Бројот
1,234=1,234000...=1,2339999...1,234=1,234000...=1,2339999... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." =1,"2339999" "." "." "." } {}
Навистина, првото равенство
1,234=1,234000...1,234=1,234000... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." } {} е очигледно, додека второто равенство ќе се докаже. За таа цел, бројот
1,2339999...1,2339999... size 12{1,"2339999" "." "." "." } {} се запишува како
1,
2339999
.
.
.
=
1,
233
+
0,
0009999
.
.
.
=
1,
2339999
.
.
.
=
1,
233
+
0,
0009999
.
.
.
=
size 12{1,"2339999" "." "." "." =1,"233"+0,"0009999" "." "." "." ={}} {}
=1,233+9104+9105+9106+⋯=1,233+9104+9105+9106+⋯ size 12{ {}=1,"233"+ { {9} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {9} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {9} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis } {} =
1,233+9(1104+1105+1106+⋯)1,233+9(1104+1105+1106+⋯) size 12{1,"233"+9 \( { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis \) } {}.
Изразот во заградата е конвергентен геометриски ред чии што збир е
1104+1105+1106+⋯=a11−q=11041−110=19⋅1031104+1105+1106+⋯=a11−q=11041−110=19⋅103 size 12{ { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis = { {a rSub { size 8{1} } } over {1 - q} } = { { { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } } over {1 - { {1} over {"10"} } } } = { {1} over {9 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } } {},
па затоа
1,
233
+
9
(
1
10
4
+
1
10
5
+
1
10
6
+
.
.
.
)
1,
233
+
9
(
1
10
4
+
1
10
5
+
1
10
6
+
.
.
.
)
size 12{1,"233"+9 \( { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + "." "." "." \) } {}
=
1,
233
+
9
9
⋅
10
3
=
=
1,
233
+
9
9
⋅
10
3
=
size 12{ {}=1,"233"+ { {9} over {9 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } ={}} {}
=
1,
233
+
1
10
3
=
1,
233
+
0,
001
=
1,
234
=
1,
233
+
1
10
3
=
1,
233
+
0,
001
=
1,
234
size 12{ {}=1,"233"+ { {1} over {"10" rSup { size 8{3} } } } =1,"233"+0,"001"=1,"234"} {}
од каде следува дека
1,234=1,234000...=1,2339999...1,234=1,234000...=1,2339999... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." =1,"2339999" "." "." "." } {} .