Skip to content Skip to navigation

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Еднострани изводи

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Еднострани изводи

Module by: Sonja Gegovska-Zajkova. E-mail the author

Summary: Се дефинираат едностраните изводи на реална функција од една реална променлива.

Еднострани изводи

Десен извод на функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} дефинирана на интервалот y=[x,x+δ),δ>0y=[x,x+δ),δ>0 size 12{y= \[x,`x+δ\),``δ>0} {} во точката xx size 12{x} {} е граничната вредност

lim Δx 0 + f ( x + Δx ) f ( x ) Δx = f ' ( x + 0 ) , x + Δx [ x , x + δ ) , lim Δx 0 + f ( x + Δx ) f ( x ) Δx = f ' ( x + 0 ) , x + Δx [ x , x + δ ) , size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } =f' \( x+0 \) ,~x+Δx in \[x,`x+δ\),} {}

ако таа постои и е конечна.

Лев извод на функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} дефинирана на интервалот y=(xδ,x],δ>0y=(xδ,x],δ>0 size 12{y= \(x - δ,`x\],``δ>0} {} во точката xx size 12{x} {} е граничната вредност

lim Δx 0 f ( x + Δx ) f ( x ) Δx = f ' ( x 0 ) , x + Δx ( x δ , x ] , lim Δx 0 f ( x + Δx ) f ( x ) Δx = f ' ( x 0 ) , x + Δx ( x δ , x ] , size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } =f' \( x - 0 \) ,~x+Δx in \(x - δ,`x\],} {}

ако таа постои и е конечна.

Левиот и десниот извод на функцијата се викаат еднострани изводи.

Функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} е диференцијабилна во точката xx size 12{x} {} ако и само ако постојат левиот и десниот извод на функцијата во таа точка и притоа

f ' ( x + 0 ) = f ' ( x 0 ) = f ' ( x ) . f ' ( x + 0 ) = f ' ( x 0 ) = f ' ( x ) . size 12{f' \( x+0 \) =f' \( x - 0 \) =f' \( x \) "." } {}

За функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} велиме дека има извод на интервалот I1=[a,b),I2=(a,b],I3=a,bI1=[a,b),I2=(a,b],I3=a,b size 12{I rSub { size 8{1} } = \[a,`b\),~I rSub { size 8{2} } = \(a,`b\],~I rSub { size 8{3} } = left [a,`b right ]} {}

  1. ако f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} има извод во секоја точка од (a,b);(a,b); size 12{ \( a,`b \) ;} {}
  2. во точката aa size 12{a} {}функцијата има десен извод за I1I1 size 12{I rSub { size 8{1} } } {} и I3;I3; size 12{I rSub { size 8{3} } ;} {}
  3. во точката bb size 12{b} {}функцијата има десен извод за I2I2 size 12{I rSub { size 8{2} } } {} и I3.I3. size 12{I rSub { size 8{3} } "." } {}

Пример.

Да се определи вредноста на параметарот aa size 12{a} {} така што функцијата fx={x+1,x13ax2,x>1fx={x+1,x13ax2,x>1 size 12{f left (x right )= left lbrace matrix { x+1, {} # x <= 1 {} ## 3 - ital "ax" rSup { size 8{2} } , {} # x>1{} } right none } {} да биде непрекината. За определената вредност на aa size 12{a} {}, да се провери дали функцијата е диференцијабилна во точката x=1x=1 size 12{x=1} {}.

Функцијата е дефинирана со различен аналитички израз лево и десно од точката x=1x=1 size 12{x=1} {}. Во двата случаи таа е полиномна функција, па според тоа е непрекината. Единствен можен прекин е точката x=1x=1 size 12{x=1} {}. Функцијата е дефинирана во оваа точка и f(1)=2f(1)=2 size 12{f \( 1 \) =2} {}. Ги бараме едностраните граници во оваа точка:

lim x 1 f ( x ) = lim x 1 x + 1 = 2 lim x 1 f ( x ) = lim x 1 x + 1 = 2 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } left ( size 12{x+1} right ) size 12{ {}=2}} {}

lim x 1 + f ( x ) = lim x 1 + 3 ax 2 = 3 a . lim x 1 + f ( x ) = lim x 1 + 3 ax 2 = 3 a . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } left ( size 12{3 - ital "ax" rSup {2} } right ) size 12{ {}=3 - a "." }} {}

Од условот

lim x 1 f ( x ) = lim x 1 + f ( x ) = f ( 1 ) lim x 1 f ( x ) = lim x 1 + f ( x ) = f ( 1 ) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) =f \( 1 \) }} {}

добиваме дека a=1a=1 size 12{a=1} {}. Значи функцијата fx={x+1,x13x2,x>1fx={x+1,x13x2,x>1 size 12{f left (x right )= left lbrace matrix { x+1, {} # x <= 1 {} ## 3 - x rSup { size 8{2} } , {} # x>1{} } right none } {} е непрекината на целата реална права.

Таа ќе биде диференцијабилна во точката x=1x=1 size 12{x=1} {} ако важи f'(10)=f'(1+0).f'(10)=f'(1+0). size 12{f' \( 1 - 0 \) =f' \( 1+0 \) "." } {}

f ' ( 1 0 ) = lim Δx 0 f ( 1 + Δx ) f ( 1 ) Δx = lim Δx 0 1 + Δx + 1 2 Δx = 1 f ' ( 1 0 ) = lim Δx 0 f ( 1 + Δx ) f ( 1 ) Δx = lim Δx 0 1 + Δx + 1 2 Δx = 1 size 12{f' \( 1 - 0 \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } } { {f \( 1+Δx \) - f \( 1 \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub {Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } { { size 12{1+Δx+1 - 2} } over { size 12{Δx} } } size 12{ {}=1}} {}

f ' ( 1 + 0 ) = lim Δx 0 + f ( 1 + Δx ) f ( 1 ) Δx = lim Δx 0 + 3 1 + Δx 2 2 Δx = lim Δx 0 + 1 1 2Δx Δx 2 Δx = lim Δx 0 + 2 Δx = 2 . f ' ( 1 + 0 ) = lim Δx 0 + f ( 1 + Δx ) f ( 1 ) Δx = lim Δx 0 + 3 1 + Δx 2 2 Δx = lim Δx 0 + 1 1 2Δx Δx 2 Δx = lim Δx 0 + 2 Δx = 2 . alignl { stack { size 12{f' \( 1+0 \) {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } { {f \( 1+Δx \) - f \( 1 \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub {Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } { { size 12{3 - left (1+Δx right ) rSup {2} size 12{ - 2}} } over { size 12{Δx} } } size 12{ {}= {"lim"} cSub {Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } { { size 12{1 - 1 - 2Δx - left (Δx right ) rSup {2} } } over { size 12{Δx} } } } size 12{ {}{}}} {} # size 12{~~~``= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } left ( - 2 - Δx right )= - 2 "." } {} } } {}

Според тоа, функцијата не е диференцијабилна во точката x=1x=1 size 12{x=1} {}.

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks