Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Гранична вредност на функција од една променлива

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Гранична вредност на функција од една променлива

Module by: Sonja Gegovska-Zajkova. E-mail the author

Summary: Се дефинира гранична вредност, лева и десна граница на функција од една реална променлива и операциите со гранични вредности.

Гранична вредност на функција

Граничните процеси се она што ја разликува анализата од алгебрата и геометријата. Иако добар дела од анализата бил познат во XVII и XVIII век, клучниот момент во нејзиниот развој е воведувањето прецизна дефиниција за гранична вредност.

Дефиниција.

Нека функцијата ff size 12{f} {} е дефинирана на отворен интервал кој ја содржи точката aa size 12{a} {} освен можеби во самата точка aa size 12{a} {}. Бројот A е гранична вредност на функцијатаff size 12{f} {} кога x тежи кон aa size 12{a} {} ако

(∀ε>0)(∃δ>0)(∀ε>0)(∃δ>0) size 12{ \( forall ε>0 \) ` \( exists δ>0 \) } {} така што ∣f(x)−A∣<ε∣f(x)−A∣<ε size 12{ lline f \( x \) - A rline <ε} {} кога ∣x−a∣<δ∣x−a∣<δ size 12{ lline x - a rline <δ} {}.

Во тој случај пишуваме limx→af(x)=A.limx→af(x)=A. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =A "." } {}

Figure 1
Figure 1 (graphics1.png)

Геометриски тоа значи дека за секоја εε size 12{ε} {}-околина на точката A постои δδ size 12{δ} {}-околина на точката aa size 12{a} {} која целосно, освен можеби во aa size 12{a} {}, се пресликува со ff size 12{f} {} во εε size 12{ε} {}-околината на точката A.

Во точката aa size 12{a} {} функцијата не мора да биде дефинирана, а ако е дефинирана, тогаш f(a)f(a) size 12{f \( a \) } {} не мора да биде еднаква на A.

Пример.

Да се покаже дека limx→1(3x+2)=5.limx→1(3x+2)=5. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1} } \( 3x+2 \) =5 "." } {}

Нека ε>0ε>0 size 12{ε>0} {} е произволно. Од

∣f(x)−A∣=∣3x+2−5∣=∣3x−3∣=3∣x−1∣<ε∣f(x)−A∣=∣3x+2−5∣=∣3x−3∣=3∣x−1∣<ε size 12{ lline f \( x \) - A rline = lline 3x+2 - 5 rline = lline 3x - 3 rline =3 lline x - 1 rline <ε} {} следува ∣x−1∣<ε3=δ(ε).∣x−1∣<ε3=δ(ε). size 12{ lline x - 1 rline < { {ε} over {3} } =δ \( ε \) "." } {}

Дефиниција.

Нека aa size 12{a} {} е точка на натрупување за множеството Df⊂XDf⊂X size 12{D rSub { size 8{f} } subset X} {} на функцијата f:Df→Y,X,Y⊂Rf:Df→Y,X,Y⊂R size 12{f:D rSub { size 8{f} } rightarrow Y,~X,`Y subset R} {}. Велиме дека A е гранична вредност на функцијата ff size 12{f} {} во точката a ако limn→∞f(an)=Alimn→∞f(an)=A size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } f \( a rSub { size 8{n} } \) =A} {} за која било низа anan size 12{ left lbrace a rSub { size 8{n} } right rbrace } {} така што limn→∞an=alimn→∞an=a size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } =a} {} и an≠aan≠a size 12{a rSub { size 8{n} } <> a} {}.

Двете дефиниции се еквивалентни.

Дефиниција.

Ако f:Df→Rf:Df→R size 12{f:D rSub { size 8{f} } rightarrow R} {} има гранична вредност A во точката aa size 12{a} {} кога x∈E,E=(−∞,a]x∈E,E=(−∞,a] size 12{x in E,``E= \( - infinity ,`a\]} {} или E=[a,∞)E=[a,∞) size 12{E= \[a,` infinity \)} {}, тогаш велиме дека функцијата има лева (десна) граница во точката aa size 12{a} {} и пишуваме limx→a−f(x)=A,limx→a+f(x)=Alimx→a−f(x)=A,limx→a+f(x)=A size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) =A,~ {"lim"} cSub {x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) =A}} {}.

Левата и десната граница се викаат еднострани гранични вредности.

Пример.

Дали постои limx→af(x)limx→af(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } {} ако f(x)={2x+1,x≤1−2x+3,x>1?f(x)={2x+1,x≤1−2x+3,x>1? size 12{f \( x \) = left lbrace matrix { 2x+1, {} # x <= 1 {} ## - 2x+3, {} # x>1{} } right none ``?} {}

lim x → 1 − f ( x ) = lim x → 1 − ( 2x + 1 ) = lim ε → 0 ( 2 ( 1 − ε ) + 1 ) = 3 lim x → 1 + − f ( x ) = lim x → 1 − + ( − 2x + 3 ) = lim ε → 0 ( − 2 ( 1 + ε ) + 3 ) = 1 . lim x → 1 − f ( x ) = lim x → 1 − ( 2x + 1 ) = lim ε → 0 ( 2 ( 1 − ε ) + 1 ) = 3 lim x → 1 + − f ( x ) = lim x → 1 − + ( − 2x + 3 ) = lim ε → 0 ( − 2 ( 1 + ε ) + 3 ) = 1 . alignl { stack { size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } size 12{ \( 2x+1 \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} } size 12{ \( 2 \( 1 - ε \) +1 \) =3}} {} # size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{+ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{ - +{}} } } size 12{ \( - 2x+3 \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} } size 12{ \( - 2 \( 1+ε \) +3 \) =1 "." }} {} } } {}

Figure 2
Figure 2 (graphics2.png)

Левата и десната граница на функцијата се различни, па заклучуваме дека границата на функцијата во точката x=1x=1 size 12{x=1} {} не постои.

Теорема.

Функцијата ff size 12{f} {} има гранична вредност A кога x→ax→a size 12{x rightarrow a} {} ако и само ако има лева и десна граница во точката aa size 12{a} {} и тие се еднакви на A:

lim x → a f ( x ) = lim x → a − f ( x ) = lim x → a + f ( x ) . lim x → a f ( x ) = lim x → a − f ( x ) = lim x → a + f ( x ) . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) "." }} {}

Пример.

Дали постои гранична вредност на функцијата f(x)=e1xf(x)=e1x size 12{f \( x \) =e rSup { size 8{ { {1} over {x} } } } } {} во точката x=0?x=0? size 12{x=0?} {}

lim x → 0 − f ( x ) = lim ε → 0 e 1 0 − ε = 0 lim x → 0 + f ( x ) = lim ε → 0 e 1 0 + ε = ∞ . lim x → 0 − f ( x ) = lim ε → 0 e 1 0 − ε = 0 lim x → 0 + f ( x ) = lim ε → 0 e 1 0 + ε = ∞ . alignl { stack { size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} size 12{e rSup { { {1} over {0 - ε} } } } size 12{ {}=0}} {} # size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} size 12{e rSup { { {1} over {0+ε} } } } size 12{ {}= infinity "." }} {} } } {}

Figure 3
Figure 3 (graphics3.png)

Значи, граничната вредност не постои.

Операции со гранични вредности на функции

Нека aa size 12{a} {} е точка на натрупување за множеството X⊂RX⊂R size 12{X subset R} {} на функциите f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} и g:X→Rg:X→R size 12{g:X rightarrow R} {}. Тогаш

а) ако limx→af(x)=A,limx→ag(x)=B,A,B∈R,limx→af(x)=A,limx→ag(x)=B,A,B∈R, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =A,`` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =B,~A,`B in R,} {} тогаш

  1. limx→af(x)±g(x)=limx→af(x)±limx→ag(x)=A±B;limx→af(x)±g(x)=limx→af(x)±limx→ag(x)=A±B; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } left [f \( x \) +- g \( x \) right ]= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) +- {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =A +- B;} {}
  2. limx→af(x)⋅g(x)=limx→af(x)⋅limx→ag(x)=A⋅B;limx→af(x)⋅g(x)=limx→af(x)⋅limx→ag(x)=A⋅B; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } left [f \( x \) cdot g \( x \) right ]= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) cdot {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =A cdot B;} {}
  3. limx→acf(x)=c±limx→ag(x)=cA,c=const,c∈R;limx→acf(x)=c±limx→ag(x)=cA,c=const,c∈R; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } ital "cf" \( x \) =c +- {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) = ital "cA",~c="const",`c in R;} {}
  4. за g(x)≠0g(x)≠0 size 12{g \( x \) <> 0} {} и B≠0,limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=AB.B≠0,limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=AB. size 12{B <> 0,~ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = { { {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } over { {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) } } = { {A} over {B} } "." } {}

б) ако limx→af(x)=∞,limx→ag(x)=B,B∈R,limx→af(x)=∞,limx→ag(x)=B,B∈R, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = infinity ,`` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =B,`B in R,} {} тогаш

  1. limx→af(x)±g(x)=∞;limx→af(x)±g(x)=∞; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } left [f \( x \) +- g \( x \) right ]= infinity ;} {}
  2. limx→af(x)⋅g(x)=∞.limx→af(x)⋅g(x)=∞. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } left [f \( x \) cdot g \( x \) right ]= infinity "." } {}

Функцијата f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} е бесконечно мала кога x→ax→a size 12{x rightarrow a} {} ако limx→af(x)=0limx→af(x)=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =0} {}, а е бесконечно голема ако limx→af(x)=∞limx→af(x)=∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = infinity } {}.

Content actions

Download module as:

PDF | More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks