Извод на реална функција од една променлива

Диференцијално сметање на функции од една реална променлива

Изводи

Нека x

x size 12{x} {}

е точка што се движи по права така што зависноста на поминатиот пат од некоја почетна точка A од времето е дадена со y=f(x)

y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {}

.

Нека во моментот t

t size 12{t} {}

точката се наоѓа во позиција B. По изминато време Δt

Δt size 12{Δt} {}

, т.е. во моментот t+Δt

t+Δt size 12{t+Δt} {}

, точката е во позиција C. Поминатиот пат до моментот t

t size 12{t} {}

е f(t)

f(t) size 12{f \( t \) } {}

, а до моментот t+Δt

t+Δt size 12{t+Δt} {}

е ft+Δt

ft+Δt size 12{f left (t+Δt right )} {}

. Средната брзина vs

vs size 12{v rSub { size 8{s} } } {}

на делот од патот BC е еднаква на односот меѓу промената на патот и промената на времето, т.е.

v s = f t + Δt − f ( t ) Δt .

v s = f t + Δt − f ( t ) Δt . size 12{v rSub { size 8{s} } = { {f left (t+Δt right ) - f \( t \) } over {Δt} } "." } {}

Моментната брзина во точката B можеме да ја дефинираме како гранична вредност на средната брзина кога C→B

C→B size 12{C rightarrow B} {}

, т.е. кога Δt→0

Δt→0 size 12{Δt rightarrow 0} {}

, или v(t)=limΔt→0ft+Δt−f(t)Δt,

v(t)=limΔt→0ft+Δt−f(t)Δt, size 12{v \( t \) = {"lim"} cSub { size 8{Δt rightarrow 0} } { {f left (t+Δt right ) - f \( t \) } over {Δt} } ,} {}

ако оваа гранична вредност постои.

Ја разгледуваме реалната функција y=f(x)

y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {}

дефинирана на интервалот (a,b)∈R

(a,b)∈R size 12{ \( a,`b \) in R} {}

. Со Δx

Δx size 12{Δx} {}

го означуваме нараснувањето на аргументот на функцијата f(x)

f(x) size 12{f \( x \) } {}

во точката x∈(a,b)

x∈(a,b) size 12{x in \( a,`b \) } {}

. Ако точката x+Δx∈(a,b)

x+Δx∈(a,b) size 12{x+Δx in \( a,`b \) } {}

, тогаш реалниот број Δy=fx+Δx−f(x)

Δy=fx+Δx−f(x) size 12{Δy=f left (x+Δx right ) - f \( x \) } {}

се нарекува нараснување на функцијата f(x)

f(x) size 12{f \( x \) } {}

во точката x

x size 12{x} {}

кое соодветствува на нараснувањето на аргументот Δx

Δx size 12{Δx} {}

. Количникот ΔyΔx=fx+Δx−f(x)Δx

ΔyΔx=fx+Δx−f(x)Δx size 12{ { {Δy} over {Δx} } = { {f left (x+Δx right ) - f \( x \) } over {Δx} } } {}

не е дефиниран за Δx=0

Δx=0 size 12{Δx=0} {}

. Се поставува прашањето дали постои граничната вредност на овој количник кога Δx→0

Δx→0 size 12{Δx rightarrow 0} {}

.

Дефиниција.

Ако постои конечната гранична вредност

lim Δx → 0 Δy Δx = lim Δx → 0 f x + Δx − f ( x ) Δx ,

lim Δx → 0 Δy Δx = lim Δx → 0 f x + Δx − f ( x ) Δx , size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (x+Δx right ) - f \( x \) } over {Δx} } ,} {}

tогаш таа гранична вредност се нарекува извод на функцијата f(x)

f(x) size 12{f \( x \) } {}

во точката x

x size 12{x} {}

и се означува со

f'(x)=limΔx→0fx+Δx−f(x)Δx

f'(x)=limΔx→0fx+Δx−f(x)Δx size 12{f' \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (x+Δx right ) - f \( x \) } over {Δx} } } {}

или y'=limΔx→0fx+Δx−f(x)Δx.

y'=limΔx→0fx+Δx−f(x)Δx. size 12{y'= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (x+Δx right ) - f \( x \) } over {Δx} } "." } {}

Пример.

Да се определи f'(2)

f'(2) size 12{f' \( 2 \) } {}

, ако f(x)=x2+1.

f(x)=x2+1. size 12{f \( x \) =x rSup { size 8{2} } +1 "." } {}

f ' ( 2 ) = lim Δx → 0 f 2 + Δx − f ( 2 ) Δx = lim Δx → 0 2 + Δx 2 + 1 − 2 2 − 1 Δx = lim Δx → 0 4 + 4Δx + ( Δx ) 2 − 4 Δx = = lim Δx → 0 ( 4 + Δx ) = 4 .

f ' ( 2 ) = lim Δx → 0 f 2 + Δx − f ( 2 ) Δx = lim Δx → 0 2 + Δx 2 + 1 − 2 2 − 1 Δx = lim Δx → 0 4 + 4Δx + ( Δx ) 2 − 4 Δx = = lim Δx → 0 ( 4 + Δx ) = 4 . alignl { stack { size 12{f' \( 2 \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (2+Δx right ) - f \( 2 \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { { left (2+Δx right ) rSup { size 8{2} } +1 - 2 rSup { size 8{2} } - 1} over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {4+4Δx+ \( Δx \) rSup { size 8{2} } - 4} over {Δx} } ={}} {} # ~~``= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } \( 4+Δx \) =4 "." {} } } {}

Ако функцијата f(x)

f(x) size 12{f \( x \) } {}

има извод во точката x

x size 12{x} {}

, тогаш велиме дека таа е диференцијабилна во таа точка. Ако функцијата f(x)

f(x) size 12{f \( x \) } {}

има извод во секоја точка од интервалот (a,b)

(a,b) size 12{ \( a,`b \) } {}

, тогаш со пресликувањето x↦f'(x)

x↦f'(x) size 12{x↦f' \( x \) } {}

се дефинира функција која е извод на функцијата f(x)

f(x) size 12{f \( x \) } {}

.

Теорема.

Ако функцијата f(x)

f(x) size 12{f \( x \) } {}

е диференцијабилна во точката x=a

x=a size 12{x=a} {}

, тогаш таа е непрекината во таа точка.

Доказ.

Треба да покажеме дека постои limx→af(x)

limx→af(x) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } {}

и limx→af(x)=f(a)

limx→af(x)=f(a) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =f \( a \) } {}

, а тоа е еквивалентно со limΔx→0Δy=0

limΔx→0Δy=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } Δy=0} {}

, т.е. limΔx→0f(a+Δx)=f(a).

limΔx→0f(a+Δx)=f(a). size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f \( a+Δx \) =f \( a \) "." } {}

Од диференцијабилноста на функцијата во точката x=a

x=a size 12{x=a} {}

следува дека постои f'(a)

f'(a) size 12{f' \( a \) "." } {}

Тогаш

lim Δx → 0 f ( a + Δx ) − f ( a ) = lim Δx → 0 f a + Δx − f ( a ) Δx Δx = lim Δx → 0 f a + Δx − f ( a ) Δx lim Δx → 0 Δx = 0 .

lim Δx → 0 f ( a + Δx ) − f ( a ) = lim Δx → 0 f a + Δx − f ( a ) Δx Δx = lim Δx → 0 f a + Δx − f ( a ) Δx lim Δx → 0 Δx = 0 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } left [f \( a+Δx \) - f \( a \) right ]= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (a+Δx right ) - f \( a \) } over {Δx} } Δx= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f left (a+Δx right ) - f \( a \) } over {Δx} } {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } Δx=0 "." } {}

Значи 0=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)=limΔx→0fa+Δx−limΔx→0f(a).

0=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)=limΔx→0fa+Δx−limΔx→0f(a). size 12{0= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } left [f \( a+Δx \) - f \( a \) right ]= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f left (a+Δx right ) - {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f \( a \) "." } {}

Но f(a)

f(a) size 12{f \( a \) } {}

е константа, па limΔx→0f(a)=f(a)

limΔx→0f(a)=f(a) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f \( a \) =f \( a \) } {}

, од каде што следува дека limΔx→0fa+Δx=limΔx→0f(a)=f(a).

limΔx→0fa+Δx=limΔx→0f(a)=f(a). size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f left (a+Δx right )= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } f \( a \) =f \( a \) "." } {}

Обратното не мора да важи.

Пример.

Функцијата f(x)=∣x∣

f(x)=∣x∣ size 12{f \( x \) = lline x rline } {}

е непрекината на целата реална права, но не е диференцијабилна во точката x=0

x=0 size 12{x=0} {}

.

Навистина,

ΔyΔx=f(0+Δx)−f(0)Δx=∣Δx∣Δx={1,Δx>0не е деф.,Δx=0−1,Δx<0

ΔyΔx=f(0+Δx)−f(0)Δx=∣Δx∣Δx={1,Δx>0не е деф.,Δx=0−1,Δx<0 size 12{ { {Δy} over {Δx} } = { {f \( 0+Δx \) - f \( 0 \) } over {Δx} } = { { lline Δx rline } over {Δx} } = left lbrace matrix { 1, {} # Δx>0 {} ## "не е деф" "." , {} # Δx=0 {} ## - 1, {} # Δx<0{} } right none } {}

.

Значи limΔx→0ΔyΔx

limΔx→0ΔyΔx size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } } {}

не постои.

Пример.

Функциjата чиј график е претставен на следнава слика не е диференцијабилна во точките x1,x2,x3

x1,x2,x3 size 12{x rSub { size 8{1} } ,`x rSub { size 8{2} } ,`x rSub { size 8{3} } } {}

и x4

x4 size 12{x rSub { size 8{4} } "."} {}

Figure 1

Изводот не постои во x1x1 size 12{x rSub { size 8{1} } } {} бидејќи функцијата има прекин од прв ред во таа точка.
Во точката x2x2 size 12{x rSub { size 8{2} } } {} функцијата е непрекината, но изводот во оваа точка не постои бидејќи едностраните граници limΔx→0±ΔyΔxlimΔx→0±ΔyΔx size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ +- {}} } } } { {Δy} over {Δx} } } {} се конечни, но различни меѓу себе.
Изводот не постои во x3x3 size 12{`x rSub { size 8{3} } } {} и x4x4 size 12{x rSub { size 8{4} } } {} бидејќи граничната вредност limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } } {} е бесконечна.

Геометриска интрепретација на првиот извод

Нека f(x)

f(x) size 12{f \( x \) } {}

е непрекината функција дефинирана на интервалот (a,b)

(a,b) size 12{ \( a,`b \) } {}

. Правата AB, при што A и B се точки од кривата f(x)

f(x) size 12{f \( x \) } {}

, се вика секанта на кривата определена со точките A и B. Ако пуштиме точката B да се движи по кривата кон точката A, тогаш секантата ја менува својата положба. Граничната положба која ја зазема секантата кога B тежи кон A се вика тангента на кривата y=f(x)

y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {}

во точката A.

Figure 2

Нека α

α size 12{α} {}

е аголот што го зафаќа тангентата во точката A со позитивната насока на x-оската и е различен од π2

π2 size 12{ { {π} over {2} } } {}

, а β

β size 12{β} {}

е аголот што го зафаќа секантата со позитивната насока од x-оската. Тогаш tgβ=ΔyΔx=f(x+Δx)−f(x)Δx

tgβ=ΔyΔx=f(x+Δx)−f(x)Δx size 12{" tg"β= { {Δy} over {Δx} } = { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } } {}

, па tgα=limΔx→0 tgβ=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx

tgα=limΔx→0 tgβ=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx size 12{"tg"α= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } " tg"β= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } } {}

.

Значи, коефициентот на правец на тангентата на кривата y=f(x)

y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {}

во точката x0,f(x0)

x0,f

Connexions

Similar content

Collections using this content

Извод на реална функција од една променлива

Диференцијално сметање на функции од една реална променлива

Изводи

Дефиниција.

Пример.

Теорема.

Доказ.

Пример.

Пример.

Геометриска интрепретација на првиот извод