Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Ирационални броеви

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Ирационални броеви

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

User rating (How does the rating system work?)
Ratings

Ratings allow you to judge the quality of modules. If other users have ranked the module then its average rating is displayed below. Ratings are calculated on a scale from one star (Poor) to five stars (Excellent).

How to rate a module

Hover over the star that corresponds to the rating you wish to assign. Click on the star to add your rating. Your rating should be based on the quality of the content. You must have an account and be logged in to rate content.

:
(0 ratings)

Summary: Се воведува множеството од ирационални броеви.

Note: Your browser may not currently support MathML. See our browser support page for additional details. You can always view the correct math in the PDF version.

МНОЖЕСТВО ИРАЦИОНАЛНИ БРОЕВИ

Како и сите досега конструирани множества броеви, така и множеството рационални броеви се покажува како недоволно за извршување на определени математички опе­рации.

Задача.

Дали се сомерливи страната a на квадратот и неговата дијагонала d, т.е дали постои некоја отсечка c која се содржи и во страната на квадратот и во неговата дијагонала?

Решение:

За да се реши оваа задача се поаѓа од претпоставката дека постои таква отсечка со дожина c и тогаш дијагоналата и страната на квадратот можат да се запишат со равенките

d = pc , a = qc , ( p , q ∈ N ) . d = pc , a = qc , ( p , q ∈ N ) . size 12{d= ital "pc",~a= ital "qc",~ \( p,`q in N \) "." } {}

Точноста на ова тврдење се покажува со докажување на спротивното, односно поаѓајќи од невистинито тврдење се доаѓа до контрадикција.

Невистинито тврдење од кое се поаѓа е дека бројот 22 size 12{ sqrt {2} } {} е рационален број, што ќе не доведе до кон­традик­торност.

Според Питагоровата теорема, дијагоналата d во квадрат со страна aa size 12{a} {} е d=a2d=a2 size 12{d=a sqrt {2} } {} и нека претпоставиме дека бројот 22 size 12{ sqrt {2} } {} е рационален, што значи дека тој може да се прет­стави во обликот

2=pq,2=pq, size 12{ sqrt {2} = { {p} over {q} } ,} {} ( p,qp,q size 12{p,`q} {} се взаемно прости броеви, q≠0)q≠0) size 12{q <> 0 \) } {}. (1)

По квадрирање на (1) се добива

p2=2q2,p2=2q2, size 12{p rSup { size 8{2} } =2q rSup { size 8{2} } ,} {} (2)

што значи дека p е парен број (види го примерот во делот за природни броеви) и може да се запише како

p = 2k , ( k ∈ N ) p = 2k , ( k ∈ N ) size 12{p=2k,~ \( k in N \) } {}

и по замена во (2) се добива дека

4k 2 = 2q 2 4k 2 = 2q 2 size 12{4k rSup { size 8{2} } =2q rSup { size 8{2} } } {}

или по кратење со 2 се добива

q2=2k2.q2=2k2. size 12{q rSup { size 8{2} } =2k rSup { size 8{2} } "." } {} (3)

Равенството (3) исто така означува дека и бројот q е парен како што е парен и бројот p, што е спротивно од појдовната претпоставка дека p и q се взаемно прости броеви, па следи дека тие не се парни броеви. Како заклучок следи дека претпоставката

2=pq,2=pq, size 12{ sqrt {2} = { {p} over {q} } ,} {}(p, q се взаемно прости броеви)

не е точна, односно

2≠pq2≠pq size 12{ sqrt {2} <> { {p} over {q} } } {},

што значи дека 2∉Q2∉Q size 12{ sqrt {2} notin Q} {}.

Воведувањето на операцијата коренување ја укажува потребата од проширување на множеството рационални броеви со други броеви а тоа се ирационалните броеви.

Бројот се нарекува ирационален ако тој не може да се претстави во обликот pq,(p,q∈Z,q≠0).pq,(p,q∈Z,q≠0). size 12{ { {p} over {q} } ,~ \( p,`q in Z,`q <> 0 \) "." } {} Карактеристично за ирационални броеви е дека тие се претставуваат во бесконечен децимален запис.

Пример.

Ирационални се броевите:

2=1,4142...;π=3,1415...;log2=0,30103...;e=2,718281...2=1,4142...;π=3,1415...;log2=0,30103...;e=2,718281... size 12{ sqrt {2} =1,"4142" "." "." "." ;~π=3,"1415" "." "." "." ;~"log"2=0,"30103" "." "." "." ;~e=2,"718281" "." "." "." } {} и т.н.

Множеството на ирационални броеви е неограничено мно­жество и од лево и од десно, тоа е секаде густо и се означува со I.

Content actions

Give Feedback:

E-mail the module author | Rate module ( How does the rating system work?)

Rating system

Ratings

Ratings allow you to judge the quality of modules. If other users have ranked the module then its average rating is displayed below. Ratings are calculated on a scale from one star (Poor) to five stars (Excellent).

How to rate a module

Hover over the star that corresponds to the rating you wish to assign. Click on the star to add your rating. Your rating should be based on the quality of the content. You must have an account and be logged in to rate content.

(0 ratings)

Download:

Module PDF

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections directly in Connexions. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need a Connexions account to use 'My Favorites'.

| A lens (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of Connexions content. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see Connexions through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to Connexions materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual Connexions member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks