ПОИМ ЗА РЕАЛНА ФУНКЦИЈА ОД ЕДНА НЕЗАВИСНА ПРОМЕНЛИВА Насекаде околу нас се случуваат разни промени и тие се сврзани со основниот поим величина. Под поимот величина се подразбира секој објект кој може да се измери и изрази преку број. При мерење на една иста величина во различно време и на различно место се добиваат различни вредности. Може да мери и уочи промената на температурата и притисокот на воздухот во зависност од времето, јачината на ветерот кој дува, брзината со која се движи некое возило или пешак и сл. Во математиката на пример се мери должината и радиусот на кружницата, плоштината на кружницата, должината на страната во квадратот и т.н. Постојат и величини кои стално имаат иста вредност како броевите π,e size 12{π,~e} {} и други. Се забележува дека некои величини си ја менуваат својата вредност и се нарекуваат променливи, додека оние кои стално имаат иста вредност се нарекуваат константи. Математичката анализа е област која ги изучува променливите величини. Постојат два вида променливи величини, едните се менуваат произволно, независно од други и се нарекуваат независни променливи, а вторите зависат од менувањето на некоја величина и се нарекуваат зависни променливи. На пример, плоштината на кружницата зависи од должината на радиусот, плоштината на квадратот зависи од должината на стрната на квадратот и т.н. Плоштината на квадратот се пресметува по формулата P=a2 size 12{P=a rSup { size 8{2} } } {}. За страната a size 12{a} {} се вели дека е независна променлива додека плоштината P size 12{P} {} е зависна променлива, односно P size 12{P} {} е функција од a size 12{a} {} и се запишува P=f(a) size 12{P=f \( a \) } {} или P=P(a) size 12{P=P \( a \) } {}. Следи дефиниција за функција:

Дефиниција. Нека D и G се две непразни бројни множества (D,G⊆R) size 12{ \( "D,G" subseteq R \) } {}. Ако на секој елемент x∈D size 12{x in D} {} по некој закон или правило f size 12{f} {}му одговара еден и само еден елемент y∈G size 12{y in G} {}, се вели дека е зададена функцијаf size 12{f} {} од множеството D во множеството G и се означува y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} или f:D→G. size 12{f:D rightarrow G "." } {}

Функцијата f size 12{f} {} се нарекува релана функција од една реална промелива бидејки вредностите и на независната променлива и на функцијата се реални вредности. Значи за функциите се поврзани слениве термини: дефинициона област или домен за функцијата f size 12{f} {} е множеството D; множество од вредности или кодомен на функцијата е множеството G; функција е законот (правилото) f size 12{f} {}со кој множеството D се пресликува во множеството G; независна променлива или аргумент е променливата x size 12{x} {}; зависна променлива или вредност на функцијата е промeнливата y size 12{y} {}.

Зебелешка. Во дефиницијата за функција се нагласи дека на секоја вредност на аргументот одговара една и само една вредност на функцијата. Ваквите функции се нарекуваат еднозначни. Постојат и повеќезаначни функции кај кои за една вредност на аргументот се добива повеќе од една вредност на функцијата. Под поимот функција понатаму ќе подразбираме дека функцијата е еднозначна.

Терминот “функција” за прв пат е воведен од Лајбниц (Leibnitz, 1640-1716), додека вообичаената ознака f(x) size 12{f \( x \) } {} е воведена подоцна од Ојлер (Euler, 1707-1783). За означување на функциите вообичаено се користат ознаките y = f ( x ) , y = F ( x ) , y = ϕ ( x ) , y = y ( x ) , y 1 = f 1 ( x ) , . . . , y n = f n ( x ) , size 12{y=f \( x \) ,`y=F \( x \) ,`y=ϕ \( x \) ,`y=y \( x \) ,`y rSub { size 8{1} } =f rSub { size 8{1} } \( x \) ,` "." "." "." ,`y rSub { size 8{n} } =f rSub { size 8{n} } \( x \) ,} {} кои накратко може да се запишуваат и како f(x),F(x),ϕ(x),y(x),f1(x),...,fn(x). size 12{f \( x \) ,`F \( x \) ,`ϕ \( x \) ,`y \( x \) ,`f rSub { size 8{1} } \( x \) ,` "." "." "." ,`f rSub { size 8{n} } \( x \) "." } {} Неколку примери на функции:

Пример 1. Должината L size 12{L} {} на кружна линија се изразува како функција од радиусот r size 12{r} {}на кружницата со законот L = 2rπ size 12{L=2rπ} {} и се вели дека L size 12{L} {} е функција од r size 12{r} {}.

Пример 2. Сумата S size 12{S} {} на внатрешните агли во конвексен многуаголник е функција од бројот n size 12{n} {} на страни на многуаголникот S = π ( n − 2 ) . size 12{S=π \( n - 2 \) "." } {}