Connexions

You are here: Home » Content » Децимални дропки
Content Actions

Децимални дропки

Module by: Liljana Stefanovska

Summary: Претворање на реален број во дропка и обратно.

ПРЕТСТАВУВАЊЕ НА РЕАЛНИТЕ БРОЕВИ СО ДЕЦИМАЛНИ ДРОПКИ

Нека е даден реален број x>0x>0 size 12{x>0} {} кој не е цел број. Ако x може да се напише како конечна децимална дропка, односно
x = a 0 , a 1 a 2 . . . a n x = a 0 , a 1 a 2 . . . a n size 12{x=a rSub { size 8{0} } ,a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } } {}
тогаш
x=a0,a1a2...an=a0a1a2...an10n=pqx=a0,a1a2...an=a0a1a2...an10n=pq size 12{x=a rSub { size 8{0} } ,a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } = { {a rSub { size 8{0} } a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } } over {"10" rSup { size 8{n} } } } = { {p} over {q} } } {},
од каде следи дека секој реален број запишан со конечна децимална дропка е рационален број и обратно.
Сега нека претпоставиме дека x не може да се напише во конечна децимална дропка. Тогаш согурно x се наоѓа меѓу два последователни цели броја, односно постои цел број C таков што
C < x < C + 1 . C < x < C + 1 . size 12{C<x<C+1 "." } {}
Нека интервалот меѓу C и C+1 се подели на десет дела со броевите c1,c2,c3,...,c9c1,c2,c3,...,c9 size 12{c rSub { size 8{1} } ,`c rSub { size 8{2} } ,`c rSub { size 8{3} } , "." "." "." ,c rSub { size 8{9} } } {}. Аналогно, x ќе се најде во еден од овие подинтервали и тоа се запишува со
C , c 1 < x < C , c 1 + 1 10 . C , c 1 < x < C , c 1 + 1 10 . size 12{C,c rSub { size 8{1} } <x<C,c rSub { size 8{1} } + { {1} over {"10"} } "." } {}
Со продолжување на постапката се добива
C,c1c2...cn<x<C,c1c2...cn+110C,c1c2...cn<x<C,c1c2...cn+110 size 12{C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } <x<C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } + { {1} over {"10"} } } {},
што претставува бесконечна децимална дропка која може да се сумира и таа сума ќе го претставува реалниот број x. Ако бројот x се поклопи со некој од краевите на претходниот интервал, тогаш ќе важи
C , c 1 c 2 . . . c n ≤ x ≤ C , c 1 c 2 . . . c n + 1 10 C , c 1 c 2 . . . c n ≤ x ≤ C , c 1 c 2 . . . c n + 1 10 size 12{C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } <= x <= C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } + { {1} over {"10"} } } {}
и левата и десната страна во последното неравенство ќе бидат еднакви и сите цифри кои следат ќе бидат секогаш нули или деветки кои периодично се повторуваат.

Пример 1.

Бројот 1,234=1,234000...=1,2339999...1,234=1,234000...=1,2339999... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." =1,"2339999" "." "." "." } {}
Првото равенство 1,234=1,234000...1,234=1,234000... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." } {} е очигледно, додека второто равенство ќе се докаже. За таа цел, бројот 1,2339999...1,2339999... size 12{1,"2339999" "." "." "." } {} се запишува како
1, 2339999 . . . = 1, 233 + 0, 0009999 . . . = 1, 2339999 . . . = 1, 233 + 0, 0009999 . . . = size 12{1,"2339999" "." "." "." =1,"233"+0,"0009999" "." "." "." ={}} {}
=1,233+9104+9105+9106+⋯=1,233+9104+9105+9106+⋯ size 12{ {}=1,"233"+ { {9} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {9} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {9} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis } {} = 1,233+9(1104+1105+1106+⋯)1,233+9(1104+1105+1106+⋯) size 12{1,"233"+9 \( { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis \) } {}.
Изразот во заградата е конвергентен геометри­ски ред чии што збир е
1104+1105+1106+⋯=a11−q=11041−110=19⋅1031104+1105+1106+⋯=a11−q=11041−110=19⋅103 size 12{ { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis = { {a rSub { size 8{1} } } over {1 - q} } = { { { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } } over {1 - { {1} over {"10"} } } } = { {1} over {9 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } } {},
па затоа
1, 233 + 9 ( 1 10 4 + 1 10 5 + 1 10 6 + . . . ) 1, 233 + 9 ( 1 10 4 + 1 10 5 + 1 10 6 + . . . ) size 12{1,"233"+9 \( { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + "." "." "." \) } {} = 1, 233 + 9 9 ⋅ 10 3 = = 1, 233 + 9 9 ⋅ 10 3 = size 12{ {}=1,"233"+ { {9} over {9 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } ={}} {}
= 1, 233 + 1 10 3 = 1, 233 + 0, 001 = 1, 234 = 1, 233 + 1 10 3 = 1, 233 + 0, 001 = 1, 234 size 12{ {}=1,"233"+ { {1} over {"10" rSup { size 8{3} } } } =1,"233"+0,"001"=1,"234"} {}
од каде следи дека 1,234=1,234000...=1,2339999...1,234=1,234000...=1,2339999... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." =1,"2339999" "." "." "." } {} .

