Граничните процеси се она што ја разликува анализата од алгебрата и геометријата. Иако добар дела од анализата бил познат во XVII и XVIII век, клучниот момент во нејзиниот развој е воведувањето прецизна дефиниција за гранична вредност.
Нека функцијата
ff size 12{f} {} е дефинирана на отворен интервал кој ја содржи точката
aa size 12{a} {} освен можеби во самата точка
aa size 12{a} {}. Бројот A е гранична вредност на функцијатаff size 12{f} {} кога x тежи кон
aa size 12{a} {} ако
(∀ε>0)(∃δ>0)(∀ε>0)(∃δ>0) size 12{ \( forall ε>0 \) ` \( exists δ>0 \) } {} така што
∣f(x)−A∣<ε∣f(x)−A∣<ε size 12{ lline f \( x \) - A rline <ε} {} кога
∣x−a∣<δ∣x−a∣<δ size 12{ lline x - a rline <δ} {}.
Во тој случај пишуваме
limx→af(x)=A.limx→af(x)=A. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =A "." } {}
Геометриски тоа значи дека за секоја
εε size 12{ε} {}-околина на точката A постои
δδ size 12{δ} {}-околина на точката
aa size 12{a} {} која целосно, освен можеби во
aa size 12{a} {}, се пресликува со
ff size 12{f} {} во
εε size 12{ε} {}-околината на точката A.
Во точката
aa size 12{a} {} функцијата не мора да биде дефинирана, а ако е дефинирана, тогаш
f(a)f(a) size 12{f \( a \) } {} не мора да биде еднаква на A.
Да се покаже дека
limx→1(3x+2)=5.limx→1(3x+2)=5. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1} } \( 3x+2 \) =5 "." } {}
Нека
ε>0ε>0 size 12{ε>0} {} е произволно. Од
∣f(x)−A∣=∣3x+2−5∣=∣3x−3∣=3∣x−1∣<ε∣f(x)−A∣=∣3x+2−5∣=∣3x−3∣=3∣x−1∣<ε size 12{ lline f \( x \) - A rline = lline 3x+2 - 5 rline = lline 3x - 3 rline =3 lline x - 1 rline <ε} {} следува
∣x−1∣<ε3=δ(ε).∣x−1∣<ε3=δ(ε). size 12{ lline x - 1 rline < { {ε} over {3} } =δ \( ε \) "." } {}
Нека
aa size 12{a} {} е точка на натрупување за множеството
Df⊂XDf⊂X size 12{D rSub { size 8{f} } subset X} {} на функцијата
f:Df→Y,X,Y⊂Rf:Df→Y,X,Y⊂R size 12{f:D rSub { size 8{f} } rightarrow Y,~X,`Y subset R} {}. Велиме дека A е гранична вредност на функцијата ff size 12{f} {} во точката a ако
limn→∞f(an)=Alimn→∞f(an)=A size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } f \( a rSub { size 8{n} } \) =A} {} за која било низа
anan size 12{ left lbrace a rSub { size 8{n} } right rbrace } {} така што
limn→∞an=alimn→∞an=a size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } =a} {} и
an≠aan≠a size 12{a rSub { size 8{n} } <> a} {}.
Двете дефиниции се еквивалентни.
Ако
f:Df→Rf:Df→R size 12{f:D rSub { size 8{f} } rightarrow R} {} има гранична вредност A во точката
aa size 12{a} {} кога
x∈E,E=(−∞,a]x∈E,E=(−∞,a] size 12{x in E,``E= \( - infinity ,`a\]} {} или
E=[a,∞)E=[a,∞) size 12{E= \[a,` infinity \)} {}, тогаш велиме дека функцијата има лева (десна) граница во точката
aa size 12{a} {} и пишуваме
limx→a−f(x)=A,limx→a+f(x)=Alimx→a−f(x)=A,limx→a+f(x)=A size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) =A,~ {"lim"} cSub {x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) =A}} {}.
Левата и десната граница се викаат еднострани гранични вредности.
Дали постои
limx→af(x)limx→af(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } {} ако
f(x)={2x+1,x≤1−2x+3,x>1?f(x)={2x+1,x≤1−2x+3,x>1? size 12{f \( x \) = left lbrace matrix {
2x+1, {} # x <= 1 {} ##
- 2x+3, {} # x>1{}
} right none ``?} {}
lim
x
→
1
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
1
−
(
2x
+
1
)
=
lim
ε
→
0
(
2
(
1
−
ε
)
+
1
)
=
3
lim
x
→
1
+
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
1
−
+
(
−
2x
+
3
)
=
lim
ε
→
0
(
−
2
(
1
+
ε
)
+
3
)
=
1
.
lim
x
→
1
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
1
−
(
2x
+
1
)
=
lim
ε
→
0
(
2
(
1
−
ε
)
+
1
)
=
3
lim
x
→
1
+
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
1
−
+
(
−
2x
+
3
)
=
lim
ε
→
0
(
−
2
(
1
+
ε
)
+
3
)
=
1
.
alignl { stack {
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } size 12{ \( 2x+1 \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} } size 12{ \( 2 \( 1 - ε \) +1 \) =3}} {} #
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{+ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{ - +{}} } } size 12{ \( - 2x+3 \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} } size 12{ \( - 2 \( 1+ε \) +3 \) =1 "." }} {}
} } {}
Левата и десната граница на функцијата се различни, па заклучуваме дека границата на функцијата во точката
x=1x=1 size 12{x=1} {} не постои.
Теорема.
Функцијата
ff size 12{f} {} има гранична вредност A кога
x→ax→a size 12{x rightarrow a} {} ако и само ако има лева и десна граница во точката
aa size 12{a} {} и тие се еднакви на A:
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
.
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
.
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) "." }} {}
Дали постои гранична вредност на функцијата
f(x)=e1xf(x)=e1x size 12{f \( x \) =e rSup { size 8{ { {1} over {x} } } } } {} во точката
x=0?x=0? size 12{x=0?} {}
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
=
lim
ε
→
0
e
1
0
−
ε
=
0
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
lim
ε
→
0
e
1
0
+
ε
=
∞
.
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
=
lim
ε
→
0
e
1
0
−
ε
=
0
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
lim
ε
→
0
e
1
0
+
ε
=
∞
.
alignl { stack {
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} size 12{e rSup { { {1} over {0 - ε} } } } size 12{ {}=0}} {} #
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} size 12{e rSup { { {1} over {0+ε} } } } size 12{ {}= infinity "." }} {}
} } {}
Значи, граничната вредност не постои.
Нека
aa size 12{a} {} е точка на натрупување за множеството
X⊂RX⊂R size 12{X subset R} {} на функциите
f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} и
g:X→Rg:X→R size 12{g:X rightarrow R} {}. Тогаш
а) ако
limx→af(x)=A,limx→ag(x)=B,A,B∈R,limx→af(x)=A,limx→ag(x)=B,A,B∈R, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =A,`` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =B,~A,`B in R,} {} тогаш
- limx→af(x)±g(x)=limx→af(x)±limx→ag(x)=A±B;limx→af(x)±g(x)=limx→af(x)±limx→ag(x)=A±B; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } left [f \( x \) +- g \( x \) right ]= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) +- {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =A +- B;} {}
- limx→af(x)⋅g(x)=limx→af(x)⋅limx→ag(x)=A⋅B;limx→af(x)⋅g(x)=limx→af(x)⋅limx→ag(x)=A⋅B; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } left [f \( x \) cdot g \( x \) right ]= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) cdot {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =A cdot B;} {}
- limx→acf(x)=c±limx→ag(x)=cA,c=const,c∈R;limx→acf(x)=c±limx→ag(x)=cA,c=const,c∈R; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } ital "cf" \( x \) =c +- {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) = ital "cA",~c="const",`c in R;} {}
- за
g(x)≠0g(x)≠0 size 12{g \( x \) <> 0} {} и
B≠0,limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=AB.B≠0,limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=AB. size 12{B <> 0,~ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = { { {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } over { {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) } } = { {A} over {B} } "." } {}
б) ако
limx→af(x)=∞,limx→ag(x)=B,B∈R,limx→af(x)=∞,limx→ag(x)=B,B∈R, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = infinity ,`` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =B,`B in R,} {} тогаш
- limx→af(x)±g(x)=∞;limx→af(x)±g(x)=∞; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } left [f \( x \) +- g \( x \) right ]= infinity ;} {}
- limx→af(x)⋅g(x)=∞.limx→af(x)⋅g(x)=∞. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } left [f \( x \) cdot g \( x \) right ]= infinity "." } {}
Функцијата
f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} е бесконечно мала кога
x→ax→a size 12{x rightarrow a} {} ако
limx→af(x)=0limx→af(x)=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =0} {}, а е бесконечно голема ако
limx→af(x)=∞limx→af(x)=∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = infinity } {}.
