МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛНИ БРОЕВИ

Операцијата делење со цел број различен од нула не секогаш може да се изврши во множеството цели броеви, односно количникот на два цели броја не мора да е цел број. Затоа се укажува потребата од проширување на множеството цели броеви во множество рационални броеви кое во себе го содржи множеството цели броеви како вистинско подмножество. Имено, секој цел број може да се запише како дропка со именител 1. На пр. 3=31,3=623=31,3=62 size 12{3= { {3} over {1} } ,``3= { {6} over {2} } } {} и т.н. Рационалните броеви може да се претстават како количник на два цели броја, при што бројот во именителот треба да се различен од нула.

Множеството рационални ­броеви се запишува со

Q = p q ∣ p , q ∈ Z , q ≠ 0 . Q = p q ∣ p , q ∈ Z , q ≠ 0 . size 12{Q= left lbrace { {p} over {q} } \lline p,``q in Z,``q <> 0 right rbrace "." } {}

Ова множество е секаде густо множество, бидејќи меѓу два произволни рационални броеви има бесконечно многу рационални броеви. Така на пр. меѓу броевите aa size 12{a} {} и b се наоѓаат броевите a+b2,a+b3,...a+b2,a+b3,... size 12{ { {a+b} over {2} } ,` { {a+b} over {3} } ,` "." "." "." } {} Множеството QQ size 12{Q} {} исто така има моќ на преброиво мно­жес­тво бидејќи рационалните броеви може да се подредат во низа во која најпрво се запишуваат рационалните броеви чии што збир на цифри од именителот и броителот изнесува 11 size 12{1`} {}, потоа оние со збир 22 size 12{2`} {}, па 33 size 12{3} {} и т.н. при што се добива низата претставена со следнава шема:

0101 size 12{ { {0} over {1} } } {},

0 2 , 1 1 , 0 2 , 1 1 , size 12{ { {0} over {2} } ,` { {1} over {1} } ,} {}

0 3 , 1 2 , 2 1 , 0 3 , 1 2 , 2 1 , size 12{ { {0} over {3} } ,` { {1} over {2} } ,` { {2} over {1} } ,} {}

0 4 , 1 3 , 2 2 , 3 1 , 0 4 , 1 3 , 2 2 , 3 1 , size 12{ { {0} over {4} } ,` { {1} over {3} } ,` { {2} over {2} } ,` { {3} over {1} } ,} {}

0 5 , 1 4 , 2 3 , 3 2 , 4 1 , . . . 0 5 , 1 4 , 2 3 , 3 2 , 4 1 , . . . alignl { stack { size 12{ { {0} over {5} } ,` { {1} over {4} } ,` { {2} over {3} } ,` { {3} over {2} } , { {4} over {1} } ,} {} # size 12{ "." ` "." ` "." } {} } } {}

Како што се гледа од горенаведената шема, во наведената низа се запишани само позитивните рационални броеви, што нималку не ја намалува општоста, бидејќи до секој позитивен рационален број може да се додаде и рационалиот број со негативен предзнак. Се забележува дека секој рационален број во оваа низа се повторува бесконечен број пати, но тоа не е битно, важно е дека рационалните броеви на овој начин се подредени во низа, а со тоа нивното множество има моќ на преброиво. Јасно е дека за досега наведените множества од броеви важи

N⊂Z⊂QN⊂Z⊂Q size 12{N subset Z subset Q} {},

што јасно го покажува начинот на кој се врши проширувањето на множествата броеви.