Десен извод на функцијата
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} дефинирана на интервалот
y=[x,x+δ),δ>0y=[x,x+δ),δ>0 size 12{y= \[x,`x+δ\),``δ>0} {} во точката
xx size 12{x} {} е граничната вредност
lim
Δx
→
0
+
f
(
x
+
Δx
)
−
f
(
x
)
Δx
=
f
'
(
x
+
0
)
,
x
+
Δx
∈
[
x
,
x
+
δ
)
,
lim
Δx
→
0
+
f
(
x
+
Δx
)
−
f
(
x
)
Δx
=
f
'
(
x
+
0
)
,
x
+
Δx
∈
[
x
,
x
+
δ
)
,
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } =f' \( x+0 \) ,~x+Δx in \[x,`x+δ\),} {}
ако таа постои и е конечна.
Лев извод на функцијата
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} дефинирана на интервалот
y=(x−δ,x],δ>0y=(x−δ,x],δ>0 size 12{y= \(x - δ,`x\],``δ>0} {} во точката
xx size 12{x} {} е граничната вредност
lim
Δx
→
0
−
f
(
x
+
Δx
)
−
f
(
x
)
Δx
=
f
'
(
x
−
0
)
,
x
+
Δx
∈
(
x
−
δ
,
x
]
,
lim
Δx
→
0
−
f
(
x
+
Δx
)
−
f
(
x
)
Δx
=
f
'
(
x
−
0
)
,
x
+
Δx
∈
(
x
−
δ
,
x
]
,
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } =f' \( x - 0 \) ,~x+Δx in \(x - δ,`x\],} {}
ако таа постои и е конечна.
Левиот и десниот извод на функцијата се викаат еднострани изводи.
Функцијата
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} е диференцијабилна во точката
xx size 12{x} {} ако и само ако постојат левиот и десниот извод на функцијата во таа точка и притоа
f
'
(
x
+
0
)
=
f
'
(
x
−
0
)
=
f
'
(
x
)
.
f
'
(
x
+
0
)
=
f
'
(
x
−
0
)
=
f
'
(
x
)
.
size 12{f' \( x+0 \) =f' \( x - 0 \) =f' \( x \) "." } {}
За функцијата
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} велиме дека има извод на интервалот
I1=[a,b),I2=(a,b],I3=a,bI1=[a,b),I2=(a,b],I3=a,b size 12{I rSub { size 8{1} } = \[a,`b\),~I rSub { size 8{2} } = \(a,`b\],~I rSub { size 8{3} } = left [a,`b right ]} {}
- ако
f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} има извод во секоја точка од
(a,b);(a,b); size 12{ \( a,`b \) ;} {}
- во точката
aa size 12{a} {}функцијата има десен извод за
I1I1 size 12{I rSub { size 8{1} } } {} и
I3;I3; size 12{I rSub { size 8{3} } ;} {}
- во точката
bb size 12{b} {}функцијата има десен извод за
I2I2 size 12{I rSub { size 8{2} } } {} и
I3.I3. size 12{I rSub { size 8{3} } "." } {}
Да се определи вредноста на параметарот
aa size 12{a} {} така што функцијата
fx={x+1,x≤13−ax2,x>1fx={x+1,x≤13−ax2,x>1 size 12{f left (x right )= left lbrace matrix {
x+1, {} # x <= 1 {} ##
3 - ital "ax" rSup { size 8{2} } , {} # x>1{}
} right none } {} да биде непрекината. За определената вредност на
aa size 12{a} {}, да се провери дали функцијата е диференцијабилна во точката
x=1x=1 size 12{x=1} {}.
