Summary: Се воведува множеството од ирационални броеви.
Note: Your browser may not currently support MathML. See our browser support page for additional details. You can always view the correct math in the PDF version.
Како и сите досега конструирани множества броеви, така и множеството рационални броеви се покажува како недоволно за извршување на определени математички операции.
Дали се сомерливи страната a на квадратот и неговата дијагонала d, т.е дали постои некоја отсечка c која се содржи и во страната на квадратот и во неговата дијагонала?
За да се реши оваа задача се поаѓа од претпоставката дека постои таква отсечка со дожина c и тогаш дијагоналата и страната на квадратот можат да се запишат со равенките
Точноста на ова тврдење се покажува со докажување на спротивното, односно поаѓајќи од невистинито тврдење се доаѓа до контрадикција.
Невистинито тврдење од кое се поаѓа е дека бројот
Според Питагоровата теорема, дијагоналата d во квадрат со страна
По квадрирање на (1) се добива
што значи дека p е парен број (види го примерот во делот за природни броеви) и може да се запише како
и по замена во (2) се добива дека
или по кратење со 2 се добива
Равенството (3) исто така означува дека и бројот q е парен како што е парен и бројот p, што е спротивно од појдовната претпоставка дека p и q се взаемно прости броеви, па следи дека тие не се парни броеви. Како заклучок следи дека претпоставката
не е точна, односно
што значи дека
Воведувањето на операцијата коренување ја укажува потребата од проширување на множеството рационални броеви со други броеви а тоа се ирационалните броеви.
Бројот се нарекува ирационален ако тој не може да се претстави во обликот
Ирационални се броевите:
Множеството на ирационални броеви е неограничено множество и од лево и од десно, тоа е секаде густо и се означува со I.