При проучувањето на некои проблеми од физиката и механиката, функцијата
y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} задедена во експлицитен или
F(x,y)=0F(x,y)=0 size 12{F \( x,y \) =0} {} во имплицитен облик не е погодна за проучување и затоа се воведува нова, трета помошна променлива t преку која функцијата пооделно се разгледува на апсцисната и ординатната оска. Затоа функцијата се изразува преку нови равенки
x
=
ϕ
(
t
)
y
=
ψ
(
t
)
.
x
=
ϕ
(
t
)
y
=
ψ
(
t
)
.
alignl { stack {
size 12{x=ϕ \( t \) } {} #
size 12{y=ψ \( t \) "." } {}
} } {}
Помошната променлива t во овие равенки се нарекува параметар, а вака задедената функција е во параметарски облик.
Со елиминирање на парамертарот
tt size 12{t} {} од параметарски зададената функција, доколку е можно, функцијата може да се доведе во експлицитен облик
y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} или имплицитен облик
F(x,y)=0F(x,y)=0 size 12{F \( x,y \) =0} {}, во коj директно се гледа зависноста на
yy size 12{y} {} од
xx size 12{x} {}.
Во параметарски зададената функција
x
=
cos
t
,
y
=
sin
2t
x
=
cos
t
,
y
=
sin
2t
alignl { stack {
size 12{x="cos"t,`} {} #
size 12{y="sin"2t} {}
} } {}
да се исклучи патаметарот
tt size 12{t} {}.
Поаѓајќи од
y=sin2t=2costsint=2cost1−cos2t=2x1−x2y=sin2t=2costsint=2cost1−cos2t=2x1−x2 size 12{y="sin"2t=2"cos"t"sin"t=2"cos"t sqrt {1 - "cos" rSup { size 8{2} } t} =2x sqrt {1 - x rSup { size 8{2} } } } {} и квадрирајки ја последната равенка се добива имплицитната функција
y2=4x2(1−x2)y2=4x2(1−x2) size 12{y rSup { size 8{2} } =4x rSup { size 8{2} } \( 1 - x rSup { size 8{2} } \) } {}.
Да се провери дека со параметарските равенки
x
=
2
+
5
cos
t
,
y
=
−
3
+
5
sin
t
x
=
2
+
5
cos
t
,
y
=
−
3
+
5
sin
t
size 12{x=2+5"cos"t,`y= - 3+5"sin"t} {}
е зададена кружница.
Равенката на кружницата ќе се определи доведуваки ги параметарските равенки во облик
x
−
2
=
5
cos
t
y
+
3
=
5
sin
t
x
−
2
=
5
cos
t
y
+
3
=
5
sin
t
alignl { stack {
size 12{x - 2=5"cos"t} {} #
size 12{y+3=5"sin"t} {}
} } {}
и ако по квадрирање на двете равенки
(
x
−
2
)
2
=
25
cos
2
t
(
y
+
3
)
2
=
25
sin
2
t
(
x
−
2
)
2
=
25
cos
2
t
(
y
+
3
)
2
=
25
sin
2
t
alignl { stack {
size 12{ \( x - 2 \) rSup { size 8{2} } ="25""cos" rSup { size 8{2} } t} {} #
\( y+3 \) rSup { size 8{2} } ="25""sin" rSup { size 8{2} } t {}
} } {}
ги собереме се добива
(x−2)2+(y+3)2=25(cos2t+sin2t)(x−2)2+(y+3)2=25(cos2t+sin2t) size 12{ \( x - 2 \) rSup { size 8{2} } + \( y+3 \) rSup { size 8{2} } ="25" \( "cos" rSup { size 8{2} } t+"sin" rSup { size 8{2} } t \) } {},
односно
(x−2)2+(y+3)2=52(x−2)2+(y+3)2=52 size 12{ \( x - 2 \) rSup { size 8{2} } + \( y+3 \) rSup { size 8{2} } =5 rSup { size 8{2} } } {},
што преставува централна равенка на кружница со центар во точката
S(2,−3)S(2,−3) size 12{S \( 2, - 3 \) } {} и радиус
r=5r=5 size 12{r=5} {}.
Кривата што ја опишува точката M од кружница со радиус
r/4r/4 size 12{r/4} {} која се тркала по
x−x− size 12{x - {}} {}оската се нарекува циклоида (Сл. 2.3) и е зададена со параметарските равенки
x
=
a
(
t
−
sin
t
)
y
=
a
(
1
−
cos
t
)
.
x
=
a
(
t
−
sin
t
)
y
=
a
(
1
−
cos
t
)
.
alignl { stack {
size 12{x=a \( t - "sin"t \) } {} #
size 12{y=a \( 1 - "cos"t \) "." } {}
} } {}
|
| Слика 2.3 Циклоида |
Равенката на кривата во правоаголни координати
x
2
3
+
y
2
3
=
a
2
3
x
2
3
+
y
2
3
=
a
2
3
size 12{x rSup { size 8{ { {2} over {3} } } } +y rSup { size 8{ { {2} over {3} } } } =a rSup { size 8{ { {2} over {3} } } } } {}
се нарекува астроида и често пати се проучува и во параметарски облик преку нејзините параметарски равенки
x
=
a
cos
3
t
y
=
a
sin
3
t
.
x
=
a
cos
3
t
y
=
a
sin
3
t
.
alignl { stack {
size 12{x=a"cos" rSup { size 8{3} } t} {} #
y=a"sin" rSup { size 8{3} } t "." {}
} } {}
|
| Слика 2.4 Астроида |
Графикот на астроидата (Сл. 2. 4) е крива која ја опишува точката M од кружница со радиус
r/4r/4 size 12{r/4} {} која се тркала по внатрешната страна од кружница со радиус
rr size 12{r} {}.