Функцијата е дефинирана со различен аналитички израз лево и десно од точката
x=1x=1 size 12{x=1} {}. Во двата случаи таа е полиномна функција, па според тоа е непрекината. Единствен можен прекин е точката
x=1x=1 size 12{x=1} {}. Функцијата е дефинирана во оваа точка и
f(1)=2f(1)=2 size 12{f \( 1 \) =2} {}. Ги бараме едностраните граници во оваа точка:
lim
x
→
1
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
1
−
x
+
1
=
2
lim
x
→
1
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
1
−
x
+
1
=
2
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } left ( size 12{x+1} right ) size 12{ {}=2}} {}
lim
x
→
1
+
f
(
x
)
=
lim
x
→
1
+
3
−
ax
2
=
3
−
a
.
lim
x
→
1
+
f
(
x
)
=
lim
x
→
1
+
3
−
ax
2
=
3
−
a
.
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } left ( size 12{3 - ital "ax" rSup {2} } right ) size 12{ {}=3 - a "." }} {}
Од условот
lim
x
→
1
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
1
+
f
(
x
)
=
f
(
1
)
lim
x
→
1
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
1
+
f
(
x
)
=
f
(
1
)
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } size 12{f \( x \) =f \( 1 \) }} {}
добиваме дека
a=1a=1 size 12{a=1} {}. Значи функцијата
fx={x+1,x≤13−x2,x>1fx={x+1,x≤13−x2,x>1 size 12{f left (x right )= left lbrace matrix {
x+1, {} # x <= 1 {} ##
3 - x rSup { size 8{2} } , {} # x>1{}
} right none } {} е непрекината на целата реална права.
Таа ќе биде диференцијабилна во точката
x=1x=1 size 12{x=1} {} ако важи
f'(1−0)=f'(1+0).f'(1−0)=f'(1+0). size 12{f' \( 1 - 0 \) =f' \( 1+0 \) "." } {}
f
'
(
1
−
0
)
=
lim
Δx
→
0
−
f
(
1
+
Δx
)
−
f
(
1
)
Δx
=
lim
Δx
→
0
−
1
+
Δx
+
1
−
2
Δx
=
1
f
'
(
1
−
0
)
=
lim
Δx
→
0
−
f
(
1
+
Δx
)
−
f
(
1
)
Δx
=
lim
Δx
→
0
−
1
+
Δx
+
1
−
2
Δx
=
1
size 12{f' \( 1 - 0 \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } } { {f \( 1+Δx \) - f \( 1 \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub {Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } { { size 12{1+Δx+1 - 2} } over { size 12{Δx} } } size 12{ {}=1}} {}
f
'
(
1
+
0
)
=
lim
Δx
→
0
+
f
(
1
+
Δx
)
−
f
(
1
)
Δx
=
lim
Δx
→
0
+
3
−
1
+
Δx
2
−
2
Δx
=
lim
Δx
→
0
+
1
−
1
−
2Δx
−
Δx
2
Δx
=
lim
Δx
→
0
+
−
2
−
Δx
=
−
2
.
f
'
(
1
+
0
)
=
lim
Δx
→
0
+
f
(
1
+
Δx
)
−
f
(
1
)
Δx
=
lim
Δx
→
0
+
3
−
1
+
Δx
2
−
2
Δx
=
lim
Δx
→
0
+
1
−
1
−
2Δx
−
Δx
2
Δx
=
lim
Δx
→
0
+
−
2
−
Δx
=
−
2
.
alignl { stack {
size 12{f' \( 1+0 \) {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } { {f \( 1+Δx \) - f \( 1 \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub {Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } { { size 12{3 - left (1+Δx right ) rSup {2} size 12{ - 2}} } over { size 12{Δx} } } size 12{ {}= {"lim"} cSub {Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } { { size 12{1 - 1 - 2Δx - left (Δx right ) rSup {2} } } over { size 12{Δx} } } } size 12{ {}{}}} {} #
size 12{~~~``= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } left ( - 2 - Δx right )= - 2 "." } {}
} } {}
Според тоа, функцијата не е диференцијабилна во точката
x=1x=1 size 12{x=1} {}.
