Непрекинатост на функција од една променлива

Дефиниција. Функцијата f:X→R size 12{f:X rightarrow R} {}, X⊆R size 12{X subseteq R} {}, е непрекината во точката a∈Df size 12{a in D rSub { size 8{f} } } {} ако (∀ε>0)(∃δ>0) size 12{ \( forall ε>0 \) \( exists δ>0 \) } {} така што (∀x∈X) size 12{ \( forall x in X \) } {} важи ∣x−a∣<δ size 12{ lline x - a rline <δ} {} повлекува ∣f(x)−f(a)∣<ε. size 12{ lline f \( x \) - f \( a \) rline <ε "." } {}

Дефиниција. Велиме дека функцијата f:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} е непрекината во точката a size 12{a} {} ако f size 12{f} {} е дефинирана во точката a size 12{a} {} постои limx→af(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } {} lim x → a f ( x ) = f ( a ) . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =f \( a \) "." } {} Очигледно важи дека функцијата е непрекината во точката a size 12{a} {} акко е дефинирана во точката a size 12{a} {} и limx→a−f(x)=limx→a+f(x)=f(a). size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) =f \( a \) "." }} {} Функцијата f:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} е непрекината од лево во точката a size 12{a} {} ако постои limx→a−f(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) } {}, и limx→a−f(x)=f(a) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) =f \( a \) } {}, а е непрекината од десно во точката a size 12{a} {} ако постои limx→a+f(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) } {}, и limx→a+f(x)=f(a) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) =f \( a \) } {}.

Дефиниција. Нека f:X→R size 12{f:X rightarrow R} {}. Ако функцијата f size 12{f} {} е непрекината во секоја точка од множеството X, тогаш таа е непрекината функција на X. Ако f size 12{f} {} и g size 12{g} {} се непрекината функции во a size 12{a} {}, тогаш непрекинати се и функциите f(x)±g(x) size 12{f \( x \) +- g \( x \) } {} f(x)⋅g(x) size 12{f \( x \) cdot g \( x \) } {} cf(x),c=const. size 12{c`f \( x \) ,~c="const" "." } {} f(x)g(x),акоg(а)≠0. size 12{ { {f \( x \) } over {g \( x \) } } ,~"ако"`g \( а \) <> 0 "." } {}

Класификација на точките на прекин Нека a size 12{a} {} е точка на натрупување на множеството X и f:X→R size 12{f:X rightarrow R} {}. Точката a size 12{a} {} е точка на прекин за функцијата f size 12{f} {} ако не е исполнет барем еден од следниве три услови: функцијата е дефинирана во точката x=a size 12{x=a} {} постои limx→af(x)∈R size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) in R} {} lim x → a f ( x ) = f ( a ) . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =f \( a \) "." } {} Велиме дека функцијата f size 12{f} {} има отстранлив прекин во точката x=a∈X size 12{x=a in X} {} ако постои limx→af(x)=b size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =b} {}, но f size 12{f} {} или не е дефинирана во точката a size 12{a} {}, или f(a)≠b size 12{f \( a \) <> b} {}.

Ако limx→af(x)=b size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =b} {} и f size 12{f} {} не е дефинирана во точката x=a size 12{x=a} {}, тогаш функцијата може да се додефинира ставајќи f(a)=b size 12{f \( a \) =b} {}. Новата функција Fx={f(x),x≠ab,x=a size 12{F left (x right )= left lbrace matrix { f \( x \) , {} # x <> a {} ## b, {} # x=a{} } right none } {} е непрекината во x=a size 12{x=a} {}. Функцијата f size 12{f} {} има прекин од прв ред во точката x=a size 12{x=a} {} ако постојат левата и десната граница во точката a size 12{a} {}, но се различни меѓусебе, т.е. limx→a−f(x)≠limx→a+f(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) <> {"lim"} cSub {x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) }} {}.

Секоја точка на отстранлив прекин е истовремено прекин од прв ред, но обратното не важи. Функцијата f size 12{f} {} има прекин од втор ред во точката x=a size 12{x=a} {} ако не постои барем една од едностраните граници кога x→a size 12{x rightarrow a} {} или барем едната од нив е бесконечна.

Пример. За функцијата fx={x−1,x≤22x,x>2 size 12{f left (x right )= left lbrace matrix { x - 1, {} # x <= 2 {} ## 2x, {} # x>2{} } right none } {} точката x=2 size 12{x=2} {} е можен прекин. Функцијата е дефинирана во точката x=2 size 12{x=2} {} и f(2)=1 size 12{f \( 2 \) =1} {}. Левата и десната гранива во точката x=2 size 12{x=2} {} се lim x → 2 − f ( x ) = lim x → 2 − ( x − 1 ) = 1 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 2 rSup { size 6{ - {}} } } size 12{ \( x - 1 \) =1}} {} lim x → 2 + f ( x ) = lim x → 2 + 2x = 4 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2 rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 2 rSup { size 6{+{}} } } size 12{2x=4}} {} Заклучуваме дека во точката x=2 size 12{x=2} {} функцијата има прекин од прв ред.

Пример. Да ја разгледаме функцијата f(x)=x2−4x2−3x+2 size 12{f \( x \) = { {x rSup { size 8{2} } - 4} over {x rSup { size 8{2} } - 3x+2} } } {}. Истата можеме да ја претставиме во облик f(x)=(x−2)(x+2)(x−2)(x−1) size 12{f \( x \) = { { \( x - 2 \) \( x+2 \) } over { \( x - 2 \) \( x - 1 \) } } } {}. Функциите од облик f(x)=Pn(x)Qm(x) size 12{f \( x \) = { {P rSub { size 8{n} } \( x \) } over {Q rSub { size 8{m} } \( x \) } } } {}, каде што Pn(x) size 12{P rSub { size 8{n} } \( x \) } {} и Qm(x) size 12{Q rSub { size 8{m} } \( x \) } {} се реални полиноми од степен n и m соодветно, се нарекуваат дробно-рационални функции. Тие се непрекинати во сите точки од дефиниционата област на функцијата. Дадената функција е дробно-рационална и не е дефинирана во точките x=1 size 12{x=1} {} и x=2 size 12{x=2} {}. Кога x≠2 size 12{x <> 2} {} функцијата може да се претстави во облик f(x)=x+2x−1 size 12{f \( x \) = { {x+2} over {x - 1} } } {}. Граничната вредност во точката x=2 size 12{x=2} {} е limx→2f(x)=limx→2x+2x−1=4 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } f \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } { {x+2} over {x - 1} } =4} {}, па заклучуваме дека во оваа точка функцијата има отстранлив прекин. Функцијата можеме да ја додефинираме, така што F(x)={x+2x−1,x≠24,x=2 size 12{F \( x \) = left lbrace matrix { { {x+2} over {x - 1} } , {} # x <> 2 {} ## 4, {} # x=2{} } right none } {} ќе биде непрекината функцијата во точката x=2 size 12{x=2} {}. Во точката x=1 size 12{x=1} {} за едностраните граници имаме limx→1−f(x)=limε→03−ε−ε=−∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} { { size 12{3 - ε} } over { size 12{ - ε} } } size 12{ {}= - infinity }} {}, а limx→1+f(x)=limε→03+εε=∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} { { size 12{3+ε} } over { size 12{ε} } } size 12{ {}= infinity }} {}. Значи, во оваа точка функцијата има прекин од втор ред.

Непрекинатост на сложена функција Ако функцијата u=g(x) size 12{u=g \( x \) } {} има во точката a size 12{a} {} гранична вредност еднаква на A, т.е. limx→ag(x)=A, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =A,} {} а функцијата y=f(u) size 12{y=f \( u \) } {} е непрекината во точката u=A size 12{u=A} {}, тогаш сложената функција u=f(g(x)) size 12{u=f \( g \( x \) \) } {} во точката a size 12{a} {} има гранична вредност еднаква на f(A) size 12{f \( A \) } {}, т.е. lim x → a f ( g ( x ) ) = f ( lim x → a g ( x ) ) . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( g \( x \) \) =f \( {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) \) "." } {}

Пример. lim x → ∞ ln 1 + 1 x x = ln lim x → ∞ 1 + 1 x x = ln e = 1 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } "ln" left (1+ { {1} over {x} } right ) rSup { size 8{x} } ="ln" left ( {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } left (1+ { {1} over {x} } right ) rSup { size 8{x} } right )="ln"e=1 "." } {} Ако ставиме 1x=t, size 12{ { {1} over {x} } =t,} {} горната гранична вредност можеме да ја претставиме во облик limt→0ln1+tt, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{t rightarrow 0} } { {"ln" left (1+t right )} over {t} } ,} {} од каде што заклучуваме дека limx→0ln1+xx=1. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {"ln" left (1+x right )} over {x} } =1 "." } {} Слично, ако limx→x0u(x)=0, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow x rSub { size 6{0} } } } u \( x \) =0,} {} тогаш limx→x0ln1+uxux=1. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow x rSub { size 6{0} } } } { {"ln" left (1+u left (x right ) right )} over {u left (x right )} } =1 "." } {}

Пример. Да се определи limx→1ln1+x−12sin2x−1. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1} } { {"ln" left (1+ left (x - 1 right ) rSup { size 8{2} } right )} over {"sin" rSup { size 8{2} } left (x - 1 right )} } "." } {} Ставаме u(x)=(x−1)2 size 12{u \( x \) = \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } {}. Тогаш limx→x0u(x)=limx→1(x−1)2=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow x rSub { size 6{0} } } } u \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1} size 12{ \( x - 1 \) rSup {2} } size 12{ {}=0}} {}, па lim x → 1 ln 1 + x − 1 2 sin 2 x − 1 = lim x → 1 ln 1 + x − 1 2 x − 1 2 ( x − 1 ) 2 sin 2 x − 1 = 1 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1} } { {"ln" left (1+ left (x - 1 right ) rSup { size 8{2} } right )} over {"sin" rSup { size 8{2} } left (x - 1 right )} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1} } { {"ln" left (1+ left (x - 1 right ) rSup { size 8{2} } right )} over { left (x - 1 right ) rSup { size 8{2} } } } { { \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } over {"sin" rSup { size 8{2} } left (x - 1 right )} } =1 "." } {}

Теорема за непрекинатост на сложената функција. Ако функцијата u=g(x) size 12{u=g \( x \) } {} е непрекината во точката a, size 12{a,} {} а функцијата y=f(u) size 12{y=f \( u \) } {} е непрекината во точката g(a) size 12{g \( a \) } {}, тогаш и сложената функција fg(x) size 12{f left (g \( x \) right )} {} е непрекината во точката a. size 12{a "." } {}