Заклучок

За секој реален број постои бесконечна децимална дропка и на секоја бесконечна децимална дропка и одговара еден реален број. Рационалните броеви се изразуваат со периодични, а ирационалните со непериодични децимални дропки.

Пример 2.

За ирационалниот број 22 size 12{ sqrt {2} } {} важи
1,4 < 22 size 12{ sqrt {2} } {} <1,5
1,41 < 22 size 12{ sqrt {2} } {} <1,42
1,414 < 22 size 12{ sqrt {2} } {}< 1,415
1,4142 < 22 size 12{ sqrt {2} } {} < 1,4143
1,41421 < 22 size 12{ sqrt {2} } {} < 1,41422
…
и за него не постои конечен децимален запис. Децималното претставување на ирационален број се врши со земање на конечен број децимални цифри и отфралање на преостанатите бесконечно многу цифри, што претставува негова приближна вредност. Така приближно 22 size 12{ sqrt {2} } {} може да се запише како 2≈2≈ size 12{ sqrt {2} approx } {}1,41 со точност до втората или 2≈2≈ size 12{ sqrt {2} approx } {}1,41421 со точност до петата или со точност до триесетидеветтата децимална цифра
2≈2≈ size 12{ sqrt {2} approx } {}1,414213562373095048801688724209698078570.

Пример 3.

Дадени се неколку рационални броеви изразени преку бесконечни децимални дропки, но тие се секогаш периодични:
1 3 = 0, 333 . . . = 0, ( 3 ) 1 3 = 0, 333 . . . = 0, ( 3 ) size 12{ { {1} over {3} } =0,"333" "." "." "." =0, \( 3 \) } {}
57=0,714285714285714285...=0,(714285)57=0,714285714285714285...=0,(714285) size 12{ { {5} over {7} } =0,"714285"``"714285"``"714285" "." "." "." =0,` \( "714285" \) } {}.
Точно е и обратното, секоја периодична дропка дава рационален број.

Пример 4.

Да се претвори периодичниот децимален број во рационален број.
Поаѓајки од
3, 45 ( 125 ) = 3, 45125125125 . . . = 3, 45 ( 125 ) = 3, 45125125125 . . . = size 12{3,"45" \( "125" \) =3,"45125125125" "." "." "." ={}} {}
= 3 + 45 100 + 125 10 5 + 125 10 8 + 125 10 11 + ⋯ = = 3 + 45 100 + 125 10 5 + 125 10 8 + 125 10 11 + ⋯ = size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{8} } } } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{"11"} } } } + dotsaxis ={}} {}
= 3 + 45 100 + 125 ( 1 10 5 + 1 10 8 + 1 10 11 + ⋯ ) = = 3 + 45 100 + 125 ( 1 10 5 + 1 10 8 + 1 10 11 + ⋯ ) = size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } +"125" \( { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{8} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{"11"} } } } + dotsaxis \) ={}} {}
= 3 + 45 100 + 125 1 10 5 1 − 1 10 3 = 3 + 45 100 + 125 999 ⋅ 10 2 = = 3 + 45 100 + 125 1 10 5 1 − 1 10 3 = 3 + 45 100 + 125 999 ⋅ 10 2 = size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } +"125" { { { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } } over {1 - { {1} over {"10" rSup { size 8{3} } } } } } =3+ { {"45"} over {"100"} } + { {"125"} over {"999" cdot "10" rSup { size 8{2} } } } ={}} {}
= 344655+12599900=34478099900344655+12599900=34478099900 size 12{ { {"344655"+"125"} over {"99900"} } = { {"344780"} over {"99900"} } } {}
се добива дека 3,45(125)=344780999003,45(125)=34478099900 size 12{"3,45" \( "125" \) = { {"344780"} over {"99900"} } } {}.

Comments, questions, feedback, criticisms?

Send feedback