МНОЖЕСТВО ИРАЦИОНАЛНИ БРОЕВИ Како и сите досега конструирани множества броеви, така и множеството рационални броеви се покажува како недоволно за извршување на определени математички операции.

Задача. Дали се сомерливи страната a на квадратот и неговата дијагонала d, т.е дали постои некоја отсечка c која се содржи и во страната на квадратот и во неговата дијагонала?

Решение: За да се реши оваа задача се поаѓа од претпоставката дека постои таква отсечка со дожина c и тогаш дијагоналата и страната на квадратот можат да се запишат со равенките d = pc , a = qc , ( p , q ∈ N ) . size 12{d= ital "pc",~a= ital "qc",~ \( p,`q in N \) "." } {} Точноста на ова тврдење се покажува со докажување на спротивното, односно поаѓајќи од невистинито тврдење се доаѓа до контрадикција. Невистинито тврдење од кое се поаѓа е дека бројот 2 size 12{ sqrt {2} } {} е рационален број, што ќе не доведе до контрадикторност. Според Питагоровата теорема, дијагоналата d во квадрат со страна a size 12{a} {} е d=a2 size 12{d=a sqrt {2} } {} и нека претпоставиме дека бројот 2 size 12{ sqrt {2} } {} е рационален, што значи дека тој може да се претстави во обликот 2=pq, size 12{ sqrt {2} = { {p} over {q} } ,} {} ( p,q size 12{p,`q} {} се взаемно прости броеви, q≠0) size 12{q <> 0 \) } {}. (1) По квадрирање на (1) се добива p2=2q2, size 12{p rSup { size 8{2} } =2q rSup { size 8{2} } ,} {} (2) што значи дека p е парен број (види го примерот во делот за природни броеви) и може да се запише како p = 2k , ( k ∈ N ) size 12{p=2k,~ \( k in N \) } {} и по замена во (2) се добива дека 4k 2 = 2q 2 size 12{4k rSup { size 8{2} } =2q rSup { size 8{2} } } {} или по кратење со 2 се добива q2=2k2. size 12{q rSup { size 8{2} } =2k rSup { size 8{2} } "." } {} (3) Равенството (3) исто така означува дека и бројот q е парен како што е парен и бројот p, што е спротивно од појдовната претпоставка дека p и q се взаемно прости броеви, па следи дека тие не се парни броеви. Како заклучок следи дека претпоставката 2=pq, size 12{ sqrt {2} = { {p} over {q} } ,} {}(p, q се взаемно прости броеви) не е точна, односно 2≠pq size 12{ sqrt {2} <> { {p} over {q} } } {}, што значи дека 2∉Q size 12{ sqrt {2} notin Q} {}.

Воведувањето на операцијата коренување ја укажува потребата од проширување на множеството рационални броеви со други броеви а тоа се ирационалните броеви. Бројот се нарекува ирационален ако тој не може да се претстави во обликот pq,(p,q∈Z,q≠0). size 12{ { {p} over {q} } ,~ \( p,`q in Z,`q <> 0 \) "." } {} Карактеристично за ирационални броеви е дека тие се претставуваат во бесконечен децимален запис.

Пример. Ирационални се броевите: 2=1,4142...;π=3,1415...;log2=0,30103...;e=2,718281... size 12{ sqrt {2} =1,"4142" "." "." "." ;~π=3,"1415" "." "." "." ;~"log"2=0,"30103" "." "." "." ;~e=2,"718281" "." "." "." } {} и т.н. Множеството на ирационални броеви е неограничено множество и од лево и од десно, тоа е секаде густо и се означува со I.