Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Децимални дропки

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Децимални дропки

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Претворање на реален број во дропка и обратно.

ПРЕТСТАВУВАЊЕ НА РЕАЛНИТЕ БРОЕВИ СО ДЕЦИМАЛНИ ДРОПКИ

Нека е даден реален број x>0x>0 size 12{x>0} {} кој не е цел број. Ако x x size 12{x} {} може да се напише како конечна децимална дропка, односно

x = a 0 , a 1 a 2 . . . a n x = a 0 , a 1 a 2 . . . a n size 12{x=a rSub { size 8{0} } ,a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } } {}

тогаш

x=a0,a1a2...an=a0a1a2...an10n=pqx=a0,a1a2...an=a0a1a2...an10n=pq size 12{x=a rSub { size 8{0} } ,a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } = { {a rSub { size 8{0} } a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } } over {"10" rSup { size 8{n} } } } = { {p} over {q} } } {},

од каде следува дека секој реален број запишан со конечна децимална дропка е рационален број и обратно.

Сега нека претпоставиме дека x x size 12{x} {} не може да се напише во конечна децимална дропка. Тогаш согурно x x size 12{x} {} се наоѓа меѓу два последователни цели броја, односно постои цел број C C size 12{x} {} таков што

C < x < C + 1 . C < x < C + 1 . size 12{C<x<C+1 "." } {}

Нека интервалот меѓу C C size 12{x} {} и C C size 12{x} {} +1 се подели на десет дела со броевите c1,c2,c3,...,c9c1,c2,c3,...,c9 size 12{c rSub { size 8{1} } ,`c rSub { size 8{2} } ,`c rSub { size 8{3} } , "." "." "." ,c rSub { size 8{9} } } {}. Тогаш x x size 12{x} {} ќе се најде во еден од овие подинтервали и тоа се запишува со

C , c 1 < x < C , c 1 + 1 10 . C , c 1 < x < C , c 1 + 1 10 . size 12{C,c rSub { size 8{1} } <x<C,c rSub { size 8{1} } + { {1} over {"10"} } "." } {}

Со продолжување на постапката се добива

C,c1c2...cn<x<C,c1c2...cn+110C,c1c2...cn<x<C,c1c2...cn+110 size 12{C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } <x<C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } + { {1} over {"10"} } } {},

што претставува бесконечна децимална дропка која може да се сумира и таа сума ќе го претставува реалниот број x x size 12{x} {} . Ако бројот x x size 12{x} {} се поклопи со некој од краевите на претходниот интервал, тогаш ќе важи

C , c 1 c 2 . . . c n ≤ x ≤ C , c 1 c 2 . . . c n + 1 10 C , c 1 c 2 . . . c n ≤ x ≤ C , c 1 c 2 . . . c n + 1 10 size 12{C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } <= x <= C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } + { {1} over {"10"} } } {}

и левата и десната страна во последното неравенство ќе бидат еднакви и сите цифри кои следат ќе бидат секогаш нули или деветки кои периодично се повторуваат.

Пример 1.

Бројот 1,234=1,234000...=1,2339999...1,234=1,234000...=1,2339999... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." =1,"2339999" "." "." "." } {}

Навистина, првото равенство 1,234=1,234000...1,234=1,234000... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." } {} е очигледно, додека второто равенство ќе се докаже. За таа цел, бројот 1,2339999...1,2339999... size 12{1,"2339999" "." "." "." } {} се запишува како

1, 2339999 . . . = 1, 233 + 0, 0009999 . . . = 1, 2339999 . . . = 1, 233 + 0, 0009999 . . . = size 12{1,"2339999" "." "." "." =1,"233"+0,"0009999" "." "." "." ={}} {}

=1,233+9104+9105+9106+⋯=1,233+9104+9105+9106+⋯ size 12{ {}=1,"233"+ { {9} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {9} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {9} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis } {} = 1,233+9(1104+1105+1106+⋯)1,233+9(1104+1105+1106+⋯) size 12{1,"233"+9 \( { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis \) } {}.

Изразот во заградата е конвергентен геометри­ски ред чии што збир е

1104+1105+1106+⋯=a11−q=11041−110=19⋅1031104+1105+1106+⋯=a11−q=11041−110=19⋅103 size 12{ { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis = { {a rSub { size 8{1} } } over {1 - q} } = { { { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } } over {1 - { {1} over {"10"} } } } = { {1} over {9 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } } {},

па затоа

1, 233 + 9 ( 1 10 4 + 1 10 5 + 1 10 6 + . . . ) 1, 233 + 9 ( 1 10 4 + 1 10 5 + 1 10 6 + . . . ) size 12{1,"233"+9 \( { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + "." "." "." \) } {} = 1, 233 + 9 9 ⋅ 10 3 = = 1, 233 + 9 9 ⋅ 10 3 = size 12{ {}=1,"233"+ { {9} over {9 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } ={}} {}

= 1, 233 + 1 10 3 = 1, 233 + 0, 001 = 1, 234 = 1, 233 + 1 10 3 = 1, 233 + 0, 001 = 1, 234 size 12{ {}=1,"233"+ { {1} over {"10" rSup { size 8{3} } } } =1,"233"+0,"001"=1,"234"} {}

од каде следува дека 1,234=1,234000...=1,2339999...1,234=1,234000...=1,2339999... size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." =1,"2339999" "." "." "." } {} .

Заклучок

За секој реален број постои бесконечна децимална дропка и на секоја бесконечна децимална дропка и одговара еден реален број. Рационалните броеви се изразуваат со периодични, а ирационалните со непериодични децимални дропки.

Пример 2.

За ирационалниот број 22 size 12{ sqrt {2} } {} важи

1,4 < 22 size 12{ sqrt {2} } {} <1,5

1,41 < 22 size 12{ sqrt {2} } {} <1,42

1,414 < 22 size 12{ sqrt {2} } {}< 1,415

1,4142 < 22 size 12{ sqrt {2} } {} < 1,4143

1,41421 < 22 size 12{ sqrt {2} } {} < 1,41422

…

и за него не постои конечен децимален запис. Децималното претставување на ирационален број се врши со земање на конечен број децимални цифри и отфралање на преостанатите бесконечно многу цифри, што претставува негова приближна вредност. Така приближно 22 size 12{ sqrt {2} } {} може да се запише како 2≈2≈ size 12{ sqrt {2} approx } {}1,41 со точност до втората или 2≈2≈ size 12{ sqrt {2} approx } {}1,41421 со точност до петата или со точност до триесетидеветтата децимална цифра

2≈2≈ size 12{ sqrt {2} approx } {}1,414213562373095048801688724209698078570.

Пример 3.

Рационалните броеви кои се претставуваат преку бесконечни децимални дропки се секогаш периодични дропки. На пример:

1 3 = 0, 333 . . . = 0, ( 3 ) 1 3 = 0, 333 . . . = 0, ( 3 ) size 12{ { {1} over {3} } =0,"333" "." "." "." =0, \( 3 \) } {}

57=0,714285714285714285...=0,(714285)57=0,714285714285714285...=0,(714285) size 12{ { {5} over {7} } =0,"714285"``"714285"``"714285" "." "." "." =0,` \( "714285" \) } {}.

Точно е и обратното тврдење: секоја периодична дропка претставува рационален број.

Пример 4.

Да се претвори периодичниот децимален број во рационален број.

Поаѓајки од

3, 45 ( 125 ) = 3, 45125125125 . . . = 3, 45 ( 125 ) = 3, 45125125125 . . . = size 12{3,"45" \( "125" \) =3,"45125125125" "." "." "." ={}} {}

= 3 + 45 100 + 125 10 5 + 125 10 8 + 125 10 11 + ⋯ = = 3 + 45 100 + 125 10 5 + 125 10 8 + 125 10 11 + ⋯ = size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{8} } } } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{"11"} } } } + dotsaxis ={}} {}

= 3 + 45 100 + 125 ( 1 10 5 + 1 10 8 + 1 10 11 + ⋯ ) = = 3 + 45 100 + 125 ( 1 10 5 + 1 10 8 + 1 10 11 + ⋯ ) = size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } +"125" \( { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{8} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{"11"} } } } + dotsaxis \) ={}} {}

= 3 + 45 100 + 125 1 10 5 1 − 1 10 3 = 3 + 45 100 + 125 999 ⋅ 10 2 = = 3 + 45 100 + 125 1 10 5 1 − 1 10 3 = 3 + 45 100 + 125 999 ⋅ 10 2 = size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } +"125" { { { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } } over {1 - { {1} over {"10" rSup { size 8{3} } } } } } =3+ { {"45"} over {"100"} } + { {"125"} over {"999" cdot "10" rSup { size 8{2} } } } ={}} {}

= 344655+12599900=34478099900344655+12599900=34478099900 size 12{ { {"344655"+"125"} over {"99900"} } = { {"344780"} over {"99900"} } } {}

се добива дека 3,45(125)=344780999003,45(125)=34478099900 size 12{"3,45" \( "125" \) = { {"344780"} over {"99900"} } } {}.

Content actions

Download module as:

PDF | More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks