Дефиниција.

Нека D,E,G⊆RD,E,G⊆R size 12{D,E,G subseteq R} {} а ff size 12{f} {} и gg size 12{g} {} се функции такви што f:D→Ef:D→E size 12{f:D rightarrow E} {} и g:E→Gg:E→G size 12{g:E rightarrow G} {}. Функцијата h:D→Gh:D→G size 12{h:D rightarrow G} {} дефинирана со

h ( x ) = g ( f ( x ) ) , h ( x ) = g ( f ( x ) ) , size 12{h \( x \) =g \( f \( x \) \) ,} {} ∀ x ∈ D ∀ x ∈ D size 12{ forall x in D} {}

се нарекува сложена функција на функциите ff size 12{f} {} и gg size 12{g} {} или посредно зададена функција.

Значи

Сложена функција е функција чии што аргумент е функција.

Задача 1.

Дадени се функциите y=z2,z=x+13,x=at.y=z2,z=x+13,x=at. size 12{y=z rSup { size 8{2} } ,z= nroot { size 8{3} } {x+1} ,x=a rSup { size 8{t} } "." } {} Да се изрази yy size 12{y} {} како функција од t.t. size 12{t "." } {}

Решение.

{} y = z 2 = ( x + 1 ) 2 3 = ( a t + 1 ) 2 3 . y = z 2 = ( x + 1 ) 2 3 = ( a t + 1 ) 2 3 . size 12{y=z rSup { size 8{2} } = nroot { size 8{3} } { \( x+1 \) rSup { size 8{2} } } = nroot { size 8{3} } { \( a rSup { size 8{t} } +1 \) rSup { size 8{2} } } "." } {}

Задача 2.

Нека f(x)=x3−xf(x)=x3−x size 12{f \( x \) =x rSup { size 8{3} } - x} {} а ϕ(x)=sin2x.ϕ(x)=sin2x. size 12{ϕ \( x \) ="sin"2x "." } {} Да се определат сложените функции

f(f(x))f(f(x)) size 12{f \( f \( x \) \) } {}, f(ϕ(x))f(ϕ(x)) size 12{f \( ϕ \( x \) \) } {} , ϕ(ϕ(x)).ϕ(ϕ(x)). size 12{ϕ \( ϕ \( x \) \) "." } {}

Решение.

f(f(x))=f(x3−x)=(x3−x)3−x3+x=x9−3x7+3x5−2x3+xf(f(x))=f(x3−x)=(x3−x)3−x3+x=x9−3x7+3x5−2x3+x size 12{f \( f \( x \) \) =f \( x rSup { size 8{3} } - x \) = \( x rSup { size 8{3} } - x \) rSup { size 8{3} } - x rSup { size 8{3} } +x=x rSup { size 8{9} } - 3x rSup { size 8{7} } +3x rSup { size 8{5} } - 2x rSup { size 8{3} } +x} {},

f(ϕ(x))=f(sin2x)=sin32x−sin2x=sin2x(sin22x−1)=−sin2xcos22xf(ϕ(x))=f(sin2x)=sin32x−sin2x=sin2x(sin22x−1)=−sin2xcos22x size 12{f \( ϕ \( x \) \) =f \( "sin"2x \) ="sin" rSup { size 8{3} } 2x - "sin"2x="sin"2x \( "sin" rSup { size 8{2} } 2x - 1 \) = - "sin"2x"cos" rSup { size 8{2} } 2x} {},

ϕ ( ϕ ( x ) ) = ϕ ( sin 2x ) = sin ( 2 sin 2x ) . ϕ ( ϕ ( x ) ) = ϕ ( sin 2x ) = sin ( 2 sin 2x ) . size 12{ϕ \( ϕ \( x \) \) =ϕ \( "sin"2x \) ="sin" \( 2"sin"2x \) "." } {}