Операцијата делење со цел број различен од нула не секогаш може да се изврши во множеството цели броеви, односно количникот на два цели броја не мора да е цел број. Затоа се укажува потребата од проширување на множеството цели броеви во множество рационални броеви кое во себе го содржи множеството цели броеви како вистинско подмножество. Имено, секој цел број може да се запише како дропка со именител 1. На пр.
3=31,3=623=31,3=62 size 12{3= { {3} over {1} } ,``3= { {6} over {2} } } {} и т.н. Рационалните броеви може да се претстават како количник на два цели броја, при што бројот во именителот треба да се различен од нула.
Множеството рационални броеви се запишува со
Q
=
p
q
∣
p
,
q
∈
Z
,
q
≠
0
.
Q
=
p
q
∣
p
,
q
∈
Z
,
q
≠
0
.
size 12{Q= left lbrace { {p} over {q} } \lline p,``q in Z,``q <> 0 right rbrace "." } {}
Ова множество е секаде густо множество, бидејќи меѓу два произволни рационални броеви има бесконечно многу рационални броеви. За да го покажеме ова тврдење, ќе докажеме дека меѓу рационалните броеви
aa size 12{a} {} и
bb size 12{b} {}се наоѓа бројот
a+b2.a+b2. size 12{ { {a+b} over {2} } "." } {} Нека
a<ba<b size 12{a<b} {} и ако на двете страни од ова неравенство се додаде бројот
aa size 12{a} {} се добива
2a
<
a
+
b
a
<
a
+
b
2
.
2a
<
a
+
b
a
<
a
+
b
2
.
alignl { stack {
size 12{2a<a+b} {} #
size 12{a< { {a+b} over {2} } "." } {}
} } {}
Аналогно, ако на двете страни од неравенставото
a<ba<b size 12{a<b} {} со додаде бројот
bb size 12{b} {} се добива
a
+
b
<
2b
a
+
b
2
<
b
.
a
+
b
<
2b
a
+
b
2
<
b
.
alignl { stack {
size 12{a+b<2b} {} #
size 12{ { {a+b} over {2} } <b "." } {}
} } {}
Од овие две неравенства следува дека
a
<
a
+
b
2
<
b
a
<
a
+
b
2
<
b
size 12{a< { {a+b} over {2} } <b} {}
што означува дека меѓу два рационални броеви
aa size 12{a} {} и
bb size 12{b} {} се наоѓа и рационалниот број
a+b2.a+b2. size 12{ { {a+b} over {2} } "." } {}Со истата постапка, ако на неравенството
a<ba<b size 12{a<b} {} се додава бројот
2a2a size 12{2a} {} и
2b2b size 12{2b} {} или
na,(n∈N)na,(n∈N) size 12{ ital "na", \( n in N \) } {} и
nb,(n∈N)nb,(n∈N) size 12{ ital "nb", \( n in N \) } {} се добива дека и броевите
a+b3,a+b4,...,a+bn,...a+b3,a+b4,...,a+bn,... size 12{ { {a+b} over {3} } , { {a+b} over {4} } , "." "." "." , { {a+b} over {n} } , "." "." "." } {} се меѓу
aa size 12{a} {} и
bb size 12{b} {}, односно
a<a+b2<a+b3<a+b4<⋯<a+bn<⋯<ba<a+b2<a+b3<a+b4<⋯<a+bn<⋯<b size 12{a< { {a+b} over {2} } < { {a+b} over {3} } < { {a+b} over {4} } < dotsaxis < { {a+b} over {n} } < dotsaxis <b} {}.
Множеството
QQ size 12{Q} {}исто како и множеството на природни броеви има моќ на преброиво множество бидејќи рационалните броеви може да се подредат во низа во која најпрво се запишуваат рационалните броеви чии што збир на цифри од именителот и броителот изнесува
11 size 12{1`} {}, потоа оние со збир
22 size 12{2`} {}, па
33 size 12{3} {} и т.н. при што се добива низата претставена со следнава шема:
0101 size 12{ { {0} over {1} } } {},
02,1102,11 size 12{ { {0} over {2} } ,` { {1} over {1} } } {},
03,12,2103,12,21 size 12{ { {0} over {3} } ,` { {1} over {2} } ,` { {2} over {1} } } {},
04,13,22,3104,13,22,31 size 12{ { {0} over {4} } ,` { {1} over {3} } ,` { {2} over {2} } ,` { {3} over {1} } } {},
05,14,23,32,4105,14,23,32,41 size 12{ { {0} over {5} } ,` { {1} over {4} } ,` { {2} over {3} } ,` { {3} over {2} } , { {4} over {1} } } {},
…… size 12{ dotslow } {}.
Како што се гледа од горенаведената шема, во наведената низа се запишани само позитивните рационални броеви, што нималку не ја намалува општоста, бидејќи до секој позитивен рационален број може да се додаде и рационалиот број со негативен предзнак. Се забележува дека секој рационален број во оваа низа се повторува бесконечен број пати, но тоа не е битно, важно е дека рационалните броеви на овој начин се подредени во низа, а со тоа нивното множество има моќ на преброиво. За досега наведените множества од броеви важи
N⊂Z⊂QN⊂Z⊂Q size 12{N subset Z subset Q} {},
што јасно го покажува начинот на кој се врши проширувањето на множествата броеви.
