Децимални дропки
1.6
2007/09/25 18:03:51 GMT-5
2007/11/01 13:29:35.371 GMT-5
Liljana
Stefanovska
liljana24@gmail.com
Liljana
Stefanovska
liljana24@gmail.com
децимални дропки
периодични дропки
Претворање на реален број во дропка и обратно.
ПРЕТСТАВУВАЊЕ НА РЕАЛНИТЕ БРОЕВИ СО ДЕЦИМАЛНИ ДРОПКИ
Нека е даден реален број
x>0 size 12{x>0} {} кој не е цел број. Ако x може да се напише како конечна децимална дропка, односно
x
=
a
0
,
a
1
a
2
.
.
.
a
n
size 12{x=a rSub { size 8{0} } ,a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } } {}
тогаш
x=a0,a1a2...an=a0a1a2...an10n=pq size 12{x=a rSub { size 8{0} } ,a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } = { {a rSub { size 8{0} } a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } } over {"10" rSup { size 8{n} } } } = { {p} over {q} } } {},
од каде следи дека секој реален број запишан со конечна децимална дропка е рационален број и обратно.
Сега нека претпоставиме дека x не може да се напише во конечна децимална дропка. Тогаш согурно x се наоѓа меѓу два последователни цели броја, односно постои цел број C таков што
C
<
x
<
C
+
1
.
size 12{C<x<C+1 "." } {}
Нека интервалот меѓу C и C+1 се подели на десет дела со броевите
c1,c2,c3,...,c9 size 12{c rSub { size 8{1} } ,`c rSub { size 8{2} } ,`c rSub { size 8{3} } , "." "." "." ,c rSub { size 8{9} } } {}. Аналогно, x ќе се најде во еден од овие подинтервали и тоа се запишува со
C
,
c
1
<
x
<
C
,
c
1
+
1
10
.
size 12{C,c rSub { size 8{1} } <x<C,c rSub { size 8{1} } + { {1} over {"10"} } "." } {}
Со продолжување на постапката се добива
C,c1c2...cn<x<C,c1c2...cn+110 size 12{C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } <x<C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } + { {1} over {"10"} } } {},
што претставува бесконечна децимална дропка која може да се сумира и таа сума ќе го претставува реалниот број x. Ако бројот x се поклопи со некој од краевите на претходниот интервал, тогаш ќе важи
C
,
c
1
c
2
.
.
.
c
n
≤
x
≤
C
,
c
1
c
2
.
.
.
c
n
+
1
10
size 12{C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } <= x <= C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } + { {1} over {"10"} } } {}
и левата и десната страна во последното неравенство ќе бидат еднакви и сите цифри кои следат ќе бидат секогаш нули или деветки кои периодично се повторуваат.
Пример 1.
Бројот
1,234=1,234000...=1,2339999... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." =1,"2339999" "." "." "." } {}
Првото равенство
1,234=1,234000... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." } {} е очигледно, додека второто равенство ќе се докаже. За таа цел, бројот
1,2339999... size 12{1,"2339999" "." "." "." } {} се запишува како
1,
2339999
.
.
.
=
1,
233
+
0,
0009999
.
.
.
=
size 12{1,"2339999" "." "." "." =1,"233"+0,"0009999" "." "." "." ={}} {}
=1,233+9104+9105+9106+⋯ size 12{ {}=1,"233"+ { {9} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {9} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {9} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis } {} =
1,233+9(1104+1105+1106+⋯) size 12{1,"233"+9 \( { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis \) } {}.
Изразот во заградата е конвергентен геометриски ред чии што збир е
1104+1105+1106+⋯=a11−q=11041−110=19⋅103 size 12{ { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis = { {a rSub { size 8{1} } } over {1 - q} } = { { { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } } over {1 - { {1} over {"10"} } } } = { {1} over {9 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } } {},
па затоа
1,
233
+
9
(
1
10
4
+
1
10
5
+
1
10
6
+
.
.
.
)
size 12{1,"233"+9 \( { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + "." "." "." \) } {}
=
1,
233
+
9
9
⋅
10
3
=
size 12{ {}=1,"233"+ { {9} over {9 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } ={}} {}
=
1,
233
+
1
10
3
=
1,
233
+
0,
001
=
1,
234
size 12{ {}=1,"233"+ { {1} over {"10" rSup { size 8{3} } } } =1,"233"+0,"001"=1,"234"} {}
од каде следи дека
1,234=1,234000...=1,2339999... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." =1,"2339999" "." "." "." } {} .
Заклучок
За секој реален број постои бесконечна децимална дропка и на секоја бесконечна децимална дропка и одговара еден реален број. Рационалните броеви се изразуваат со периодични, а ирационалните со непериодични децимални дропки.
Пример 2.
За ирационалниот број
2 size 12{ sqrt {2} } {} важи
1,4 <
2 size 12{ sqrt {2} } {} <1,5
1,41 <
2 size 12{ sqrt {2} } {} <1,42
1,414 <
2 size 12{ sqrt {2} } {}< 1,415
1,4142 <
2 size 12{ sqrt {2} } {} < 1,4143
1,41421 <
2 size 12{ sqrt {2} } {} < 1,41422
…
и за него не постои конечен децимален запис. Децималното претставување на ирационален број се врши со земање на конечен број децимални цифри и отфралање на преостанатите бесконечно многу цифри, што претставува негова приближна вредност. Така приближно
2 size 12{ sqrt {2} } {} може да се запише како
2≈ size 12{ sqrt {2} approx } {}1,41 со точност до втората или
2≈ size 12{ sqrt {2} approx } {}1,41421 со точност до петата или со точност до триесетидеветтата децимална цифра
2≈ size 12{ sqrt {2} approx } {}1,414213562373095048801688724209698078570.
Пример 3.
Дадени се неколку рационални броеви изразени преку бесконечни децимални дропки, но тие се секогаш периодични:
1
3
=
0,
333
.
.
.
=
0,
(
3
)
size 12{ { {1} over {3} } =0,"333" "." "." "." =0, \( 3 \) } {}
57=0,714285714285714285...=0,(714285) size 12{ { {5} over {7} } =0,"714285"``"714285"``"714285" "." "." "." =0,` \( "714285" \) } {}.
Точно е и обратното, секоја периодична дропка дава рационален број.
Пример 4.
Да се претвори периодичниот децимален број во рационален број.
Поаѓајки од
3,
45
(
125
)
=
3,
45125125125
.
.
.
=
size 12{3,"45" \( "125" \) =3,"45125125125" "." "." "." ={}} {}
=
3
+
45
100
+
125
10
5
+
125
10
8
+
125
10
11
+
⋯
=
size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{8} } } } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{"11"} } } } + dotsaxis ={}} {}
=
3
+
45
100
+
125
(
1
10
5
+
1
10
8
+
1
10
11
+
⋯
)
=
size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } +"125" \( { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{8} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{"11"} } } } + dotsaxis \) ={}} {}
=
3
+
45
100
+
125
1
10
5
1
−
1
10
3
=
3
+
45
100
+
125
999
⋅
10
2
=
size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } +"125" { { { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } } over {1 - { {1} over {"10" rSup { size 8{3} } } } } } =3+ { {"45"} over {"100"} } + { {"125"} over {"999" cdot "10" rSup { size 8{2} } } } ={}} {}
=
344655+12599900=34478099900 size 12{ { {"344655"+"125"} over {"99900"} } = { {"344780"} over {"99900"} } } {}
се добива дека
3,45(125)=34478099900 size 12{"3,45" \( "125" \) = { {"344780"} over {"99900"} } } {}.