Нека
xx size 12{x} {} е точка што се движи по права така што зависноста на поминатиот пат од некоја почетна точка A од времето е дадена со
y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {}.
Нека во моментот
tt size 12{t} {} точката се наоѓа во позиција B. По изминато време
ΔtΔt size 12{Δt} {}, т.е. во моментот
t+Δtt+Δt size 12{t+Δt} {}, точката е во позиција C. Поминатиот пат до моментот
tt size 12{t} {} е
f(t)f(t) size 12{f \( t \) } {}, а до моментот
t+Δtt+Δt size 12{t+Δt} {} е
ft+Δtft+Δt size 12{f left (t+Δt right )} {}. Средната брзина
vsvs size 12{v rSub { size 8{s} } } {}на делот од патот BC е еднаква на односот меѓу промената на патот и промената на времето, т.е.
v
s
=
f
t
+
Δt
−
f
(
t
)
Δt
.
v
s
=
f
t
+
Δt
−
f
(
t
)
Δt
.
size 12{v rSub { size 8{s} } = { {f left (t+Δt right ) - f \( t \) } over {Δt} } "." } {}
Моментната брзина во точката B можеме да ја дефинираме како гранична вредност на средната брзина кога
C→BC→B size 12{C rightarrow B} {}, т.е. кога
Δt→0Δt→0 size 12{Δt rightarrow 0} {}, или
v(t)=limΔt→0ft+Δt−f(t)Δt,v(t)=limΔt→0ft+Δt−f(t)Δt, size 12{v \( t \) = {"lim"} cSub { size 8{Δt rightarrow 0} } { {f left (t+Δt right ) - f \( t \) } over {Δt} } ,} {} ако оваа гранична вредност постои.
Ја разгледуваме реалната функција
y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} дефинирана на интервалот
(a,b)∈R(a,b)∈R size 12{ \( a,`b \) in R} {}. Со
ΔxΔx size 12{Δx} {} го означуваме нараснувањето на аргументот на функцијата
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} во точката
x∈(a,b)x∈(a,b) size 12{x in \( a,`b \) } {}. Ако точката
x+Δx∈(a,b)x+Δx∈(a,b) size 12{x+Δx in \( a,`b \) } {}, тогаш реалниот број
Δy=fx+Δx−f(x)Δy=fx+Δx−f(x) size 12{Δy=f left (x+Δx right ) - f \( x \) } {} се нарекува нараснување на функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} во точката
xx size 12{x} {} кое соодветствува на нараснувањето на аргументот ΔxΔx size 12{Δx} {}. Количникот
ΔyΔx=fx+Δx−f(x)ΔxΔyΔx=fx+Δx−f(x)Δx size 12{ { {Δy} over {Δx} } = { {f left (x+Δx right ) - f \( x \) } over {Δx} } } {} не е дефиниран за
Δx=0Δx=0 size 12{Δx=0} {}. Се поставува прашањето дали постои граничната вредност на овој количник кога
Δx→0Δx→0 size 12{Δx rightarrow 0} {}.
Ако постои конечната гранична вредност
lim
Δx
→
0
Δy
Δx
=
lim
Δx
→
0
f
x
+
Δx
−
f
(
x
)
Δx
,
lim
Δx
→
0
Δy
Δx
=
lim
Δx
→
0
f
x
+
Δx
−
f
(
x
)
Δx
,
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (x+Δx right ) - f \( x \) } over {Δx} } ,} {}
tогаш таа гранична вредност се нарекува извод на функцијата
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} во точката
xx size 12{x} {} и се означува со
f'(x)=limΔx→0fx+Δx−f(x)Δxf'(x)=limΔx→0fx+Δx−f(x)Δx size 12{f' \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (x+Δx right ) - f \( x \) } over {Δx} } } {} или
y'=limΔx→0fx+Δx−f(x)Δx.y'=limΔx→0fx+Δx−f(x)Δx. size 12{y'= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (x+Δx right ) - f \( x \) } over {Δx} } "." } {}
Да се определи
f'(2)f'(2) size 12{f' \( 2 \) } {}, ако
f(x)=x2+1.f(x)=x2+1. size 12{f \( x \) =x rSup { size 8{2} } +1 "." } {}
f
'
(
2
)
=
lim
Δx
→
0
f
2
+
Δx
−
f
(
2
)
Δx
=
lim
Δx
→
0
2
+
Δx
2
+
1
−
2
2
−
1
Δx
=
lim
Δx
→
0
4
+
4Δx
+
(
Δx
)
2
−
4
Δx
=
=
lim
Δx
→
0
(
4
+
Δx
)
=
4
.
f
'
(
2
)
=
lim
Δx
→
0
f
2
+
Δx
−
f
(
2
)
Δx
=
lim
Δx
→
0
2
+
Δx
2
+
1
−
2
2
−
1
Δx
=
lim
Δx
→
0
4
+
4Δx
+
(
Δx
)
2
−
4
Δx
=
=
lim
Δx
→
0
(
4
+
Δx
)
=
4
.
alignl { stack {
size 12{f' \( 2 \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (2+Δx right ) - f \( 2 \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { { left (2+Δx right ) rSup { size 8{2} } +1 - 2 rSup { size 8{2} } - 1} over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {4+4Δx+ \( Δx \) rSup { size 8{2} } - 4} over {Δx} } ={}} {} #
~~``= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } \( 4+Δx \) =4 "." {}
} } {}
Ако функцијата
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} има извод во точката
xx size 12{x} {}, тогаш велиме дека таа е диференцијабилна во таа точка. Ако функцијата
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} има извод во секоја точка од интервалот
(a,b)(a,b) size 12{ \( a,`b \) } {}, тогаш со пресликувањето
x↦f'(x)x↦f'(x) size 12{x↦f' \( x \) } {} се дефинира функција која е извод на функцијата
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {}.
Ако функцијата
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {}е диференцијабилна во точката
x=ax=a size 12{x=a} {}, тогаш таа е непрекината во таа точка.
Треба да покажеме дека постои
limx→af(x)limx→af(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } {} и
limx→af(x)=f(a)limx→af(x)=f(a) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =f \( a \) } {}, а тоа е еквивалентно со
limΔx→0Δy=0limΔx→0Δy=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } Δy=0} {}, т.е.
limΔx→0f(a+Δx)=f(a).limΔx→0f(a+Δx)=f(a). size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f \( a+Δx \) =f \( a \) "." } {} Од диференцијабилноста на функцијата во точката
x=ax=a size 12{x=a} {} следува дека постои
f'(a)f'(a) size 12{f' \( a \) "." } {} Тогаш
lim
Δx
→
0
f
(
a
+
Δx
)
−
f
(
a
)
=
lim
Δx
→
0
f
a
+
Δx
−
f
(
a
)
Δx
Δx
=
lim
Δx
→
0
f
a
+
Δx
−
f
(
a
)
Δx
lim
Δx
→
0
Δx
=
0
.
lim
Δx
→
0
f
(
a
+
Δx
)
−
f
(
a
)
=
lim
Δx
→
0
f
a
+
Δx
−
f
(
a
)
Δx
Δx
=
lim
Δx
→
0
f
a
+
Δx
−
f
(
a
)
Δx
lim
Δx
→
0
Δx
=
0
.
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } left [f \( a+Δx \) - f \( a \) right ]= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (a+Δx right ) - f \( a \) } over {Δx} } Δx= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (a+Δx right ) - f \( a \) } over {Δx} } {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } Δx=0 "." } {}
Значи
0=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)=limΔx→0fa+Δx−limΔx→0f(a).0=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)=limΔx→0fa+Δx−limΔx→0f(a). size 12{0= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } left [f \( a+Δx \) - f \( a \) right ]= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f left (a+Δx right ) - {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f \( a \) "." } {}
Но
f(a)f(a) size 12{f \( a \) } {} е константа, па
limΔx→0f(a)=f(a)limΔx→0f(a)=f(a) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f \( a \) =f \( a \) } {}, од каде што следува дека
limΔx→0fa+Δx=limΔx→0f(a)=f(a).limΔx→0fa+Δx=limΔx→0f(a)=f(a). size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f left (a+Δx right )= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f \( a \) =f \( a \) "." } {}
Обратното не мора да важи.
Функцијата
f(x)=∣x∣f(x)=∣x∣ size 12{f \( x \) = lline x rline } {} е непрекината на целата реална права, но не е диференцијабилна во точката
x=0x=0 size 12{x=0} {}.
Навистина,
ΔyΔx=f(0+Δx)−f(0)Δx=∣Δx∣Δx={1,Δx>0не е деф.,Δx=0−1,Δx<0ΔyΔx=f(0+Δx)−f(0)Δx=∣Δx∣Δx={1,Δx>0не е деф.,Δx=0−1,Δx<0 size 12{ { {Δy} over {Δx} } = { {f \( 0+Δx \) - f \( 0 \) } over {Δx} } = { { lline Δx rline } over {Δx} } = left lbrace matrix {
1, {} # Δx>0 {} ##
"не е деф" "." , {} # Δx=0 {} ##
- 1, {} # Δx<0{}
} right none } {}.
Значи
limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } } {} не постои.
Функциjата чиј график е претставен на следнава слика не е диференцијабилна во точките
x1,x2,x3x1,x2,x3 size 12{x rSub { size 8{1} } ,`x rSub { size 8{2} } ,`x rSub { size 8{3} } } {} и
x4x4 size 12{x rSub { size 8{4} } "."} {}
- Изводот не постои во
x1x1 size 12{x rSub { size 8{1} } } {} бидејќи функцијата има прекин од прв ред во таа точка.
- Во точката
x2x2 size 12{x rSub { size 8{2} } } {} функцијата е непрекината, но изводот во оваа точка не постои бидејќи едностраните граници
limΔx→0±ΔyΔxlimΔx→0±ΔyΔx size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ +- {}} } } } { {Δy} over {Δx} } } {} се конечни, но различни меѓу себе.
- Изводот не постои во
x3x3 size 12{`x rSub { size 8{3} } } {} и
x4x4 size 12{x rSub { size 8{4} } } {} бидејќи граничната вредност
limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } } {} е бесконечна.
Нека
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} е непрекината функција дефинирана на интервалот
(a,b)(a,b) size 12{ \( a,`b \) } {}. Правата AB, при што A и B се точки од кривата
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {}, се вика секанта на кривата определена со точките A и B. Ако пуштиме точката B да се движи по кривата кон точката A, тогаш секантата ја менува својата положба. Граничната положба која ја зазема секантата кога B тежи кон A се вика тангента на кривата
y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} во точката A.
Нека
αα size 12{α} {} е аголот што го зафаќа тангентата во точката A со позитивната насока на x-оската и е различен од
π2π2 size 12{ { {π} over {2} } } {}, а
ββ size 12{β} {} е аголот што го зафаќа секантата со позитивната насока од x-оската. Тогаш
tgβ=ΔyΔx=f(x+Δx)−f(x)Δx tgβ=ΔyΔx=f(x+Δx)−f(x)Δx size 12{" tg"β= { {Δy} over {Δx} } = { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } } {}, па
tgα=limΔx→0 tgβ=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δxtgα=limΔx→0 tgβ=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx size 12{"tg"α= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } " tg"β= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } } {}.
Значи, коефициентот на правец на тангентата на кривата
y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} во точката
x0,f(x0)x0,f(x0) size 12{ left (x rSub { size 8{0} } ,`f \( x rSub { size 8{0} } \) right )} {} е
k=f'x0k=f'x0 size 12{k=f' left (x rSub { size 8{0} } right )} {}, а равенката на тангентата е
y
−
y
0
=
f
'
x
0
x
−
x
0
.
y
−
y
0
=
f
'
x
0
x
−
x
0
.
size 12{y - y rSub { size 8{0} } =f' left (x rSub { size 8{0} } right ) left (x - x rSub { size 8{0} } right ) "." } {}
Ако
f'x0≠0f'x0≠0 size 12{f' left (x rSub { size 8{0} } right ) <> 0} {}, тогаш равенката на нормалата на кривата во точката
x0,f(x0)x0,f(x0) size 12{ left (x rSub { size 8{0} } ,`f \( x rSub { size 8{0} } \) right )} {} е
y
−
y
0
=
−
1
f
'
x
0
x
−
x
0
.
y
−
y
0
=
−
1
f
'
x
0
x
−
x
0
.
size 12{y - y rSub { size 8{0} } = - { {1} over {f' left (x rSub { size 8{0} } right )} } left (x - x rSub { size 8{0} } right ) "." } {}
Ако
f'x0=0f'x0=0 size 12{f' left (x rSub { size 8{0} } right )=0} {}, тогаш тангентата на кривата е паралелна со x-оската.
