSub { size 8{3} } = lbrace a,x,1,3 rbrace } {}.

Унијата на овие множества е

A 1 A 2 A 3 = { a , b , c , x , 1,2,3 } . A 1 A 2 A 3 = { a , b , c , x , 1,2,3 } . size 12{A rSub { size 8{1} } union A rSub { size 8{2} } union A rSub { size 8{3} } = lbrace a,b,c,x,1,2,3 rbrace "." } {}

Пресек на множества

Пресек на множествата A и B е множество кое се состои од заедничките елементи на множествата A и B и се означува со:

A B = { x ( x A ) ( x B ) } . A B = { x ( x A ) ( x B ) } . size 12{A intersection B= lbrace x \lline \( x in A \) and \( x in B \) rbrace "." } {}

Пресекот на конечен број множества Ai,(i=1,2,...,n)Ai,(i=1,2,...,n) size 12{A rSub { size 8{i} } ,` \( i=1,2, "." "." "." ,n \) } {}се дефини­ра со:

A 1 A 2 A 3 A i = i = 1 n A i A 1 A 2 A 3 A i = i = 1 n A i size 12{A rSub { size 8{1} } intersection A rSub { size 8{2} } ` intersection A rSub { size 8{3} } dotslow ` intersection A rSub { size 8{i} } =` intersection rSub { size 8{i=1} } rSup { size 8{n} } A rSub { size 8{i} } } {}

додека пресекот на бесконечен број множества Ai,(i=1,2,...)Ai,(i=1,2,...) size 12{A rSub { size 8{i} } ,` \( i=1,2, "." "." "." \) } {} се дефинира со:

A 1 A 2 A 3 A i = i = 1 A i A 1 A 2 A 3 A i = i = 1 A i size 12{A rSub { size 8{1} } intersection A rSub { size 8{2} } ` intersection A rSub { size 8{3} } dotslow ` intersection A rSub { size 8{i} } ` intersection dotslow =` intersection rSub { size 8{i=1} } rSup { size 8{ infinity } } A rSub { size 8{i} } } {}

Пример 2 .

За множествата A1={a,b,c},A2={a,1,2},A3={a,x,1,3}A1={a,b,c},A2={a,1,2},A3={a,x,1,3} size 12{A rSub { size 8{1} } = lbrace a,b,c rbrace ,``A rSub { size 8{2} } = lbrace a,1,2 rbrace ,`A rSub { size 8{3} } = lbrace a,x,1,3 rbrace } {} пресекот е

A 1 A 2 A 3 = { a } . A 1 A 2 A 3 = { a } . size 12{A rSub { size 8{1} } intersection A rSub { size 8{2} } intersection A rSub { size 8{3} } = lbrace a rbrace "." } {}

Разлика на множества

Разлика на множествата A и B се означува со A \ B и тоа е множество кое се состои од елементи кои припаѓаат на множеството A а не припаѓаат на множеството B, односно

A\B = { x ( x A ) ( x B ) } . A\B = { x ( x A ) ( x B ) } . size 12{"A\B"= lbrace x \lline \( x in A \) and \( x notin B \) rbrace "." } {}

Пример 3 .

За множествата A={a,b,c},B={a,1,2}A={a,b,c},B={a,1,2} size 12{A= lbrace a,b,c rbrace ,``B= lbrace a,1,2 rbrace } {} разликата е

A \ B= {b,c}{b,c} size 12{ lbrace b,c rbrace } {}.

Ако BXBX size 12{B subseteq X} {}, тогаш множеството X \ B се нарекува комплемент на множество­то B и се означува со X=CXB=Bˉ.X=CXB=Bˉ. size 12{X\B=C rSub { size 8{X} } B= { bar {B}} "." } {}

Пример 4 .

За бесконечните множества од реални броеви A=(0,5),B=[1,6]A=(0,5),B=[1,6] size 12{A= \( 0,5 \) ,``B= \[ 1,6 \] } {}, односно A={x0<x<5}A={x0<x<5} size 12{A= lbrace x \lline 0<x<5 rbrace } {} и B={x1x6}B={x1x6} size 12{B= lbrace x \lline 1 <= x <= 6 rbrace } {} ќе важи:

AB={x0<x6}AB={x0<x6} size 12{A union B= lbrace x \lline 0<x <= 6 rbrace } {},

AB={x1x<5}AB={x1x<5} size 12{A intersection B= lbrace x \lline 1 <= x<5 rbrace } {},

A\B={x0<x<1}A\B={x0<x<1} size 12{"A\B"= lbrace x \lline 0<x<1 rbrace } {},

B\A={x5x6}B\A={x5x6} size 12{"B\A"= lbrace x \lline 5 <= x <= 6 rbrace } {}.

Производ на множества

Производ на две множества A и B се дефинира со:

A×B={(a,b)aA,bB}A×B={(a,b)aA,bB} size 12{A times B= lbrace \( a,b \) \lline a in A,b in B rbrace } {}.

Овој производ се нарекува уште и Декартов производ и неговите елементи се подредени парови на елементи во кои првиот елемент од парот припаѓа на првото, а вториот елемент на второто множество од производот.

Пример 5 .

За множествата A={a,b,c},B={a,1,2}A={a,b,c},B={a,1,2} size 12{A= lbrace a,b,c rbrace ,``B= lbrace a,1,2 rbrace } {} производот е:

A × B = { ( a , a ) , ( a , 1 ) , ( a , 2 ) , ( b , a ) , ( b , 1 ) , ( b , 2 ) , ( c , a ) , ( c , 1 ) , ( c , 2 ) } . A × B = { ( a , a ) , ( a , 1 ) , ( a , 2 ) , ( b , a ) , ( b , 1 ) , ( b , 2 ) , ( c , a ) , ( c , 1 ) , ( c , 2 ) } . size 12{A times B= lbrace \( a,a \) , \( a,1 \) , \( a,2 \) , \( b,a \) , \( b,1 \) , \( b,2 \) , \( c,a \) , \( c,1 \) , \( c,2 \) rbrace "." } {}

Пример 6 .

Ако A={x1x4}A={x1x4} size 12{A= lbrace x \lline 1 <= x <= 4 rbrace } {}, B={y2y6}B={y2y6} size 12{B= lbrace y \lline 2 <= y <= 6 rbrace } {}, тогаш:

A × B = { ( x , y ) ( 1 x 4 ) ( 2 y 6 ) } A × B = { ( x , y ) ( 1 x 4 ) ( 2 y 6 ) } size 12{A times B= lbrace \( x,y \) \lline \( 1 <= x <= 4 \) and \( 2 <= y <= 6 \) rbrace } {}

и геометриски претставува множество на внатрешни и грани­чни точки од правоаголникот ограничен со правите: x=1,x=4,y=2,y=6x=1,x=4,y=2,y=6 size 12{x=1, `x=4, `y=2, `y=6} {}.

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks