Често пати во реалноста се среќаваме со величини кои се зависни една од друга. На пример, при движење, изминатиот пат зависи од времето, плоштината на кругот зависи од неговиот радиус и сл.
Нека X и Y се непразни подмножества од множеството на реалните броеви. Ако по некое правило, на секој елемент од множеството X му се придружува единствен елемент од множеството Y, тогаш велиме дека е зададена реална функција од X во Y.
Фукнциите се означуваат со малите букви од латиницата: f, g…
Множеството
Df⊆XDf⊆X size 12{D rSub { size 8{f} } subseteq X} {} за кое
f(x)∈Rf(x)∈R size 12{f \( x \) in R} {} се нарекува дефинициона област или домен на функцијата
f.f. size 12{f "." } {} Множеството
f(X)=f(x)∣x∈X⊆Yf(X)=f(x)∣x∈X⊆Y size 12{f \( X \) = left lbrace f \( x \) ` \lline `x in X right rbrace subseteq Y} {} се вика множество вредности (кодомен) на функцијата
ff size 12{f} {}.
Ако
ff size 12{f} {} е функција од X во Y и
x∈Xx∈X size 12{x in X} {}, бројот
y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} се вика слика на елементот x, а x независно променлива или аргумент.
Множеството подредени двојки
Gf=(x,y)∣y=f(x),x∈XGf=(x,y)∣y=f(x),x∈X size 12{G rSub { size 8{f} } = left lbrace \( x,`y \) ` \lline `y=f \( x \) ,`x in X right rbrace } {}се вика график на функцијата
f:X→Y.f:X→Y. size 12{f:X rightarrow Y "." } {}
Графикот на функција од една променлива е подмножество од рамнината составено од точките
(x,f(x))(x,f(x)) size 12{ \( x,`f \( x \) \) } {} во однос на фиксен координатен систем
xOy.xOy. size 12{ ital "xOy" "." } {}
Две функции
ff size 12{f} {} и
gg size 12{g} {} се еднакви ако се еднакви нивните графици како множества, т.е.
Gf=GgGf=Gg size 12{G rSub { size 8{f} } =G rSub { size 8{g} } } {} и тогаш пишуваме
f=g.f=g. size 12{f=g "." } {}
Нека
X=(−1,1)X=(−1,1) size 12{X= \( - 1,`1 \) } {}. Функциите
f(x)=11−xf(x)=11−x size 12{f \( x \) = { {1} over {1 - x} } } {} и
g(x)=1+x+x2+⋯g(x)=1+x+x2+⋯ size 12{g \( x \) =1+x+x rSup { size 8{2} } + dotsaxis } {} се еднакви на X.
Функциите
f(x)=xf(x)=x size 12{f \( x \) =x} {} и
g(x)=x2xg(x)=x2x size 12{g \( x \) = { {x rSup { size 8{2} } } over {x} } } {} не се еднакви бидејќи имаат различни дефинициони области.
За функцијата велиме дека е зададена аналитички ако е зададена со формула
y=f(x).y=f(x). size 12{y=f \( x \) "." } {}
Ако
F:X×X→RF:X×X→R size 12{F:X times X rightarrow R} {} и
F(x,f(x))=0,F(x,f(x))=0, size 12{F \( x,`f \( x \) \) =0,} {} тогаш велиме дека функцијата
f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} е зададена имплицитно.
Ако
ϕ:T→Rϕ:T→R size 12{ϕ:T rightarrow R} {} и
ψ:T→Rψ:T→R size 12{ψ:T rightarrow R} {},
T⊂RT⊂R size 12{T subset R} {} се две функции и
x=ϕ(t),y=ψ(t),t∈T,x=ϕ(t),y=ψ(t),t∈T, size 12{x=ϕ \( t \) ,`y=ψ \( t \) ,`t in T,} {} тогаш за функцијата
ff size 12{f} {} велиме дека е зададена во параметарски облик. Променливата
tt size 12{t} {} се вика параметар на функцијата.
На пример, функцијата
y=xy=x size 12{y= sqrt {x} } {} е зададена експлицитно,
ysinx+2y−13=0ysinx+2y−13=0 size 12{y"sin"x+2 left (y - 1 right ) rSup { size 8{3} } =0} {} е имплицитно зададена функција, а
y=cost,x=sint,t∈0,2πy=cost,x=sint,t∈0,2π size 12{y="cos"t,~x="sin"t,~t in left [0,`2π right ]} {} е параметарски зададена функција.
Функцијата
f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} е парна, ако за секој
x∈X,f(−x)=f(x)x∈X,f(−x)=f(x) size 12{x in X,`f \( - x \) =f \( x \) } {}, а е непарна ако
f(−x)=−f(x).f(−x)=−f(x). size 12{f \( - x \) = - f \( x \) "." } {}
Графикот на парната функција е симетричен во однос на y-оската, а графикот на непарната функција е централно симетричен.
Функциите
f(x)=x2f(x)=x2 size 12{f \( x \) =x rSup { size 8{2} } } {} и
f(x)=∣x∣={x,x≥0−x,x<0f(x)=∣x∣={x,x≥0−x,x<0 size 12{f \( x \) = lline x rline = left lbrace matrix {
x, {} # x >= 0 {} ##
- x, {} # x<0{}
} right none } {} се парни, а функциите
f(x)=x3f(x)=x3 size 12{f \( x \) =x rSup { size 8{3} } } {} и
f(x)=sinxf(x)=sinx size 12{f \( x \) ="sin"x} {} се непарни функции.
|
| Слика 1. Графици на парни функции |
|
| Слика 2. Графици на непарни функции |
Производ од две парни, односно непарни функции е парна функција. Производ од парна и непарна функција е непарна функција.
Функцијата
f:R→Rf:R→R size 12{f:R rightarrow R} {} е периодична ако постои позитивен реален број
TT size 12{T} {} така што за секој
x∈Rx∈R size 12{x in R} {} важи
f(x+T)=f(x).f(x+T)=f(x). size 12{f \( x+T \) =f \( x \) "." } {}
Најмалиот позитивен број
T0T0 size 12{T rSub { size 8{0} } } {} за кој важи горното равенството се вика период на функцијата.
Функцијата
y=sin2xy=sin2x size 12{y="sin"2x} {} е периодична.
Навистина,
f
(
x
+
T
)
−
f
(
x
)
=
sin
(
2x
+
T
)
−
sin
2x
=
2
sin
2x
+
2T
−
2x
2
cos
2x
+
2T
+
2x
2
=
=
2
sin
T
cos
(
2x
+
T
)
=
0,
f
(
x
+
T
)
−
f
(
x
)
=
sin
(
2x
+
T
)
−
sin
2x
=
2
sin
2x
+
2T
−
2x
2
cos
2x
+
2T
+
2x
2
=
=
2
sin
T
cos
(
2x
+
T
)
=
0,
alignl { stack {
size 12{f \( x+T \) - f \( x \) ="sin" \( 2x+T \) - "sin"2x=2"sin" { {2x+2T - 2x} over {2} } "cos" { {2x+2T+2x} over {2} } ={}} {} #
size 12{~~~~~~`=2"sin"T"cos" \( 2x+T \) =0,} {}
} } {}
од каде што следува дека
sinT=0.sinT=0. size 12{"sin"T=0 "." } {} Решението на оваа равенка е
T=kπ,k∈ZT=kπ,k∈Z size 12{T=kπ,`k in Z} {}. Најмалиот позитивен број кој е решение на равенката е
T0=πT0=π size 12{T rSub { size 8{0} } =π} {} и тоа е периодот на функцијата.
|
| Слика 3. График на периодична функција |
Функцијата
ff size 12{f} {} е ограничена ако е ограничено множеството
f(X)f(X) size 12{f \( X \) } {}, т.е. ако постојат реални броеви m и M така што за секој
x∈Xx∈X size 12{x in X} {} важи
m≤f(x)≤M.m≤f(x)≤M. size 12{m <= f \( x \) <= M "." } {}
Графикот на ограничената функција лежи меѓу правите
y=my=m size 12{y=m} {} и
y=My=M size 12{y=M} {}, при што
∀x∈X∀x∈X size 12{ forall x in X} {}важи
m≤f(x)≤M.m≤f(x)≤M. size 12{m <= f \( x \) <= M "." } {}
Нека
ff size 12{f} {} е дадена функција со дефинициона област
DfDf size 12{D rSub { size 8{f} } } {} и
(x,f(x))(x,f(x)) size 12{ \( x,`f \( x \) \) } {} е точка од нејзиниот график. Формираме ново множество составено од точките
(f(x),x),x∈Df.(f(x),x),x∈Df. size 12{ \( f \( x \) ,`x \) ,~x in D rSub { size 8{f} } "." } {} Се поставува прашањето дали ова множество може да биде график на некоја функција
g.g. size 12{g "." } {} Се покажува дека тоа е можно само ако од различноста на елементите
x1,x2∈Dfx1,x2∈Df size 12{x rSub { size 8{1} } ,``x rSub { size 8{2} } in D rSub { size 8{f} } } {} следува
f(x1)≠f(x2).f(x1)≠f(x2). size 12{f \( x rSub { size 8{1} } \) <> f \( x rSub { size 8{2} } \) "." } {} Тогаш велиме дека функцијата
ff size 12{f} {} има инверзна функција , т.е.
g(f(x))=xg(f(x))=x size 12{g \( f \( x \) \) =x} {} и ја означуваме со
f−1.f−1. size 12{f rSup { size 8{ - 1} } "." } {}
Графикот на инверзната функција е симетричен со графикот на функцијата во однос на симетралата на првиот и третиот квадрант.
Инверзна на функцијата
f(x)=x3f(x)=x3 size 12{f \( x \) =x rSup { size 8{3} } } {} (претставена на графикот со сина боја) е функцијата
f−1(x)=x3f−1(x)=x3 size 12{f rSup { size 8{ - 1} } \( x \) = nroot { size 8{3} } {x} } {} (претставена на графикот со сина боја). Симетралата на првиот и третиот квадрант е претставена со зелена боја.
|
|
Слика
4.
|
Функцијата
f(x)=3x+2f(x)=3x+2 size 12{f \( x \) =3x+2} {} (претставена на графикот со црвена боја) има инверзна. Навистина, од
f(x1)=f(x2)f(x1)=f(x2) size 12{f \( x rSub { size 8{1} } \) =f \( x rSub { size 8{2} } \) } {} следува
3x1+2=3x2+23x1+2=3x2+2 size 12{3x rSub { size 8{1} } +2=3x rSub { size 8{2} } +2} {}, односно
x1=x2x1=x2 size 12{x rSub { size 8{1} } =x rSub { size 8{2} } } {}. Инверзната функција (претставена на графикот со сина боја) ја добиваме решавајќи ја равенката
y=3x+2y=3x+2 size 12{y=3x+2} {} по x и таа е
f−1(x)=x−23.f−1(x)=x−23. size 12{f rSup { size 8{ - 1} } \( x \) = { {x - 2} over {3} } "." } {}
|
|
Слика
5.
|
