Еднострани изводи Десен извод на функцијата f(x) size 12{f \( x \) } {} дефинирана на интервалот y=[x,x+δ),δ>0 size 12{y= \[x,`x+δ\),``δ>0} {} во точката x size 12{x} {} е граничната вредност lim Δx → 0 + f ( x + Δx ) − f ( x ) Δx = f ' ( x + 0 ) , x + Δx ∈ [ x , x + δ ) , size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } =f' \( x+0 \) ,~x+Δx in \[x,`x+δ\),} {} ако таа постои и е конечна. Лев извод на функцијата f(x) size 12{f \( x \) } {} дефинирана на интервалот y=(x−δ,x],δ>0 size 12{y= \(x - δ,`x\],``δ>0} {} во точката x size 12{x} {} е граничната вредност lim Δx → 0 − f ( x + Δx ) − f ( x ) Δx = f ' ( x − 0 ) , x + Δx ∈ ( x − δ , x ] , size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } =f' \( x - 0 \) ,~x+Δx in \(x - δ,`x\],} {} ако таа постои и е конечна. Левиот и десниот извод на функцијата се викаат еднострани изводи. Функцијата f(x) size 12{f \( x \) } {} е диференцијабилна во точката x size 12{x} {} ако и само ако постојат левиот и десниот извод на функцијата во таа точка и притоа f ' ( x + 0 ) = f ' ( x − 0 ) = f ' ( x ) . size 12{f' \( x+0 \) =f' \( x - 0 \) =f' \( x \) "." } {} За функцијата f(x) size 12{f \( x \) } {} велиме дека има извод на интервалот I1=[a,b),I2=(a,b],I3=a,b size 12{I rSub { size 8{1} } = \[a,`b\),~I rSub { size 8{2} } = \(a,`b\],~I rSub { size 8{3} } = left [a,`b right ]} {} ако f(x) size 12{f \( x \) } {} има извод во секоја точка од (a,b); size 12{ \( a,`b \) ;} {} во точката a size 12{a} {}функцијата има десен извод за I1 size 12{I rSub { size 8{1} } } {} и I3; size 12{I rSub { size 8{3} } ;} {} во точката b size 12{b} {}функцијата има десен извод за I2 size 12{I rSub { size 8{2} } } {} и I3. size 12{I rSub { size 8{3} } "." } {}

Пример. Да се определи вредноста на параметарот a size 12{a} {} така што функцијата fx={x+1,x≤13−ax2,x>1 size 12{f left (x right )= left lbrace matrix { x+1, {} # x <= 1 {} ## 3 - ital "ax" rSup { size 8{2} } , {} # x>1{} } right none } {} да биде непрекината. За определената вредност на a size 12{a} {}, да се провери дали функцијата е диференцијабилна во точката x=1 size 12{x=1} {}. Функцијата е дефинирана со различен аналитички израз лево и десно од точката x=1 size 12{x=1} {}. Во двата случаи таа е полиномна функција, па според тоа е непрекината. Единствен можен прекин е точката x=1 size 12{x=1} {}. Функцијата е дефинирана во оваа точка и f(1)=2 size 12{f \( 1 \) =2} {}. Ги бараме едностраните граници во оваа точка: lim x → 1 − f ( x ) = lim x → 1 − x + 1 = 2 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } left ( size 12{x+1} right ) size 12{ {}=2}} {} lim x → 1 + f ( x ) = lim x → 1 + 3 − ax 2 = 3 − a . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } left ( size 12{3 - ital "ax" rSup {2} } right ) size 12{ {}=3 - a "." }} {} Од условот lim x → 1 − f ( x ) = lim x → 1 + f ( x ) = f ( 1 ) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) =f \( 1 \) }} {} добиваме дека a=1 size 12{a=1} {}. Значи функцијата fx={x+1,x≤13−x2,x>1 size 12{f left (x right )= left lbrace matrix { x+1, {} # x <= 1 {} ## 3 - x rSup { size 8{2} } , {} # x>1{} } right none } {} е непрекината на целата реална права. Таа ќе биде диференцијабилна во точката x=1 size 12{x=1} {} ако важи f'(1−0)=f'(1+0). size 12{f' \( 1 - 0 \) =f' \( 1+0 \) "." } {} f ' ( 1 − 0 ) = lim Δx → 0 − f ( 1 + Δx ) − f ( 1 ) Δx = lim Δx → 0 − 1 + Δx + 1 − 2 Δx = 1 size 12{f' \( 1 - 0 \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } } { {f \( 1+Δx \) - f \( 1 \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub {Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } { { size 12{1+Δx+1 - 2} } over { size 12{Δx} } } size 12{ {}=1}} {} f ' ( 1 + 0 ) = lim Δx → 0 + f ( 1 + Δx ) − f ( 1 ) Δx = lim Δx → 0 + 3 − 1 + Δx 2 − 2 Δx = lim Δx → 0 + 1 − 1 − 2Δx − Δx 2 Δx = lim Δx → 0 + − 2 − Δx = − 2 . alignl { stack { size 12{f' \( 1+0 \) {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } { {f \( 1+Δx \) - f \( 1 \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub {Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } { { size 12{3 - left (1+Δx right ) rSup {2} size 12{ - 2}} } over { size 12{Δx} } } size 12{ {}= {"lim"} cSub {Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } { { size 12{1 - 1 - 2Δx - left (Δx right ) rSup {2} } } over { size 12{Δx} } } } size 12{ {}{}}} {} # size 12{~~~``= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } left ( - 2 - Δx right )= - 2 "." } {} } } {} Според тоа, функцијата не е диференцијабилна во точката x=1 size 12{x=1} {}.