ПАРАМЕТАРСКИ ОБЛИК НА ФУНКЦИЈА При проучувањето на некои проблеми од физиката и механиката, функцијата y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} задедена во експлицитен или F(x,y)=0 size 12{F \( x,y \) =0} {} во имплицитен облик не е погодна за проучување и затоа се воведува нова, трета помошна променлива t преку која функцијата пооделно се разгледува на апсцисната и ординатната оска. Затоа функцијата се изразува преку нови равенки x = ϕ ( t ) y = ψ ( t ) . alignl { stack { size 12{x=ϕ \( t \) } {} # size 12{y=ψ \( t \) "." } {} } } {} Помошната променлива t во овие равенки се нарекува параметар, а вака задедената функција е во параметарски облик. Со елиминирање на парамертарот t size 12{t} {} од параметарски зададената функција, доколку е можно, функцијата може да се доведе во експлицитен облик y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} или имплицитен облик F(x,y)=0 size 12{F \( x,y \) =0} {}, во коj директно се гледа зависноста на y size 12{y} {} од x size 12{x} {}.

Задача 1. Во параметарски зададената функција x = cos t , y = sin 2t alignl { stack { size 12{x="cos"t,`} {} # size 12{y="sin"2t} {} } } {} да се исклучи патаметарот t size 12{t} {}.

Решение: Поаѓајќи од y=sin2t=2costsint=2cost1−cos2t=2x1−x2 size 12{y="sin"2t=2"cos"t"sin"t=2"cos"t sqrt {1 - "cos" rSup { size 8{2} } t} =2x sqrt {1 - x rSup { size 8{2} } } } {} и квадрирајки ја последната равенка се добива имплицитната функција y2=4x2(1−x2) size 12{y rSup { size 8{2} } =4x rSup { size 8{2} } \( 1 - x rSup { size 8{2} } \) } {}.

Задача 2. Да се провери дека со параметарските равенки x = 2 + 5 cos t , y = − 3 + 5 sin t size 12{x=2+5"cos"t,`y= - 3+5"sin"t} {} е зададена кружница.

Решение: Равенката на кружницата ќе се определи доведуваки ги параметарските равенки во облик x − 2 = 5 cos t y + 3 = 5 sin t alignl { stack { size 12{x - 2=5"cos"t} {} # size 12{y+3=5"sin"t} {} } } {} и ако по квадрирање на двете равенки ( x − 2 ) 2 = 25 cos 2 t ( y + 3 ) 2 = 25 sin 2 t alignl { stack { size 12{ \( x - 2 \) rSup { size 8{2} } ="25""cos" rSup { size 8{2} } t} {} # \( y+3 \) rSup { size 8{2} } ="25""sin" rSup { size 8{2} } t {} } } {} ги собереме се добива (x−2)2+(y+3)2=25(cos2t+sin2t) size 12{ \( x - 2 \) rSup { size 8{2} } + \( y+3 \) rSup { size 8{2} } ="25" \( "cos" rSup { size 8{2} } t+"sin" rSup { size 8{2} } t \) } {}, односно (x−2)2+(y+3)2=52 size 12{ \( x - 2 \) rSup { size 8{2} } + \( y+3 \) rSup { size 8{2} } =5 rSup { size 8{2} } } {}, што преставува централна равенка на кружница со центар во точката S(2,−3) size 12{S \( 2, - 3 \) } {} и радиус r=5 size 12{r=5} {}.

Пример 1. Кривата што ја опишува точката M од кружница со радиус r/4 size 12{r/4} {} која се тркала по x− size 12{x - {}} {}оската се нарекува циклоида (Сл. 2.3) и е зададена со параметарските равенки x = a ( t − sin t ) y = a ( 1 − cos t ) . alignl { stack { size 12{x=a \( t - "sin"t \) } {} # size 12{y=a \( 1 - "cos"t \) "." } {} } } {} Слика 2.3 Циклоида

Пример 2. Равенката на кривата во правоаголни координати x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 size 12{x rSup { size 8{ { {2} over {3} } } } +y rSup { size 8{ { {2} over {3} } } } =a rSup { size 8{ { {2} over {3} } } } } {} се нарекува астроида и често пати се проучува и во параметарски облик преку нејзините параметарски равенки x = a cos 3 t y = a sin 3 t . alignl { stack { size 12{x=a"cos" rSup { size 8{3} } t} {} # y=a"sin" rSup { size 8{3} } t "." {} } } {} Слика 2.4 Астроида

Графикот на астроидата (Сл. 2. 4) е крива која ја опишува точката M од кружница со радиус r/4 size 12{r/4} {} која се тркала по внатрешната страна од кружница со радиус r size 12{r} {}.