Дефиниција.

Апсолутна вредност или модул на бројот a∈Ra∈R size 12{a in R} {} се означу­ва со ∣a∣∣a∣ size 12{ \lline a \lline } {} и тоа е позитивниот број определен со изразот

∣ a ∣ = { a , a > 0 0, a = 0 − a , a < 0 . ∣ a ∣ = { a , a > 0 0, a = 0 − a , a < 0 . size 12{ \lline a \lline = left lbrace matrix { a,~a>0 {} ## 0,~a=0 {} ## - a,~a<0 "." } right none } {}

Пример.

∣ 25 ∣ = 25 ; ∣ 0 ∣ = 0 ; ∣ − 6 ∣ = − ( − 6 ) = 6 . ∣ 25 ∣ = 25 ; ∣ 0 ∣ = 0 ; ∣ − 6 ∣ = − ( − 6 ) = 6 . size 12{ \lline "25" \lline ="25";~ \lline 0 \lline =0;~ \lline - 6 \lline = - \( - 6 \) =6 "." } {}

За апсолутна вредност важат следните релации:

∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣ size 12{ \lline a cdot b \lline = \lline a \lline cdot \lline b \lline } {},

∣ a b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ , ( b ≠ 0 ) , ∣ a b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ , ( b ≠ 0 ) , size 12{ lline ` { {a} over {b} } ` rline = { { \lline a \lline } over { \lline b \lline } } ,~ \( b <> 0 \) ,} {}

∣ a + b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ . ∣ a + b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ . size 12{ \lline a+b \lline <= \lline a \lline + \lline b \lline "." } {}

Релацијата

∣ x ∣ ≤ a ∣ x ∣ ≤ a size 12{ \lline x \lline <= a} {}

означува дека

− a ≤ x ≤ a . − a ≤ x ≤ a . size 12{ - a <= x <= a "." } {}

Согласно на претходната релација, релацијата

∣ x − p ∣ ≤ a ∣ x − p ∣ ≤ a size 12{ \lline x - p \lline <= a} {}

ќе означува дека

− a ≤ x − p ≤ a , − a ≤ x − p ≤ a , size 12{ - a <= x - p <= a,} {}

односно

p − a ≤ x ≤ p + a . p − a ≤ x ≤ p + a . size 12{p - a <= x <= p+a "." } {}

Задача.

Да се најдат решенијата на неравенката ∣x3−1∣≥1−x.∣x3−1∣≥1−x. size 12{ \lline x rSup { size 8{3} } - 1 \lline >= 1 - x "." } {}

Решение.

Како

x3−1=(x−1)(x2+x+1)x3−1=(x−1)(x2+x+1) size 12{x rSup { size 8{3} } - 1= \( x - 1 \) \( x rSup { size 8{2} } +x+1 \) } {} и x2+x+1>0,∀x∈R,x2+x+1>0,∀x∈R, size 12{x rSup { size 8{2} } +x+1>0,`` forall x in R,} {}

∣ x 3 − 1 ∣ = ∣ x − 1 ∣ ( x 2 + x + 1 ) . ∣ x 3 − 1 ∣ = ∣ x − 1 ∣ ( x 2 + x + 1 ) . size 12{ \lline x rSup { size 8{3} } - 1 \lline = \lline x - 1 \lline \( x rSup { size 8{2} } +x+1 \) "." } {}

Од дефиницијата за апсолутна вредност следи дека

∣ x − 1 ∣ = { x − 1, x > 1 0, x = 1 − x + 1, x < 1 ∣ x − 1 ∣ = { x − 1, x > 1 0, x = 1 − x + 1, x < 1 size 12{ \lline x - 1 \lline = left lbrace matrix { x - 1,``x>1 {} ## 0,``x=1 {} ## - x+1,``x<1 } right none } {}

па затоа неравенката ќе се разгледува во интервалите I1=(−∞,1)I1=(−∞,1) size 12{I rSub { size 8{1} } = \( - infinity ,1 \) } {} и I2=[1,+∞)I2=[1,+∞) size 12{I rSub { size 8{2} } = \[ 1,+ infinity \) } {}.

Во овој интервал ∣x−1∣=−x+1=1−x>0∣x−1∣=−x+1=1−x>0 size 12{ \lline x - 1 \lline = - x+1=1 - x>0} {} и неравнката ќе го има обликот

( − x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ≥ 1 − x ( − x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ≥ 1 − x size 12{ \( - x+1 \) \( x rSup { size 8{2} } +x+1 \) >= 1 - x} {}

и по кратење со 1−x≠01−x≠0 size 12{1 - x <> 0} {} се добива неравенството

x2−x≥0x2−x≥0 size 12{x rSup { size 8{2} } - x >= 0} {} кое е точно за x∈{(−∞,−1]∪[0,+∞)}∩I1=(−∞,−1]∪[0,1).x∈{(−∞,−1]∪[0,+∞)}∩I1=(−∞,−1]∪[0,1). size 12{x in lbrace \( - infinity , - 1 \] union \[ 0,+ infinity \) rbrace intersection I rSub { size 8{1} } = \( - infinity , - 1 \] union \[ 0,1 \) "." } {}

Во овој интервал ∣x−1∣=x−1∣x−1∣=x−1 size 12{ \lline x - 1 \lline =x - 1} {} и неравнката ќе го има обликот

( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ≥ 1 − x ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ≥ 1 − x size 12{ \( x - 1 \) \( x rSup { size 8{2} } +x+1 \) >= 1 - x} {}

и по аналогна постапка како во првиот интервал се добива неравенството

x 2 + x + 2 ≥ 0 x 2 + x + 2 ≥ 0 size 12{x rSup { size 8{2} } +x+2 >= 0} {}

кое е секогаш точно, па затоа решението во овој интервал ќе биде целиот интервал, односно x∈[1,+∞).x∈[1,+∞). size 12{x in \[ 1,+ infinity \) "." } {}

Следи дека решението на задачата ќе биде унија од решенијата, односно

x ∈ ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 0,1 ) ∪ [ 1, + ∞ ) = ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 0, + ∞ ) . x ∈ ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 0,1 ) ∪ [ 1, + ∞ ) = ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 0, + ∞ ) . size 12{x in \( - infinity , - 1 \] union \[ 0,1 \) union \[ 1,+ infinity \) = \( - infinity , - 1 \] union \[ 0,+ infinity \) "." } {}