Skip to content Skip to navigation

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Ирационални броеви

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Ирационални броеви

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се воведува множеството од ирационални броеви.

МНОЖЕСТВО ИРАЦИОНАЛНИ БРОЕВИ

Како и сите досега конструирани множества броеви, така и множеството рационални броеви се покажува како недоволно за извршување на определени математички опе­рации.

Задача.

Дали се сомерливи страната aa size 12{a} {} на квадратот и неговата дијагонала dd size 12{a} {}, т.е дали постои некоја отсечка cc size 12{a} {} која се содржи и во страната на квадратот и во неговата дијагонала?

Решение:

За да се реши оваа задача се поаѓа од претпоставката дека постои таква отсечка со дожина cc size 12{a} {} и тогаш дијагоналата и страната на квадратот можат да се запишат со равенките

d = pc , a = qc , ( p , q N ) . d = pc , a = qc , ( p , q N ) . size 12{d= ital "pc",~a= ital "qc",~ \( p,`q in N \) "." } {}

Точноста на ова тврдење се покажува со докажување на спротивното, односно поаѓајќи од невистинито тврдење се доаѓа до контрадикција.

Невистинито тврдење од кое се поаѓа е дека бројот 22 size 12{ sqrt {2} } {} е рационален број, што ќе не доведе до кон­традик­торност.

Според Питагоровата теорема, дијагоналата dd size 12{a} {} во квадрат со страна aa size 12{a} {} е d=a2d=a2 size 12{d=a sqrt {2} } {} и нека претпоставиме дека бројот 22 size 12{ sqrt {2} } {} е рационален, што значи дека тој може да се прет­стави во обликот

2=pq,2=pq, size 12{ sqrt {2} = { {p} over {q} } ,} {} ( p,qp,q size 12{p,`q} {} се взаемно прости броеви, q0)q0) size 12{q <> 0 \) } {}. (1)

По квадрирање на (1) се добива

p2=2q2,p2=2q2, size 12{p rSup { size 8{2} } =2q rSup { size 8{2} } ,} {} (2)

што значи дека pp size 12{a} {} е парен број (види го примерот во делот за природни броеви) и може да се запише како

p = 2k , ( k N ) p = 2k , ( k N ) size 12{p=2k,~ \( k in N \) } {}

и по замена во (2) се добива дека

4k 2 = 2q 2 4k 2 = 2q 2 size 12{4k rSup { size 8{2} } =2q rSup { size 8{2} } } {}

или по кратење со 2 се добива

q2=2k2.q2=2k2. size 12{q rSup { size 8{2} } =2k rSup { size 8{2} } "." } {} (3)

Равенството (3) исто така означува дека и бројот qq size 12{a} {} е парен како што е парен и бројот pp size 12{a} {}, што е спротивно од појдовната претпоставка дека pp size 12{a} {} и qq size 12{a} {} се взаемно прости броеви, од каде следува дека тие не се парни броеви. Како заклучок следува дека претпоставката

2=pq,2=pq, size 12{ sqrt {2} = { {p} over {q} } ,} {}(pp size 12{a} {}, qq size 12{a} {} се взаемно прости броеви)

не е точна, односно

2pq2pq size 12{ sqrt {2} <> { {p} over {q} } } {},

што значи дека 2Q2Q size 12{ sqrt {2} notin Q} {}.

Воведувањето на операцијата коренување ја укажува потребата од проширување на множеството рационални броеви со други броеви а тоа се ирационалните броеви.

Бројот се нарекува ирационален ако тој не може да се претстави во обликот pq,(p,qZ,q0).pq,(p,qZ,q0). size 12{ { {p} over {q} } ,~ \( p,`q in Z,`q <> 0 \) "." } {} Карактеристично за ирационални броеви е дека тие се претставуваат во бесконечен децимален запис.

Пример.

Ирационални се броевите:

2=1,4142...;π=3,1415...;log2=0,30103...;e=2,718281...2=1,4142...;π=3,1415...;log2=0,30103...;e=2,718281... size 12{ sqrt {2} =1,"4142" "." "." "." ;~π=3,"1415" "." "." "." ;~"log"2=0,"30103" "." "." "." ;~e=2,"718281" "." "." "." } {} и т.н.

Множеството на ирационални броеви е неограничено мно­жество и од лево и од десно, тоа е секаде густо и се означува со I.

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks