МНОЖЕСТВО ПРИРОДНИ БРОЕВИ Броевите 1,2,3,... size 12{1,2,3, "." "." "." } {} т.е. множеството N = { 1,2,3,4, . . . , k , k + 1, . . . } size 12{N= lbrace 1,2,3,4, "." "." "." ,k,k+1, "." "." "." rbrace } {} се нарекува множество природни броеви. Поимот за природен број се смета за интуитивно јасен и тоа се броеви со кои човекот се запознава најпрво во животот по природен пат, преку наједноставно броење и пребројување на објектите од својата околина. Во множеството на природни броеви постои најмал елемент, тоа е бројот 1 size 12{1`} {}, додека не постои најголем па затоа и се вели дека тоа е ограничено од лево а неограничено од десно. Меѓу два последователни природни броја k и (k+1) не постои друг природен број. Во ова множество може да се извршуваат операциите собирање, множење и степенување со природен број, при што резулататот од извршувањето на наведените операции пак ќе биде природен број. Природните броеви можат да бидат парни или непарни. Парните броеви се претставуваат во обликот 2k,(k=1,2,3,...) size 12{2k,` \( k=1,2,3, "." "." "." \) } {} и тие го формираат множеството од парни природни броеви {2,4,6,8,...,2k,...} size 12{ lbrace 2,4,6,8, "." "." "." ,2k, "." "." "." rbrace } {}. Непарните природни броеви се претставуваат во обликот 2k−1,(k=1,2,3,...) size 12{2k - 1,` \( k=1,2,3, "." "." "." \) } {} или 2k+1,(k=0,1,2,3,...) size 12{2k+1,` \( k=0,1,2,3, "." "." "." \) } {} и го формираат множеството од непарни природни броеви {1,3,5,7,...,2k−1,...}. size 12{ lbrace 1,3,5,7, "." "." "." ,2k - 1, "." "." "." rbrace "." } {}

Задача Квадратот на парен број е паран број, а квадратот на непарен број е непарeн.

Доказ Ако бројот е парен, тој се запишува како 2k size 12{2k} {} и ако го квадрираме, тогаш и неговиот квадрат е парен број бидејќи (2k)2=4k2=2p size 12{ \( 2k \) rSup { size 8{2} } =4k rSup { size 8{2} } =2p} {}, каде p=2k2 size 12{p=2k rSup { size 8{2} } } {}. Исто така и за квадратот на непарен број се покажува дека е непарен број бидејќи (2k+1)2=4k2+4k+1=2m+1 size 12{ \( 2k+1 \) rSup { size 8{2} } =4k rSup { size 8{2} } +4k+1=2m+1} {}, каде m=2k(k+1). size 12{m=2k \( k+1 \) "." } {}

За можеството природни броеви се вели дека е преброиво множество и преброивоста е мерка за неговата моќ или негов кардинален број. Секое множество еквивалентно со него исто така е преброиво множество. Од природните броеви може да се формираат бесконечно многу подмножества кои се нарекуваат низи а некои од нив на пример се: низа од сите природни броеви: 1,2,3,4,5,... size 12{1,2,3,4,5, "." "." "." } {} низа од непарни природни броеви: 1,3,5,7,9,... size 12{1,3,5,7,9, "." "." "." } {} низа од парни прородни броеви: 2,4,6,8,10,... size 12{2,4,6,8,"10", "." "." "." } {} Бидејќи преброивоста на множеството ја искажува можноста неговите елементи да се подредат по големина во низа, затоа може да се каже дека природни броеви има исто толку многу колку што има парни или пак непарни природни броеви. Ова тврдење се темели на фактот дека сите елементи на овие множества се подредени по големина во низа, а тоа овозможува нивно пребројување. Од овој пример се гледа дека кај бесконечните множества не мора да важи очигледниот став дека “целото е поголемо од својот дел”, став кој е точен само за конечните множества. Кај конечните множества кардиналниот број е еднаков со бројот на неговите елементи. Природните броеви може да се поделат на прости и сложени. Простите броеви се делат сами со себе и со единицата (тривијални делители), додека сложените имаат и други делители различни од тривијалните. Бројот 1 size 12{1`} {}не е ни прост ни сложен, додека најмалиот прост број е 2. size 12{2 "." `} {} Множеството на прости броеви {2,3,5,7,11,13,17,...} size 12{ lbrace 2,`3,`5,`7,`"11",`"13",`"17",` "." "." "." rbrace } {} е бесконечно какво што е множеството на сложени броеви {4,6,8,9,10,12,14,15,...}. size 12{ lbrace 4,`6,`8,`9,`"10",`"12",`"14",`"15",` "." "." "." rbrace "." } {}

Една занимливост Љубителите на математиката се одушевени - со помош на грид-мрежа која се состоела од 240.000 умрежени компјутери, истражувачите дошле до најголемиот до сега познат прост број. Станува за бројот 2 на 224,036,583-та минус 1. Бројот има 7.235,733 цифри и е за околу милион цифри поголем од претходно откриениот.