Функцијата
f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {},
X⊆RX⊆R size 12{X subseteq R} {}, е непрекината во точката a∈Dfa∈Df size 12{a in D rSub { size 8{f} } } {} ако
(∀ε>0)(∃δ>0)(∀ε>0)(∃δ>0) size 12{ \( forall ε>0 \) \( exists δ>0 \) } {} така што
(∀x∈X)(∀x∈X) size 12{ \( forall x in X \) } {} важи
∣x−a∣<δ∣x−a∣<δ size 12{ lline x - a rline <δ} {} повлекува
∣f(x)−f(a)∣<ε.∣f(x)−f(a)∣<ε. size 12{ lline f \( x \) - f \( a \) rline <ε "." } {}
Велиме дека функцијата
f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} е непрекината во точката aa size 12{a} {} ако
- ff size 12{f} {} е дефинирана во точката
aa size 12{a} {}
- постои
limx→af(x)limx→af(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } {}
-
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
f
(
a
)
.
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
f
(
a
)
.
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =f \( a \) "." } {}
Очигледно важи дека функцијата е непрекината во точката
aa size 12{a} {} акко е дефинирана во точката
aa size 12{a} {} и
limx→a−f(x)=limx→a+f(x)=f(a).limx→a−f(x)=limx→a+f(x)=f(a). size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) =f \( a \) "." }} {}
Функцијата
f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {} е непрекината од лево во точката
aa size 12{a} {} ако постои
limx→a−f(x)limx→a−f(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) } {}, и
limx→a−f(x)=f(a)limx→a−f(x)=f(a) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) =f \( a \) } {}, а е непрекината од десно во точката
aa size 12{a} {} ако постои
limx→a+f(x)limx→a+f(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) } {}, и
limx→a+f(x)=f(a)limx→a+f(x)=f(a) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) =f \( a \) } {}.
Нека
f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {}. Ако функцијата
ff size 12{f} {} е непрекината во секоја точка од множеството X, тогаш таа е непрекината функција на X.
Ако
ff size 12{f} {} и
gg size 12{g} {} се непрекината функции во
aa size 12{a} {}, тогаш непрекинати се и функциите
- f(x)±g(x)f(x)±g(x) size 12{f \( x \) +- g \( x \) } {}
- f(x)⋅g(x)f(x)⋅g(x) size 12{f \( x \) cdot g \( x \) } {}
- cf(x),c=const.cf(x),c=const. size 12{c`f \( x \) ,~c="const" "." } {}
- f(x)g(x),акоg(а)≠0.f(x)g(x),акоg(а)≠0. size 12{ { {f \( x \) } over {g \( x \) } } ,~"ако"`g \( а \) <> 0 "." } {}
Нека
aa size 12{a} {} е точка на натрупување на множеството X и
f:X→Rf:X→R size 12{f:X rightarrow R} {}. Точката
aa size 12{a} {} е точка на прекин за функцијата
ff size 12{f} {} ако не е исполнет барем еден од следниве три услови:
- функцијата е дефинирана во точката
x=ax=a size 12{x=a} {}
- постои
limx→af(x)∈Rlimx→af(x)∈R size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) in R} {}
-
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
f
(
a
)
.
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
f
(
a
)
.
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =f \( a \) "." } {}
- Велиме дека функцијата
ff size 12{f} {} има отстранлив прекин во точката
x=a∈Xx=a∈X size 12{x=a in X} {} ако постои
limx→af(x)=blimx→af(x)=b size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =b} {}, но
ff size 12{f} {} или не е дефинирана во точката
aa size 12{a} {}, или
f(a)≠bf(a)≠b size 12{f \( a \) <> b} {}.
Ако
limx→af(x)=blimx→af(x)=b size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =b} {} и
ff size 12{f} {} не е дефинирана во точката
x=ax=a size 12{x=a} {}, тогаш функцијата може да се додефинира ставајќи
f(a)=bf(a)=b size 12{f \( a \) =b} {}. Новата функција
Fx={f(x),x≠ab,x=aFx={f(x),x≠ab,x=a size 12{F left (x right )= left lbrace matrix {
f \( x \) , {} # x <> a {} ##
b, {} # x=a{}
} right none } {} е непрекината во
x=ax=a size 12{x=a} {}.
- Функцијата
ff size 12{f} {} има прекин од прв ред во точката
x=ax=a size 12{x=a} {} ако постојат левата и десната граница во точката
aa size 12{a} {}, но се различни меѓусебе, т.е.
limx→a−f(x)≠limx→a+f(x)limx→a−f(x)≠limx→a+f(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) <> {"lim"} cSub {x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) }} {}.
Секоја точка на отстранлив прекин е истовремено прекин од прв ред, но обратното не важи.
- Функцијата
ff size 12{f} {} има прекин од втор ред во точката
x=ax=a size 12{x=a} {} ако не постои барем една од едностраните граници кога
x→ax→a size 12{x rightarrow a} {} или барем едната од нив е бесконечна.
За функцијата
fx={x−1,x≤22x,x>2fx={x−1,x≤22x,x>2 size 12{f left (x right )= left lbrace matrix {
x - 1, {} # x <= 2 {} ##
2x, {} # x>2{}
} right none } {} точката
x=2x=2 size 12{x=2} {} е можен прекин. Функцијата е дефинирана во точката
x=2x=2 size 12{x=2} {} и
f(2)=1f(2)=1 size 12{f \( 2 \) =1} {}. Левата и десната гранива во точката
x=2x=2 size 12{x=2} {} се
lim
x
→
2
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
2
−
(
x
−
1
)
=
1
lim
x
→
2
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
2
−
(
x
−
1
)
=
1
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 2 rSup { size 6{ - {}} } } size 12{ \( x - 1 \) =1}} {}
lim
x
→
2
+
f
(
x
)
=
lim
x
→
2
+
2x
=
4
lim
x
→
2
+
f
(
x
)
=
lim
x
→
2
+
2x
=
4
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2 rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 2 rSup { size 6{+{}} } } size 12{2x=4}} {}
Заклучуваме дека во точката
x=2x=2 size 12{x=2} {} функцијата има прекин од прв ред.
Да ја разгледаме функцијата
f(x)=x2−4x2−3x+2f(x)=x2−4x2−3x+2 size 12{f \( x \) = { {x rSup { size 8{2} } - 4} over {x rSup { size 8{2} } - 3x+2} } } {}. Истата можеме да ја претставиме во облик
f(x)=(x−2)(x+2)(x−2)(x−1)f(x)=(x−2)(x+2)(x−2)(x−1) size 12{f \( x \) = { { \( x - 2 \) \( x+2 \) } over { \( x - 2 \) \( x - 1 \) } } } {}.
Функциите од облик
f(x)=Pn(x)Qm(x)f(x)=Pn(x)Qm(x) size 12{f \( x \) = { {P rSub { size 8{n} } \( x \) } over {Q rSub { size 8{m} } \( x \) } } } {}, каде што
Pn(x)Pn(x) size 12{P rSub { size 8{n} } \( x \) } {} и
Qm(x)Qm(x) size 12{Q rSub { size 8{m} } \( x \) } {} се реални полиноми од степен n и m соодветно, се нарекуваат дробно-рационални функции. Тие се непрекинати во сите точки од дефиниционата област на функцијата.
Дадената функција е дробно-рационална и не е дефинирана во точките
x=1x=1 size 12{x=1} {} и
x=2x=2 size 12{x=2} {}. Кога
x≠2x≠2 size 12{x <> 2} {} функцијата може да се претстави во облик
f(x)=x+2x−1f(x)=x+2x−1 size 12{f \( x \) = { {x+2} over {x - 1} } } {}. Граничната вредност во точката
x=2x=2 size 12{x=2} {} е
limx→2f(x)=limx→2x+2x−1=4limx→2f(x)=limx→2x+2x−1=4 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } f \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } { {x+2} over {x - 1} } =4} {}, па заклучуваме дека во оваа точка функцијата има отстранлив прекин. Функцијата можеме да ја додефинираме, така што
F(x)={x+2x−1,x≠24,x=2F(x)={x+2x−1,x≠24,x=2 size 12{F \( x \) = left lbrace matrix {
{ {x+2} over {x - 1} } , {} # x <> 2 {} ##
4, {} # x=2{}
} right none } {} ќе биде непрекината функцијата во точката
x=2x=2 size 12{x=2} {}.
Во точката
x=1x=1 size 12{x=1} {} за едностраните граници имаме
limx→1−f(x)=limε→03−ε−ε=−∞limx→1−f(x)=limε→03−ε−ε=−∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} { { size 12{3 - ε} } over { size 12{ - ε} } } size 12{ {}= - infinity }} {}, а
limx→1+f(x)=limε→03+εε=∞limx→1+f(x)=limε→03+εε=∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {ε rightarrow 0} { { size 12{3+ε} } over { size 12{ε} } } size 12{ {}= infinity }} {}. Значи, во оваа точка функцијата има прекин од втор ред.
Ако функцијата
u=g(x)u=g(x) size 12{u=g \( x \) } {} има во точката
aa size 12{a} {} гранична вредност еднаква на A, т.е.
limx→ag(x)=A,limx→ag(x)=A, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =A,} {} а функцијата
y=f(u)y=f(u) size 12{y=f \( u \) } {} е непрекината во точката
u=Au=A size 12{u=A} {}, тогаш сложената функција
u=f(g(x))u=f(g(x)) size 12{u=f \( g \( x \) \) } {} во точката
aa size 12{a} {} има гранична вредност еднаква на
f(A)f(A) size 12{f \( A \) } {}, т.е.
lim
x
→
a
f
(
g
(
x
)
)
=
f
(
lim
x
→
a
g
(
x
)
)
.
lim
x
→
a
f
(
g
(
x
)
)
=
f
(
lim
x
→
a
g
(
x
)
)
.
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( g \( x \) \) =f \( {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) \) "." } {}
lim
x
→
∞
ln
1
+
1
x
x
=
ln
lim
x
→
∞
1
+
1
x
x
=
ln
e
=
1
.
lim
x
→
∞
ln
1
+
1
x
x
=
ln
lim
x
→
∞
1
+
1
x
x
=
ln
e
=
1
.
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } "ln" left (1+ { {1} over {x} } right ) rSup { size 8{x} } ="ln" left ( {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } left (1+ { {1} over {x} } right ) rSup { size 8{x} } right )="ln"e=1 "." } {}
Ако ставиме
1x=t,1x=t, size 12{ { {1} over {x} } =t,} {} горната гранична вредност можеме да ја претставиме во облик
limt→0ln1+tt,limt→0ln1+tt, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{t rightarrow 0} } { {"ln" left (1+t right )} over {t} } ,} {} од каде што заклучуваме дека
limx→0ln1+xx=1.limx→0ln1+xx=1. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {"ln" left (1+x right )} over {x} } =1 "." } {} Слично, ако
limx→x0u(x)=0,limx→x0u(x)=0, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow x rSub { size 6{0} } } } u \( x \) =0,} {} тогаш
limx→x0ln1+uxux=1.limx→x0ln1+uxux=1. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow x rSub { size 6{0} } } } { {"ln" left (1+u left (x right ) right )} over {u left (x right )} } =1 "." } {}
Да се определи
limx→1ln1+x−12sin2x−1.limx→1ln1+x−12sin2x−1. size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1} } { {"ln" left (1+ left (x - 1 right ) rSup { size 8{2} } right )} over {"sin" rSup { size 8{2} } left (x - 1 right )} } "." } {}
Ставаме
u(x)=(x−1)2u(x)=(x−1)2 size 12{u \( x \) = \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } {}. Тогаш
limx→x0u(x)=limx→1(x−1)2=0limx→x0u(x)=limx→1(x−1)2=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow x rSub { size 6{0} } } } u \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1} size 12{ \( x - 1 \) rSup {2} } size 12{ {}=0}} {}, па
lim
x
→
1
ln
1
+
x
−
1
2
sin
2
x
−
1
=
lim
x
→
1
ln
1
+
x
−
1
2
x
−
1
2
(
x
−
1
)
2
sin
2
x
−
1
=
1
.
lim
x
→
1
ln
1
+
x
−
1
2
sin
2
x
−
1
=
lim
x
→
1
ln
1
+
x
−
1
2
x
−
1
2
(
x
−
1
)
2
sin
2
x
−
1
=
1
.
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1} } { {"ln" left (1+ left (x - 1 right ) rSup { size 8{2} } right )} over {"sin" rSup { size 8{2} } left (x - 1 right )} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1} } { {"ln" left (1+ left (x - 1 right ) rSup { size 8{2} } right )} over { left (x - 1 right ) rSup { size 8{2} } } } { { \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } over {"sin" rSup { size 8{2} } left (x - 1 right )} } =1 "." } {}
