Гранична вредност на функција Граничните процеси се она што ја разликува анализата од алгебрата и геометријата. Иако добар дела од анализата бил познат во XVII и XVIII век, клучниот момент во нејзиниот развој е воведувањето прецизна дефиниција за гранична вредност.

Дефиниција. Нека функцијата f size 12{f} {} е дефинирана на отворен интервал кој ја содржи точката a size 12{a} {} освен можеби во самата точка a size 12{a} {}. Бројот A е гранична вредност на функцијатаf size 12{f} {} кога x тежи кон a size 12{a} {} ако (∀ε>0)(∃δ>0) size 12{ \( forall ε>0 \) ` \( exists δ>0 \) } {} така што ∣f(x)−A∣<ε size 12{ lline f \( x \) - A rline <ε} {} кога ∣x−a∣<δ size 12{ lline x - a rline <δ} {}. Во тој случај пишуваме limx→af(x)=A. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =A "." } {}

Геометриски тоа значи дека за секоја ε size 12{ε} {}-околина на точката A постои δ size 12{δ} {}-околина на точката a size 12{a} {} која целосно, освен можеби во a size 12{a} {}, се пресликува со f size 12{f} {} во ε size 12{ε} {}-околината на точката A. Во точката a size 12{a} {} функцијата не мора да биде дефинирана, а ако е дефинирана, тогаш f(a) size 12{f \( a \) } {} не мора да биде еднаква на A.

Пример. Да се покаже дека limx→1(3x+2)=5. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1} } \( 3x+2 \) =5 "." } {} Нека ε>0 size 12{ε>0} {} е произволно. Од ∣f(x)−A∣=∣3x+2−5∣=∣3x−3∣=3∣x−1∣<ε size 12{ lline f \( x \) - A rline = lline 3x+2 - 5 rline = lline 3x - 3 rline =3 lline x - 1 rline <ε} {} следува ∣x−1∣<ε3=δ(ε). size 12{ lline x - 1 rline < { {ε} over {3} } =δ \( ε \) "." } {}

Дефиниција. Нека a size 12{a} {} е точка на натрупување за множеството Df⊂X size 12{D rSub { size 8{f} } subset X} {} на функцијата f:Df→Y,X,Y⊂R size 12{f:D rSub { size 8{f} } rightarrow Y,~X,`Y subset R} {}. Велиме дека A е гранична вредност на функцијата f size 12{f} {} во точката a ако limn→∞f(an)=A size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } f \( a rSub { size 8{n} } \) =A} {} за која било низа an size 12{ left lbrace a rSub { size 8{n} } right rbrace } {} така што limn→∞an=a size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } =a} {} и an≠a size 12{a rSub { size 8{n} } <> a} {}.

Двете дефиниции се еквивалентни.

Дефиниција. Ако f:Df→R size 12{f:D rSub { size 8{f} } rightarrow R} {} има гранична вредност A во точката a size 12{a} {} кога x∈E,E=(−∞,a] size 12{x in E,``E= \( - infinity ,`a\]} {} или E=[a,∞) size 12{E= \[a,` infinity \)} {}, тогаш велиме дека функцијата има лева (десна) граница во точката a size 12{a} {} и пишуваме limx→a−f(x)=A,limx→a+f(x)=A size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) =A,~ {"lim"} cSub {x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) =A}} {}.

Левата и десната граница се викаат еднострани гранични вредности.

Пример. Дали постои limx→af(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } {} ако f(x)={2x+1,x≤1−2x+3,x>1? size 12{f \( x \) = left lbrace matrix { 2x+1, {} # x <= 1 {} ## - 2x+3, {} # x>1{} } right none ``?} {} lim x → 1 − f ( x ) = lim x → 1 − ( 2x + 1 ) = lim ε → 0 ( 2 ( 1 − ε ) + 1 ) = 3 lim x → 1 + − f ( x ) = lim x → 1 − + ( − 2x + 3 ) = lim ε → 0 ( − 2 ( 1 + ε ) + 3 ) = 1 . alignl { stack { size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } size 12{ \( 2x+1 \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} } size 12{ \( 2 \( 1 - ε \) +1 \) =3}} {} # size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{+ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{ - +{}} } } size 12{ \( - 2x+3 \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} } size 12{ \( - 2 \( 1+ε \) +3 \) =1 "." }} {} } } {}

Левата и десната граница на функцијата се различни, па заклучуваме дека границата на функцијата во точката x=1 size 12{x=1} {} не постои.

Теорема. Функцијата f size 12{f} {} има гранична вредност A кога x→a size 12{x rightarrow a} {} ако и само ако има лева и десна граница во точката a size 12{a} {} и тие се еднакви на A: lim x → a f ( x ) = lim x → a − f ( x ) = lim x → a + f ( x ) . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) "." }} {}

Пример. Дали постои гранична вредност на функцијата f(x)=e1x size 12{f \( x \) =e rSup { size 8{ { {1} over {x} } } } } {} во точката x=0? size 12{x=0?} {} lim x → 0 − f ( x ) = lim ε → 0 e 1 0 − ε = 0 lim x → 0 + f ( x ) = lim ε → 0 e 1 0 + ε = ∞ . alignl { stack { size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} size 12{e rSup { { {1} over {0 - ε} } } } size 12{ {}=0}} {} # size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} size 12{e rSup { { {1} over {0+ε} } } } size 12{ {}= infinity "." }} {} } } {}

Значи, граничната вредност не постои.

Операции со гранични вредности на функции Нека a size 12{a} {} е точка на натрупување за множеството X⊂R size 12{X subset R} {} на функциите f:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} и g:X→R size 12{g:X rightarrow R} {}. Тогаш а) ако limx→af(x)=A,limx→ag(x)=B,A,B∈R, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =A,`` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =B,~A,`B in R,} {} тогаш limx→af(x)±g(x)=limx→af(x)±limx→ag(x)=A±B; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } left [f \( x \) +- g \( x \) right ]= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) +- {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =A +- B;} {} limx→af(x)⋅g(x)=limx→af(x)⋅limx→ag(x)=A⋅B; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } left [f \( x \) cdot g \( x \) right ]= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) cdot {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =A cdot B;} {} limx→acf(x)=c±limx→ag(x)=cA,c=const,c∈R; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } ital "cf" \( x \) =c +- {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) = ital "cA",~c="const",`c in R;} {} за g(x)≠0 size 12{g \( x \) <> 0} {} и B≠0,limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=AB. size 12{B <> 0,~ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = { { {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } over { {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) } } = { {A} over {B} } "." } {} б) ако limx→af(x)=∞,limx→ag(x)=B,B∈R, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = infinity ,`` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =B,`B in R,} {} тогаш limx→af(x)±g(x)=∞; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } left [f \( x \) +- g \( x \) right ]= infinity ;} {} limx→af(x)⋅g(x)=∞. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } left [f \( x \) cdot g \( x \) right ]= infinity "." } {} Функцијата f:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} е бесконечно мала кога x→a size 12{x rightarrow a} {} ако limx→af(x)=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =0} {}, а е бесконечно голема ако limx→af(x)=∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = infinity } {}.