Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Реална функција од една реална променлива

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Реална функција од една реална променлива

Module by: Sonja Gegovska-Zajkova. E-mail the author

Summary: Се дефинира поимот за реална функција од една реална променлива, начините на задавање функции и некои нивни особини.

Реална функција од една реална променлива

Често пати во реалноста се среќаваме со величини кои се зависни една од друга. На пример, при движење, изминатиот пат зависи од времето, плоштината на кругот зависи од неговиот радиус и сл.

Дефиниција.

Нека X и Y се непразни подмножества од множеството на реалните броеви. Ако по некое правило, на секој елемент од множеството X му се придружува единствен елемент од множеството Y, тогаш велиме дека е зададена реална функција од X во Y.

Фукнциите се означуваат со малите букви од латиницата: f, g…

Множеството Df⊆XDf⊆X size 12{D rSub { size 8{f} } subseteq X} {} за кое f(x)∈Rf(x)∈R size 12{f \( x \) in R} {} се нарекува дефинициона област или домен на функцијата f.f. size 12{f "." } {} Множеството f(X)=f(x)∣x∈X⊆Yf(X)=f(x)∣x∈X⊆Y size 12{f \( X \) = left lbrace f \( x \) ` \lline `x in X right rbrace subseteq Y} {} се вика множество вредности (кодомен) на функцијата ff size 12{f} {}.

Ако ff size 12{f} {} е функција од X во Y и x∈Xx∈X size 12{x in X} {}, бројот y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} се вика слика на елементот x, а x независно променлива или аргумент.

Множеството подредени двојки Gf=(x,y)∣y=f(x),x∈XGf=(x,y)∣y=f(x),x∈X size 12{G rSub { size 8{f} } = left lbrace \( x,`y \) ` \lline `y=f \( x \) ,`x in X right rbrace } {}се вика график на функцијата f:X→Y.f:X→Y. size 12{f:X rightarrow Y "." } {}

Графикот на функција од една променлива е подмножество од рамнината составено од точките (x,f(x))(x,f(x)) size 12{ \( x,`f \( x \) \) } {} во однос на фиксен координатен систем xOy.xOy. size 12{ ital "xOy" "." } {}

Две функции ff size 12{f} {} и gg size 12{g} {} се еднакви ако се еднакви нивните графици како множества, т.е. Gf=GgGf=Gg size 12{G rSub { size 8{f} } =G rSub { size 8{g} } } {} и тогаш пишуваме f=g.f=g. size 12{f=g "." } {}

Пример.

Нека X=(−1,1)X=(−1,1) size 12{X= \( - 1,`1 \) } {}. Функциите f(x)=11−xf(x)=11−x size 12{f \( x \) = { {1} over {1 - x} } } {} и g(x)=1+x+x2+⋯g(x)=1+x+x2+⋯ size 12{g \( x \) =1+x+x rSup { size 8{2} } + dotsaxis } {} се еднакви на X.

Функциите f(x)=xf(x)=x size 12{f \( x \) =x} {} и g(x)=x2xg(x)=x2x size 12{g \( x \) = { {x rSup { size 8{2} } } over {x} } } {} не се еднакви бидејќи имаат различни дефинициони области.

Начини на задавање на функциите

За функцијата велиме дека е зададена аналитички ако е зададена со формула y=f(x).y=f(x). size 12{y=f \( x \) "." } {}

Ако F:X×X→RF:X×X→R size 12{F:X times X rightarrow R} {} и F(x,f(x))=0,F(x,f(x))=0, size 12{F \( x,`f \( x \) \) =0,} {} тогаш велиме дека функцијата f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} е зададена имплицитно.

Ако ϕ:T→Rϕ:T→R size 12{ϕ:T rightarrow R} {} и ψ:T→Rψ:T→R size 12{ψ:T rightarrow R} {}, T⊂RT⊂R size 12{T subset R} {} се две функции и x=ϕ(t),y=ψ(t),t∈T,x=ϕ(t),y=ψ(t),t∈T, size 12{x=ϕ \( t \) ,`y=ψ \( t \) ,`t in T,} {} тогаш за функцијата ff size 12{f} {} велиме дека е зададена во параметарски облик. Променливата tt size 12{t} {} се вика параметар на функцијата.

На пример, функцијата y=xy=x size 12{y= sqrt {x} } {} е зададена експлицитно, ysinx+2y−13=0ysinx+2y−13=0 size 12{y"sin"x+2 left (y - 1 right ) rSup { size 8{3} } =0} {} е имплицитно зададена функција, а y=cost,x=sint,t∈0,2πy=cost,x=sint,t∈0,2π size 12{y="cos"t,~x="sin"t,~t in left [0,`2π right ]} {} е параметарски зададена функција.

Особини на реалните функции

Дефиниција.

Функцијата f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} е парна, ако за секој x∈X,f(−x)=f(x)x∈X,f(−x)=f(x) size 12{x in X,`f \( - x \) =f \( x \) } {}, а е непарна ако f(−x)=−f(x).f(−x)=−f(x). size 12{f \( - x \) = - f \( x \) "." } {}

Графикот на парната функција е симетричен во однос на y-оската, а графикот на непарната функција е централно симетричен.

Пример.

Функциите f(x)=x2f(x)=x2 size 12{f \( x \) =x rSup { size 8{2} } } {} и f(x)=∣x∣={x,x≥0−x,x<0f(x)=∣x∣={x,x≥0−x,x<0 size 12{f \( x \) = lline x rline = left lbrace matrix { x, {} # x >= 0 {} ## - x, {} # x<0{} } right none } {} се парни, а функциите

f(x)=x3f(x)=x3 size 12{f \( x \) =x rSup { size 8{3} } } {} и f(x)=sinxf(x)=sinx size 12{f \( x \) ="sin"x} {} се непарни функции.

Table 1
graphics1.png
Слика 1. Графици на парни функции
Table 2
graphics2.png
Слика 2. Графици на непарни функции

Производ од две парни, односно непарни функции е парна функција. Производ од парна и непарна функција е непарна функција.

Дефиниција.

Функцијата f:R→Rf:R→R size 12{f:R rightarrow R} {} е периодична ако постои позитивен реален број TT size 12{T} {} така што за секој x∈Rx∈R size 12{x in R} {} важи f(x+T)=f(x).f(x+T)=f(x). size 12{f \( x+T \) =f \( x \) "." } {}

Најмалиот позитивен број T0T0 size 12{T rSub { size 8{0} } } {} за кој важи горното равенството се вика период на функцијата.

Пример.

Функцијата y=sin2xy=sin2x size 12{y="sin"2x} {} е периодична.

Навистина,

f ( x + T ) − f ( x ) = sin ( 2x + T ) − sin 2x = 2 sin 2x + 2T − 2x 2 cos 2x + 2T + 2x 2 = = 2 sin T cos ( 2x + T ) = 0, f ( x + T ) − f ( x ) = sin ( 2x + T ) − sin 2x = 2 sin 2x + 2T − 2x 2 cos 2x + 2T + 2x 2 = = 2 sin T cos ( 2x + T ) = 0, alignl { stack { size 12{f \( x+T \) - f \( x \) ="sin" \( 2x+T \) - "sin"2x=2"sin" { {2x+2T - 2x} over {2} } "cos" { {2x+2T+2x} over {2} } ={}} {} # size 12{~~~~~~`=2"sin"T"cos" \( 2x+T \) =0,} {} } } {}

од каде што следува дека sinT=0.sinT=0. size 12{"sin"T=0 "." } {} Решението на оваа равенка е T=kπ,k∈ZT=kπ,k∈Z size 12{T=kπ,`k in Z} {}. Најмалиот позитивен број кој е решение на равенката е T0=πT0=π size 12{T rSub { size 8{0} } =π} {} и тоа е периодот на функцијата.

Table 3
graphics3.png
Слика 3. График на периодична функција

Дефиниција.

Функцијата ff size 12{f} {} е ограничена ако е ограничено множеството f(X)f(X) size 12{f \( X \) } {}, т.е. ако постојат реални броеви m и M така што за секој x∈Xx∈X size 12{x in X} {} важи m≤f(x)≤M.m≤f(x)≤M. size 12{m <= f \( x \) <= M "." } {}

Графикот на ограничената функција лежи меѓу правите y=my=m size 12{y=m} {} и y=My=M size 12{y=M} {}, при што ∀x∈X∀x∈X size 12{ forall x in X} {}важи m≤f(x)≤M.m≤f(x)≤M. size 12{m <= f \( x \) <= M "." } {}

Нека ff size 12{f} {} е дадена функција со дефинициона област DfDf size 12{D rSub { size 8{f} } } {} и (x,f(x))(x,f(x)) size 12{ \( x,`f \( x \) \) } {} е точка од нејзиниот график. Формираме ново множество составено од точките (f(x),x),x∈Df.(f(x),x),x∈Df. size 12{ \( f \( x \) ,`x \) ,~x in D rSub { size 8{f} } "." } {} Се поставува прашањето дали ова множество може да биде график на некоја функција g.g. size 12{g "." } {} Се покажува дека тоа е можно само ако од различноста на елементите x1,x2∈Dfx1,x2∈Df size 12{x rSub { size 8{1} } ,``x rSub { size 8{2} } in D rSub { size 8{f} } } {} следува f(x1)≠f(x2).f(x1)≠f(x2). size 12{f \( x rSub { size 8{1} } \) <> f \( x rSub { size 8{2} } \) "." } {} Тогаш велиме дека функцијата ff size 12{f} {} има инверзна функција , т.е. g(f(x))=xg(f(x))=x size 12{g \( f \( x \) \) =x} {} и ја означуваме со f−1.f−1. size 12{f rSup { size 8{ - 1} } "." } {}

Графикот на инверзната функција е симетричен со графикот на функцијата во однос на симетралата на првиот и третиот квадрант.

Пример.

Инверзна на функцијата f(x)=x3f(x)=x3 size 12{f \( x \) =x rSup { size 8{3} } } {} (претставена на графикот со сина боја) е функцијата f−1(x)=x3f−1(x)=x3 size 12{f rSup { size 8{ - 1} } \( x \) = nroot { size 8{3} } {x} } {} (претставена на графикот со сина боја). Симетралата на првиот и третиот квадрант е претставена со зелена боја.

Table 4
graphics4.png
Слика 4.

Пример.

Функцијата f(x)=3x+2f(x)=3x+2 size 12{f \( x \) =3x+2} {} (претставена на графикот со црвена боја) има инверзна. Навистина, од f(x1)=f(x2)f(x1)=f(x2) size 12{f \( x rSub { size 8{1} } \) =f \( x rSub { size 8{2} } \) } {} следува 3x1+2=3x2+23x1+2=3x2+2 size 12{3x rSub { size 8{1} } +2=3x rSub { size 8{2} } +2} {}, односно x1=x2x1=x2 size 12{x rSub { size 8{1} } =x rSub { size 8{2} } } {}. Инверзната функција (претставена на графикот со сина боја) ја добиваме решавајќи ја равенката y=3x+2y=3x+2 size 12{y=3x+2} {} по x и таа е f−1(x)=x−23.f−1(x)=x−23. size 12{f rSup { size 8{ - 1} } \( x \) = { {x - 2} over {3} } "." } {}

Table 5
graphics5.png
Слика 5.

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks