Диференцијално сметање на функции од една реална променлива

Изводи Нека x size 12{x} {} е точка што се движи по права така што зависноста на поминатиот пат од некоја почетна точка A од времето е дадена со y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {}. Нека во моментот t size 12{t} {} точката се наоѓа во позиција B. По изминато време Δt size 12{Δt} {}, т.е. во моментот t+Δt size 12{t+Δt} {}, точката е во позиција C. Поминатиот пат до моментот t size 12{t} {} е f(t) size 12{f \( t \) } {}, а до моментот t+Δt size 12{t+Δt} {} е ft+Δt size 12{f left (t+Δt right )} {}. Средната брзина vs size 12{v rSub { size 8{s} } } {}на делот од патот BC е еднаква на односот меѓу промената на патот и промената на времето, т.е. v s = f t + Δt − f ( t ) Δt . size 12{v rSub { size 8{s} } = { {f left (t+Δt right ) - f \( t \) } over {Δt} } "." } {} Моментната брзина во точката B можеме да ја дефинираме како гранична вредност на средната брзина кога C→B size 12{C rightarrow B} {}, т.е. кога Δt→0 size 12{Δt rightarrow 0} {}, или v(t)=limΔt→0ft+Δt−f(t)Δt, size 12{v \( t \) = {"lim"} cSub { size 8{Δt rightarrow 0} } { {f left (t+Δt right ) - f \( t \) } over {Δt} } ,} {} ако оваа гранична вредност постои. Ја разгледуваме реалната функција y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} дефинирана на интервалот (a,b)∈R size 12{ \( a,`b \) in R} {}. Со Δx size 12{Δx} {} го означуваме нараснувањето на аргументот на функцијата f(x) size 12{f \( x \) } {} во точката x∈(a,b) size 12{x in \( a,`b \) } {}. Ако точката x+Δx∈(a,b) size 12{x+Δx in \( a,`b \) } {}, тогаш реалниот број Δy=fx+Δx−f(x) size 12{Δy=f left (x+Δx right ) - f \( x \) } {} се нарекува нараснување на функцијата f(x) size 12{f \( x \) } {} во точката x size 12{x} {} кое соодветствува на нараснувањето на аргументот Δx size 12{Δx} {}. Количникот ΔyΔx=fx+Δx−f(x)Δx size 12{ { {Δy} over {Δx} } = { {f left (x+Δx right ) - f \( x \) } over {Δx} } } {} не е дефиниран за Δx=0 size 12{Δx=0} {}. Се поставува прашањето дали постои граничната вредност на овој количник кога Δx→0 size 12{Δx rightarrow 0} {}.

Дефиниција. Ако постои конечната гранична вредност lim Δx → 0 Δy Δx = lim Δx → 0 f x + Δx − f ( x ) Δx , size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (x+Δx right ) - f \( x \) } over {Δx} } ,} {} tогаш таа гранична вредност се нарекува извод на функцијата f(x) size 12{f \( x \) } {} во точката x size 12{x} {} и се означува со f'(x)=limΔx→0fx+Δx−f(x)Δx size 12{f' \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (x+Δx right ) - f \( x \) } over {Δx} } } {} или y'=limΔx→0fx+Δx−f(x)Δx. size 12{y'= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (x+Δx right ) - f \( x \) } over {Δx} } "." } {}

Пример. Да се определи f'(2) size 12{f' \( 2 \) } {}, ако f(x)=x2+1. size 12{f \( x \) =x rSup { size 8{2} } +1 "." } {} f ' ( 2 ) = lim Δx → 0 f 2 + Δx − f ( 2 ) Δx = lim Δx → 0 2 + Δx 2 + 1 − 2 2 − 1 Δx = lim Δx → 0 4 + 4Δx + ( Δx ) 2 − 4 Δx = = lim Δx → 0 ( 4 + Δx ) = 4 . alignl { stack { size 12{f' \( 2 \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (2+Δx right ) - f \( 2 \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { { left (2+Δx right ) rSup { size 8{2} } +1 - 2 rSup { size 8{2} } - 1} over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {4+4Δx+ \( Δx \) rSup { size 8{2} } - 4} over {Δx} } ={}} {} # ~~``= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } \( 4+Δx \) =4 "." {} } } {}

Ако функцијата f(x) size 12{f \( x \) } {} има извод во точката x size 12{x} {}, тогаш велиме дека таа е диференцијабилна во таа точка. Ако функцијата f(x) size 12{f \( x \) } {} има извод во секоја точка од интервалот (a,b) size 12{ \( a,`b \) } {}, тогаш со пресликувањето x↦f'(x) size 12{x↦f' \( x \) } {} се дефинира функција која е извод на функцијата f(x) size 12{f \( x \) } {}.

Теорема. Ако функцијата f(x) size 12{f \( x \) } {}е диференцијабилна во точката x=a size 12{x=a} {}, тогаш таа е непрекината во таа точка.

Доказ. Треба да покажеме дека постои limx→af(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } {} и limx→af(x)=f(a) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =f \( a \) } {}, а тоа е еквивалентно со limΔx→0Δy=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } Δy=0} {}, т.е. limΔx→0f(a+Δx)=f(a). size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f \( a+Δx \) =f \( a \) "." } {} Од диференцијабилноста на функцијата во точката x=a size 12{x=a} {} следува дека постои f'(a) size 12{f' \( a \) "." } {} Тогаш lim Δx → 0 f ( a + Δx ) − f ( a ) = lim Δx → 0 f a + Δx − f ( a ) Δx Δx = lim Δx → 0 f a + Δx − f ( a ) Δx lim Δx → 0 Δx = 0 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } left [f \( a+Δx \) - f \( a \) right ]= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (a+Δx right ) - f \( a \) } over {Δx} } Δx= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (a+Δx right ) - f \( a \) } over {Δx} } {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } Δx=0 "." } {} Значи 0=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)=limΔx→0fa+Δx−limΔx→0f(a). size 12{0= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } left [f \( a+Δx \) - f \( a \) right ]= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f left (a+Δx right ) - {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f \( a \) "." } {} Но f(a) size 12{f \( a \) } {} е константа, па limΔx→0f(a)=f(a) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f \( a \) =f \( a \) } {}, од каде што следува дека limΔx→0fa+Δx=limΔx→0f(a)=f(a). size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f left (a+Δx right )= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f \( a \) =f \( a \) "." } {}

Обратното не мора да важи.

Пример. Функцијата f(x)=∣x∣ size 12{f \( x \) = lline x rline } {} е непрекината на целата реална права, но не е диференцијабилна во точката x=0 size 12{x=0} {}. Навистина, ΔyΔx=f(0+Δx)−f(0)Δx=∣Δx∣Δx={1,Δx>0не е деф.,Δx=0−1,Δx<0 size 12{ { {Δy} over {Δx} } = { {f \( 0+Δx \) - f \( 0 \) } over {Δx} } = { { lline Δx rline } over {Δx} } = left lbrace matrix { 1, {} # Δx>0 {} ## "не е деф" "." , {} # Δx=0 {} ## - 1, {} # Δx<0{} } right none } {}. Значи limΔx→0ΔyΔx size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } } {} не постои.

Пример. Функциjата чиј график е претставен на следнава слика не е диференцијабилна во точките x1,x2,x3 size 12{x rSub { size 8{1} } ,`x rSub { size 8{2} } ,`x rSub { size 8{3} } } {} и x4 size 12{x rSub { size 8{4} } "."} {}

Изводот не постои во x1 size 12{x rSub { size 8{1} } } {} бидејќи функцијата има прекин од прв ред во таа точка. Во точката x2 size 12{x rSub { size 8{2} } } {} функцијата е непрекината, но изводот во оваа точка не постои бидејќи едностраните граници limΔx→0±ΔyΔx size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ +- {}} } } } { {Δy} over {Δx} } } {} се конечни, но различни меѓу себе. Изводот не постои во x3 size 12{`x rSub { size 8{3} } } {} и x4 size 12{x rSub { size 8{4} } } {} бидејќи граничната вредност limΔx→0ΔyΔx size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } } {} е бесконечна.

Геометриска интрепретација на првиот извод Нека f(x) size 12{f \( x \) } {} е непрекината функција дефинирана на интервалот (a,b) size 12{ \( a,`b \) } {}. Правата AB, при што A и B се точки од кривата f(x) size 12{f \( x \) } {}, се вика секанта на кривата определена со точките A и B. Ако пуштиме точката B да се движи по кривата кон точката A, тогаш секантата ја менува својата положба. Граничната положба која ја зазема секантата кога B тежи кон A се вика тангента на кривата y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} во точката A.

Нека α size 12{α} {} е аголот што го зафаќа тангентата во точката A со позитивната насока на x-оската и е различен од π2 size 12{ { {π} over {2} } } {}, а β size 12{β} {} е аголот што го зафаќа секантата со позитивната насока од x-оската. Тогаш tgβ=ΔyΔx=f(x+Δx)−f(x)Δx size 12{" tg"β= { {Δy} over {Δx} } = { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } } {}, па tgα=limΔx→0 tgβ=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx size 12{"tg"α= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } " tg"β= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } } {}. Значи, коефициентот на правец на тангентата на кривата y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} во точката x0,f(x0) size 12{ left (x rSub { size 8{0} } ,`f \( x rSub { size 8{0} } \) right )} {} е k=f'x0 size 12{k=f' left (x rSub { size 8{0} } right )} {}, а равенката на тангентата е y − y 0 = f ' x 0 x − x 0 . size 12{y - y rSub { size 8{0} } =f' left (x rSub { size 8{0} } right ) left (x - x rSub { size 8{0} } right ) "." } {} Ако f'x0≠0 size 12{f' left (x rSub { size 8{0} } right ) <> 0} {}, тогаш равенката на нормалата на кривата во точката x0,f(x0) size 12{ left (x rSub { size 8{0} } ,`f \( x rSub { size 8{0} } \) right )} {} е y − y 0 = − 1 f ' x 0 x − x 0 . size 12{y - y rSub { size 8{0} } = - { {1} over {f' left (x rSub { size 8{0} } right )} } left (x - x rSub { size 8{0} } right ) "." } {} Ако f'x0=0 size 12{f' left (x rSub { size 8{0} } right )=0} {}, тогаш тангентата на кривата е паралелна со x-оската.