Connexions

You are here: Home » Content » Операции со множества
Content Actions

Операции со множества

Module by: Liljana Stefanovska

Summary: Се дефинираат основните операции со множества и илустрираат со примери

ОПЕРАЦИИ СО МНОЖЕСТВА

Подмножество

Нека се дадени две множества A и B. Ако секој елемент од множеството A припаѓа и на множеството B, тогаш мно­жество­то A е подмножество (дел) од B и симболички се означува со A⊆BA⊆B size 12{A subseteq B} {}. Овој исказ математички се запишува со
( ∀ a ∈ A ) ⇒ ( a ∈ B ) ⇔ A ⊆ B . ( ∀ a ∈ A ) ⇒ ( a ∈ B ) ⇔ A ⊆ B . size 12{ \( forall a in A \) drarrow \( a in B \) dlrarrow A subseteq B "." } {}
Ако постои барем еден елемент од множеството B кој не е елемент на A, множеството A е вистинско подмножество од B се означува со A⊂BA⊂B size 12{A subset B} {} и се запишува со
( ∃ b ∈ B ) ∧ ( ∃ b ∈ B ) ∧ size 12{ \( exists b in B \) and } {} ( b ∉ A ) ⇔ A ⊂ B . ( b ∉ A ) ⇔ A ⊂ B . size 12{ \( b notin A \) dlrarrow A subset B "." } {}
Јасно е дека секое множество A е подмно­жес­тво од самото себе, т.е. A⊆AA⊆A size 12{A subseteq A} {}.

Еднаквост на множества

Две множества A и B се еднакви ако имаат исти елементи и едаквоста се означува со A=B. Еднаквоста на множествата значи дека сите елементи од множеството A се елементи на множеството B и обратно, сите елементи од множеството B се елементи на множеството A или ако A⊆BA⊆B size 12{A subseteq B} {} и B⊆AB⊆A size 12{B subseteq A} {}, тогаш A=B.
Нееднаквостана мо­жествата A и B се означува со A≠BA≠B size 12{A <> B} {}.

Унија на множества

Унија на множествата A и B е множество кое се состои од сите елементи кои припаѓаат барем на едно од множествата A или B и се означува
A ∪ B = { x ∣ ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) } . A ∪ B = { x ∣ ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) } . size 12{A union B= lbrace x \lline \( x in A \) or \( x in B \) rbrace "." } {}
Согласно на горенаведената дефиниција за унија, може да се дефинира унија на конечен број множеста Ai,(i=1,2,...,n)Ai,(i=1,2,...,n) size 12{A rSub { size 8{i} } ,` \( i=1,2, "." "." "." ,n \) } {} со:
A1∪A2∪…∪An=i=1nAiA1∪A2∪…∪An=i=1nAi size 12{A rSub { size 8{1} } union A rSub { size 8{2} } union dotslow union A rSub { size 8{n} } = union rSub { size 8{i=1} } rSup { size 8{n} } {A rSub { size 8{i} } } } {},
или унија на бесконечен број множества Ai,(i=1,2,...)Ai,(i=1,2,...) size 12{A rSub { size 8{i} } ,` \( i=1,2, "." "." "." \) } {} со:
A1∪A2∪…∪An∪…=i=1∞AiA1∪A2∪…∪An∪…=i=1∞Ai size 12{A rSub { size 8{1} } union A rSub { size 8{2} } union dotslow union A rSub { size 8{n} } union dotslow = union rSub { size 8{i=1} } rSup { size 8{ infinity } } {A rSub { size 8{i} } } } {}.
Пример 1 .
Нека се дадени три множества A1={a,b,c},A2={a,1,2},A1={a,b,c},A2={a,1,2}, size 12{A rSub { size 8{1} } = lbrace a,b,c rbrace ,``A rSub { size 8{2} } = lbrace a,1,2 rbrace ,`} {}A3={a,x,1,3}A3={a,x,1,3} size 12{`A rSub { size 8{3} } = lbrace a,x,1,3 rbrace } {}.
Унијата на овие множества е
A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = { a , b , c , x , 1,2,3 } . A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = { a , b , c , x , 1,2,3 } . size 12{A rSub { size 8{1} } union A rSub { size 8{2} } union A rSub { size 8{3} } = lbrace a,b,c,x,1,2,3 rbrace "." } {}

Пресек на множества

Пресек на множествата A и B е множество кое се состои од заедничките елементи на множествата A и B и се означува со:
A ∩ B = { x ∣ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ) } . A ∩ B = { x ∣ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ) } . size 12{A intersection B= lbrace x \lline \( x in A \) and \( x in B \) rbrace "." } {}
Пресекот на конечен број множества Ai,(i=1,2,...,n)Ai,(i=1,2,...,n) size 12{A rSub { size 8{i} } ,` \( i=1,2, "." "." "." ,n \) } {}се дефини­ра со:
A1∩A2∩…∩An=intersecti=1nAiA1∩A2∩…∩An=intersecti=1nAi size 12{A rSub { size 8{1} } intersection A rSub { size 8{2} } intersection dotslow intersection A rSub { size 8{n} } = intersect rSub { size 8{i=1} } rSup { size 8{n} } {A rSub { size 8{i} } } } {},
додека пресекот на бесконечен број множества Ai,(i=1,2,...)Ai,(i=1,2,...) size 12{A rSub { size 8{i} } ,` \( i=1,2, "." "." "." \) } {} се дефинира со:
A1∩A2∩…∩An∩…=intersecti=1∞AiA1∩A2∩…∩An∩…=intersecti=1∞Ai size 12{A rSub { size 8{1} } intersection A rSub { size 8{2} } intersection dotslow intersection A rSub { size 8{n} } intersection dotslow = intersect rSub { size 8{i=1} } rSup { size 8{ infinity } } {A rSub { size 8{i} } } } {}.
Пример 2 .
За множествата A1={a,b,c},A2={a,1,2},A3={a,x,1,3}A1={a,b,c},A2={a,1,2},A3={a,x,1,3} size 12{A rSub { size 8{1} } = lbrace a,b,c rbrace ,``A rSub { size 8{2} } = lbrace a,1,2 rbrace ,`A rSub { size 8{3} } = lbrace a,x,1,3 rbrace } {} пресекот е
A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 = { a } . A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 = { a } . size 12{A rSub { size 8{1} } intersection A rSub { size 8{2} } intersection A rSub { size 8{3} } = lbrace a rbrace "." } {}

Разлика на множества

Разлика на множествата A и B се означува со A \ B и тоа е множество кое се состои од елементи кои припаѓаат на множеството A а не припаѓаат на множеството B, односно
A\B = { x ∣ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∉ B ) } . A\B = { x ∣ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∉ B ) } . size 12{"A\B"= lbrace x \lline \( x in A \) and \( x notin B \) rbrace "." } {}
Пример 3 .
За множествата A={a,b,c},B={a,1,2}A={a,b,c},B={a,1,2} size 12{A= lbrace a,b,c rbrace ,``B= lbrace a,1,2 rbrace } {} разликата е
A \ B= {b,c}{b,c} size 12{ lbrace b,c rbrace } {}.
Ако B⊆XB⊆X size 12{B subseteq X} {}, тогаш множеството X \ B се нарекува комплемент на множество­то B и се означува со X=CXB=Bˉ.X=CXB=Bˉ. size 12{X\B=C rSub { size 8{X} } B= { bar {B}} "." } {}
Пример 4 .
За бесконечните множества од реални броеви A=(0,5),B=[1,6]A=(0,5),B=[1,6] size 12{A= \( 0,5 \) ,``B= \[ 1,6 \] } {}, односно A={x∣0<x<5}A={x∣0<x<5} size 12{A= lbrace x \lline 0<x<5 rbrace } {} и B={x∣1≤x≤6}B={x∣1≤x≤6} size 12{B= lbrace x \lline 1 <= x <= 6 rbrace } {} ќе важи:
A∪B={x∣0<x≤6}A∪B={x∣0<x≤6} size 12{A union B= lbrace x \lline 0<x <= 6 rbrace } {},
A∩B={x∣1≤x<5}A∩B={x∣1≤x<5} size 12{A intersection B= lbrace x \lline 1 <= x<5 rbrace } {},
A\B={x∣0<x<1}A\B={x∣0<x<1} size 12{"A\B"= lbrace x \lline 0<x<1 rbrace } {},
B\A={x∣5≤x≤6}B\A={x∣5≤x≤6} size 12{"B\A"= lbrace x \lline 5 <= x <= 6 rbrace } {}.

Производ на множества

Производ на две множества A и B се дефинира со:
A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B} size 12{A times B= lbrace \( a,b \) \lline a in A,b in B rbrace } {}.
Овој производ се нарекува уште и Декартов производ и неговите елементи се подредени парови на елементи во кои првиот елемент од парот припаѓа на првото, а вториот елемент на второто множество од производот.
Пример 5 .
За множествата A={a,b,c},B={a,1,2}A={a,b,c},B={a,1,2} size 12{A= lbrace a,b,c rbrace ,``B= lbrace a,1,2 rbrace } {} производот е:
A × B = { ( a , a ) , ( a , 1 ) , ( a , 2 ) , ( b , a ) , ( b , 1 ) , ( b , 2 ) , ( c , a ) , ( c , 1 ) , ( c , 2 ) } . A × B = { ( a , a ) , ( a , 1 ) , ( a , 2 ) , ( b , a ) , ( b , 1 ) , ( b , 2 ) , ( c , a ) , ( c , 1 ) , ( c , 2 ) } . size 12{A times B= lbrace \( a,a \) , \( a,1 \) , \( a,2 \) , \( b,a \) , \( b,1 \) , \( b,2 \) , \( c,a \) , \( c,1 \) , \( c,2 \) rbrace "." } {}
Пример 6 .
Ако A={x∣1≤x≤4}A={x∣1≤x≤4} size 12{A= lbrace x \lline 1 <= x <= 4 rbrace } {}, B={y∣2≤y≤6}B={y∣2≤y≤6} size 12{B= lbrace y \lline 2 <= y <= 6 rbrace } {}, тогаш:
A × B = { ( x , y ) ∣ ( 1 ≤ x ≤ 4 ) ∧ ( 2 ≤ y ≤ 6 ) } A × B = { ( x , y ) ∣ ( 1 ≤ x ≤ 4 ) ∧ ( 2 ≤ y ≤ 6 ) } size 12{A times B= lbrace \( x,y \) \lline \( 1 <= x <= 4 \) and \( 2 <= y <= 6 \) rbrace } {}
и геометриски претставува множество на внатрешни и грани­чни точки од правоаголникот ограничен со правите: x=1,x=4,y=2,y=6x=1,x=4,y=2,y=6 size 12{x=1, `x=4, `y=2, `y=6} {}.

Comments, questions, feedback, criticisms?

Send feedback