Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Децимални дропки

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Децимални дропки

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

User rating (How does the rating system work?)
Ratings

Ratings allow you to judge the quality of modules. If other users have ranked the module then its average rating is displayed below. Ratings are calculated on a scale from one star (Poor) to five stars (Excellent).

How to rate a module

Hover over the star that corresponds to the rating you wish to assign. Click on the star to add your rating. Your rating should be based on the quality of the content. You must have an account and be logged in to rate content.

:
(0 ratings)

Summary: Претворање на реален број во дропка и обратно.

Note: Your browser may not currently support MathML. See our browser support page for additional details. You can always view the correct math in the PDF version.

ПРЕТСТАВУВАЊЕ НА РЕАЛНИТЕ БРОЕВИ СО ДЕЦИМАЛНИ ДРОПКИ

Нека е даден реален број x>0x>0 size 12{x>0} {} кој не е цел број. Ако x може да се напише како конечна децимална дропка, односно

x = a 0 , a 1 a 2 . . . a n x = a 0 , a 1 a 2 . . . a n size 12{x=a rSub { size 8{0} } ,a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } } {}

тогаш

x=a0,a1a2...an=a0a1a2...an10n=pqx=a0,a1a2...an=a0a1a2...an10n=pq size 12{x=a rSub { size 8{0} } ,a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } = { {a rSub { size 8{0} } a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } } over {"10" rSup { size 8{n} } } } = { {p} over {q} } } {},

од каде следи дека секој реален број запишан со конечна децимална дропка е рационален број и обратно.

Сега нека претпоставиме дека x не може да се напише во конечна децимална дропка. Тогаш согурно x се наоѓа меѓу два последователни цели броја, односно постои цел број C таков што

C < x < C + 1 . C < x < C + 1 . size 12{C<x<C+1 "." } {}

Нека интервалот меѓу C и C+1 се подели на десет дела со броевите c1,c2,c3,...,c9c1,c2,c3,...,c9 size 12{c rSub { size 8{1} } ,`c rSub { size 8{2} } ,`c rSub { size 8{3} } , "." "." "." ,c rSub { size 8{9} } } {}. Аналогно, x ќе се најде во еден од овие подинтервали и тоа се запишува со

C , c 1 < x < C , c 1 + 1 10 . C , c 1 < x < C , c 1 + 1 10 . size 12{C,c rSub { size 8{1} } <x<C,c rSub { size 8{1} } + { {1} over {"10"} } "." } {}

Со продолжување на постапката се добива

C,c1c2...cn<x<C,c1c2...cn+110C,c1c2...cn<x<C,c1c2...cn+110 size 12{C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } <x<C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } + { {1} over {"10"} } } {},

што претставува бесконечна децимална дропка која може да се сумира и таа сума ќе го претставува реалниот број x. Ако бројот x се поклопи со некој од краевите на претходниот интервал, тогаш ќе важи

C , c 1 c 2 . . . c n ≤ x ≤ C , c 1 c 2 . . . c n + 1 10 C , c 1 c 2 . . . c n ≤ x ≤ C , c 1 c 2 . . . c n + 1 10 size 12{C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } <= x <= C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } + { {1} over {"10"} } } {}

и левата и десната страна во последното неравенство ќе бидат еднакви и сите цифри кои следат ќе бидат секогаш нули или деветки кои периодично се повторуваат.

Пример 1.

Бројот 1,234=1,234000...=1,2339999...1,234=1,234000...=1,2339999... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." =1,"2339999" "." "." "." } {}

Првото равенство 1,234=1,234000...1,234=1,234000... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." } {} е очигледно, додека второто равенство ќе се докаже. За таа цел, бројот 1,2339999...1,2339999... size 12{1,"2339999" "." "." "." } {} се запишува како

1, 2339999 . . . = 1, 233 + 0, 0009999 . . . = 1, 2339999 . . . = 1, 233 + 0, 0009999 . . . = size 12{1,"2339999" "." "." "." =1,"233"+0,"0009999" "." "." "." ={}} {}

=1,233+9104+9105+9106+⋯=1,233+9104+9105+9106+⋯ size 12{ {}=1,"233"+ { {9} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {9} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {9} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis } {} = 1,233+9(1104+1105+1106+⋯)1,233+9(1104+1105+1106+⋯) size 12{1,"233"+9 \( { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis \) } {}.

Изразот во заградата е конвергентен геометри­ски ред чии што збир е

1104+1105+1106+⋯=a11−q=11041−110=19⋅1031104+1105+1106+⋯=a11−q=11041−110=19⋅103 size 12{ { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis = { {a rSub { size 8{1} } } over {1 - q} } = { { { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } } over {1 - { {1} over {"10"} } } } = { {1} over {9 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } } {},

па затоа

1, 233 + 9 ( 1 10 4 + 1 10 5 + 1 10 6 + . . . ) 1, 233 + 9 ( 1 10 4 + 1 10 5 + 1 10 6 + . . . ) size 12{1,"233"+9 \( { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + "." "." "." \) } {} = 1, 233 + 9 9 ⋅ 10 3 = = 1, 233 + 9 9 ⋅ 10 3 = size 12{ {}=1,"233"+ { {9} over {9 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } ={}} {}

= 1, 233 + 1 10 3 = 1, 233 + 0, 001 = 1, 234 = 1, 233 + 1 10 3 = 1, 233 + 0, 001 = 1, 234 size 12{ {}=1,"233"+ { {1} over {"10" rSup { size 8{3} } } } =1,"233"+0,"001"=1,"234"} {}

од каде следи дека 1,234=1,234000...=1,2339999...1,234=1,234000...=1,2339999... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." =1,"2339999" "." "." "." } {} .

Заклучок

За секој реален број постои бесконечна децимална дропка и на секоја бесконечна децимална дропка и одговара еден реален број. Рационалните броеви се изразуваат со периодични, а ирационалните со непериодични децимални дропки.

Пример 2.

За ирационалниот број 22 size 12{ sqrt {2} } {} важи

1,4 < 22 size 12{ sqrt {2} } {} <1,5

1,41 < 22 size 12{ sqrt {2} } {} <1,42

1,414 < 22 size 12{ sqrt {2} } {}< 1,415

1,4142 < 22 size 12{ sqrt {2} } {} < 1,4143

1,41421 < 22 size 12{ sqrt {2} } {} < 1,41422

…

и за него не постои конечен децимален запис. Децималното претставување на ирационален број се врши со земање на конечен број децимални цифри и отфралање на преостанатите бесконечно многу цифри, што претставува негова приближна вредност. Така приближно 22 size 12{ sqrt {2} } {} може да се запише како 2≈2≈ size 12{ sqrt {2} approx } {}1,41 со точност до втората или 2≈2≈ size 12{ sqrt {2} approx } {}1,41421 со точност до петата или со точност до триесетидеветтата децимална цифра

2≈2≈ size 12{ sqrt {2} approx } {}1,414213562373095048801688724209698078570.

Пример 3.

Дадени се неколку рационални броеви изразени преку бесконечни децимални дропки, но тие се секогаш периодични:

1 3 = 0, 333 . . . = 0, ( 3 ) 1 3 = 0, 333 . . . = 0, ( 3 ) size 12{ { {1} over {3} } =0,"333" "." "." "." =0, \( 3 \) } {}

57=0,714285714285714285...=0,(714285)57=0,714285714285714285...=0,(714285) size 12{ { {5} over {7} } =0,"714285"``"714285"``"714285" "." "." "." =0,` \( "714285" \) } {}.

Точно е и обратното, секоја периодична дропка дава рационален број.

Пример 4.

Да се претвори периодичниот децимален број во рационален број.

Поаѓајки од

3, 45 ( 125 ) = 3, 45125125125 . . . = 3, 45 ( 125 ) = 3, 45125125125 . . . = size 12{3,"45" \( "125" \) =3,"45125125125" "." "." "." ={}} {}

= 3 + 45 100 + 125 10 5 + 125 10 8 + 125 10 11 + ⋯ = = 3 + 45 100 + 125 10 5 + 125 10 8 + 125 10 11 + ⋯ = size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{8} } } } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{"11"} } } } + dotsaxis ={}} {}

= 3 + 45 100 + 125 ( 1 10 5 + 1 10 8 + 1 10 11 + ⋯ ) = = 3 + 45 100 + 125 ( 1 10 5 + 1 10 8 + 1 10 11 + ⋯ ) = size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } +"125" \( { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{8} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{"11"} } } } + dotsaxis \) ={}} {}

= 3 + 45 100 + 125 1 10 5 1 − 1 10 3 = 3 + 45 100 + 125 999 ⋅ 10 2 = = 3 + 45 100 + 125 1 10 5 1 − 1 10 3 = 3 + 45 100 + 125 999 ⋅ 10 2 = size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } +"125" { { { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } } over {1 - { {1} over {"10" rSup { size 8{3} } } } } } =3+ { {"45"} over {"100"} } + { {"125"} over {"999" cdot "10" rSup { size 8{2} } } } ={}} {}

= 344655+12599900=34478099900344655+12599900=34478099900 size 12{ { {"344655"+"125"} over {"99900"} } = { {"344780"} over {"99900"} } } {}

се добива дека 3,45(125)=344780999003,45(125)=34478099900 size 12{"3,45" \( "125" \) = { {"344780"} over {"99900"} } } {}.

Content actions

Give Feedback:

E-mail the module author | Rate module ( How does the rating system work?)

Rating system

Ratings

Ratings allow you to judge the quality of modules. If other users have ranked the module then its average rating is displayed below. Ratings are calculated on a scale from one star (Poor) to five stars (Excellent).

How to rate a module

Hover over the star that corresponds to the rating you wish to assign. Click on the star to add your rating. Your rating should be based on the quality of the content. You must have an account and be logged in to rate content.

(0 ratings)

Download:

Module PDF

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections directly in Connexions. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need a Connexions account to use 'My Favorites'.

| A lens (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of Connexions content. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see Connexions through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to Connexions materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual Connexions member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks