НИЗИ

Конечни и бесконечни низи Конечна низа од реални броеви се нарекува секое множество a1,a2,a3,...,an, size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,} {} каде ai(i=1,2,3,....,n) size 12{a rSub { size 8{i} } ~ \( i=1,`2,`3,` "." "." "." "." ,`n \) } {} се реални броеви, односно секое еднозначно пресликување на подмножество од природни броеви 1, 2, 3, …, n во множество на реални броеви. Конечната низа се означува со {ai}1n. size 12{ lbrace `a rSub { size 8{i`} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{n} } "." } {} Бесконечното множество од реални броеви a1,a2,a3,...,an,... size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} се нарекува бесконечна низа или само низа и се означува со {ai}1∞. size 12{ lbrace `a rSub { size 8{i`} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } "." } {} Оваа низа се добива како резултат на пресликување од множеството природни броеви во множеството реални броеви. Значи низите, без оглед на тоа дали се конечни или бесконечни, се определуваат како вредности на функции на кои дефиниционата област им е множеството природни броеви. Реалните броеви a1,a2,a3,...,an,... size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} се нарекуваат членови на низата и за нив се користи иста ознака, буквата a size 12{a} {}, а се разликуваат само по својот индекс со кој наполно се определува членот на низата. Низата може да се зададе со општиот член an size 12{a rSub { size 8{n} } } {} или со набројување на неколку нејзини членови.

Пример 1. Аритметичката прогресија a 1 , a 1 + d , a 1 + 2d , . . . , a 1 + nd , . . . size 12{a rSub { size 8{1} } ,`a rSub { size 8{1} } +d,`a rSub { size 8{1} } +2d,` "." "." "." ,``a rSub { size 8{1} } + ital "nd",` "." "." "." `} {} е пример на една бесконечна низа со општ член an=a1+(n−1)d size 12{a rSub { size 8{n} } =`a rSub { size 8{1} } + \( n - 1 \) d} {}.

Пример 2. Геометриската прогресија a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , . . . , a 1 q n , . . . size 12{a rSub { size 8{1} } ,`a rSub { size 8{1} } q,`a rSub { size 8{1} } q rSup { size 8{2} } ,` "." "." "." ,``a rSub { size 8{1} } q rSup { size 8{n} } ,` "." "." "." `} {} е исто така пример за бесконечна низа со општ член an=a1qn−1 size 12{a rSub { size 8{n} } =`a rSub { size 8{1} } q rSup { size 8{n - 1} } } {}.

Пример 3.

Со општиот член an=1n size 12{a rSub { size 8{n} } = { {1} over {n} } } {} се дефинира низата 1,12,13,14,⋯ size 12{1, { {1} over {2} } ,` { {1} over {3} } ,` { {1} over {4} } ,` dotsaxis } {} додека со bn=n+12n+3 size 12{b rSub { size 8{n} } = { {n+1} over {2n+3} } } {} се дефинира низата 25,37,49,⋯ size 12{ { {2} over {5} } ,` { {3} over {7} } ,` { {4} over {9} } ,` dotsaxis } {} .

Пример 4. Oбратната задача, од неколку зададени почетни членови на низата 1 2 , − 2 3 , 3 4 , − 4 5 , ⋯ size 12{ { {1} over {2} } ,` - { {2} over {3} } ,` { {3} over {4} } ,` - { {4} over {5} } ,`` dotsaxis } {} се определува еден можен облик на општиот член на низата an=(−1)n+1nn+1 size 12{a rSub { size 8{n} } = \( - 1 \) rSup { size 8{n+1} } { {n} over {n+1} } } {}.

Точка на натрупување на низа

Дефиниција. Точката b size 12{b} {} се нарекува точка на натрупување на низата a1,a2,a3,...,an,... size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} ако за произволно ε>0 size 12{ε>0} {} во секој интервал (b−ε,b+ε) size 12{ \( b - ε,`b+ε \) } {} се наоѓаат бесконечно многу членови од низата. Една низа може да има една или повеќе точки на натрупување.

Пример 5. Низата an=1n size 12{a rSub { size 8{n} } = { {1} over {n} } } {} има една точка на натрупување и тоа е точката 0 бидејќи во произволна околина на точката 0 има бесконечно многу членови на низата.

Пример 6. Низата an=(−1)n+1nn+1 size 12{a rSub { size 8{n} } = \( - 1 \) rSup { size 8{n+1} } { {n} over {n+1} } } {} има две точки на натрупување: 1 и -1. Членовите од оваа низа со непарни индекси се натрупуваат околу точката 1, додека членовите со парни индекси се натрупуваат околу точката -1.

Гранична вредност на низа

Дефиниција. Бројот a size 12{a} {} се нарекува гранична вредност на низата a1,a2,a3,...,an,... size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} или само граница ако на секој број ε>0 size 12{ε>0} {} му одговара природен број n0 size 12{n rSub { size 8{0} } } {} таков што за секое n>n0 size 12{n>n rSub { size 8{0} } } {} важи ∣an−a∣<ε size 12{ lline `a rSub { size 8{n} } - a` rline <ε} {} и се запишува limn→∞an=a size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } `a rSub { size 8{n} } =a} {} или an→a,n→∞ size 12{a rSub { size 8{n} } rightarrow a,`n rightarrow infinity } {} и се чита: низата {ai} size 12{ lbrace `a rSub { size 8{i`} } rbrace } {} тежи или конвергира кон бројот a size 12{a} {} кога n size 12{n} {} тежи кон ∞ size 12{ infinity } {}. Дефиницијата за граница на низа укажува дека каков и да е радиусот ε>0 size 12{ε>0} {} на околината на граничната вредност a size 12{a} {}, во интервалот (a−ε,a+ε) size 12{ \( a - ε,`a+ε \) } {} ќе има бесконечно многу членови од низата, односно сите членови со индекс n>n0 size 12{n>n rSub { size 8{0} } } {}. Природниот број n0 size 12{n rSub { size 8{0} } } {} се определува во зависност од радиусот ε size 12{ε} {}.

Пример 7. За низата an=1n size 12{a rSub { size 8{n} } = { {1} over {n} } } {} бројот 0 е нејзина гранична вредност и ако се одбере ε=110 size 12{ε= { {1} over {"10"} } } {}, тогаш од неравенството ∣ 1 n − 0 ∣ < 1 10 size 12{ lline ` { {1} over {n} } - 0` rline < { {1} over {"10"} } } {} ќе следи дека 1n<110 size 12{ { {1} over {n} } < { {1} over {"10"} } } {} или n>10, односно n0=10. size 12{n rSub { size 8{0} } ="10" "." } {} Тоа значи дека во околина на точката 0 во радиус ε=110 size 12{ε= { {1} over {"10"} } } {} се наоѓаат членовите a11,a12,a13,..., size 12{a rSub { size 8{"11"} } ,`a rSub { size 8{"12"} } ,`a rSub { size 8{"13"} } ,` "." "." "." ,} {} додека надвор од интервалот ќе се наоѓаат само конечен број на членови и тоа a1,a2,...,a10. size 12{a rSub { size 8{1} } ,`a rSub { size 8{2} } ,` "." "." "." ,`a rSub { size 8{"10"} } "." } {} Точката на натрупување не може да се поистовети со граничната вредност на низата, бидејќи надвор од ε− size 12{ε - {}} {} околината на граничната точка има конечно многу членови на низата, што немора да важи за точката на натрупување. Ако низата има една точка на натрупување, таа е и нејзина гранична вредност, а ако низата има повеќе од една точка на натрупување, тогаш низата нема гранична вредност. Низите чија гранична вредност е конечен реален број се нарекуваат конвергентни. Постојат и дивергентни низи, а тоа се низи чија гранична вредност е −∞ size 12{ - infinity } {}или +∞ size 12{+ infinity } {}.

Некои особини за низите Ако за членовите на низата a1,a2,a3,...,an,... size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} важат неравенствата a 1 < a 2 < a 3 < . . . < a n < a n + 1 < . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } <a rSub { size 8{2`} } <a rSub { size 8{3`} } < "." "." "." <a rSub { size 8{n`} } <a rSub { size 8{n+1`} } < "." "." "." } {} низата се нарекува растечка, а ако важи a 1 > a 2 > a 3 > . . . > a n > a n + 1 > . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } >a rSub { size 8{2`} } >a rSub { size 8{3`} } > "." "." "." >a rSub { size 8{n`} } >a rSub { size 8{n+1`} } > "." "." "." } {} низата е опаѓачка. Ако се воведе ознаката Δan=an+1−an size 12{Δa rSub { size 8{n} } =a rSub { size 8{n+1} } - a rSub { size 8{n} } } {}, низата е растечка ако Δan>0 size 12{Δa rSub { size 8{n} } >0} {} и опаѓачка ако Δan<0 size 12{Δa rSub { size 8{n} } <0} {}. И растечките и опаѓачките низи се нарекувааат монотони низи, па постојат монотоно растечки и монотоно опаѓачки низи. Низата за која a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ . . . ≤ a n ≤ a n + 1 ≤ . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } <= a rSub { size 8{2`} } <= a rSub { size 8{3`} } <= "." "." "." <= a rSub { size 8{n`} } <= a rSub { size 8{n+1`} } <= "." "." "." } {} се нарекува монотоно неопаѓачка, додека низата за која a 1 ≥ a 2 ≥ a 3 ≥ . . . ≥ a n ≥ a n + 1 ≥ . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } >= a rSub { size 8{2`} } >= a rSub { size 8{3`} } >= "." "." "." >= a rSub { size 8{n`} } >= a rSub { size 8{n+1`} } >= "." "." "." } {} е монотоно нерастечка. За неопаѓачите низи важи Δan≥0 size 12{Δa rSub { size 8{n} } >= 0} {}, додека за нерастечките Δan≤0. size 12{Δa rSub { size 8{n} } <= 0 "." } {}

Пример 8. Низата {2n/(n+1)}1∞={1,4/3,6/4,8/5,...} size 12{ lbrace 2n/ \( n+1 \) rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } = lbrace 1,4/3,6/4,8/5, "." "." "." rbrace } {} е растечка; Низата {1/n}1∞={1,1/2,1/3,1/4,...} size 12{ lbrace 1/n rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } = lbrace 1,1/2,1/3,1/4, "." "." "." rbrace } {} е опаѓачка.

Ограниченост на низа

Дефиниција. Низата {ai}1∞ size 12{ lbrace a rSub { size 8{i} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } } {} е ограничена ако постојат броеви m,M∈R size 12{m,M in R} {} такви што m≤ai≤M,(i∈N) size 12{m <= a rSub { size 8{i} } <= M, \( i in N \) } {}. Низата {ai}1∞ size 12{ lbrace a rSub { size 8{i} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } } {} е неограничена ако за секој позитивен број M>0 size 12{M>0} {} постои природен број n size 12{n} {} таков да ∣an∣>M. size 12{ \lline a rSub { size 8{n} } \lline >M "." } {} Низата може да биде и: неограничена од лево и ограничена од десно ако −∞<ai≤M,(i∈N); size 12{ - infinity <a rSub { size 8{i} } <= M, \( i in N \) ;} {} ограничена од лево и неограничена од десно ако m≤ai<+∞,(i∈N); size 12{m <= a rSub { size 8{i} } "<+" infinity , \( i in N \) ;} {} неограничена и од лево и од десно ако −∞<ai<+∞,(i∈N). size 12{ - infinity <a rSub { size 8{i} } "<+" infinity , \( i in N \) "." } {}

Пример 9. Низата {1/n}1∞={1,1/2,1/3,1/4,...} size 12{ lbrace 1/n rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } = lbrace 1,1/2,1/3,1/4, "." "." "." rbrace } {} е ограничена бидејки 0<1/n≤1; size 12{0<1/n <= 1;} {} Низата {n2/(n+1)}1∞={1/2,4/3,9/4,16/5,...} size 12{ lbrace n rSup { size 8{2} } / \( n+1 \) rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } = lbrace 1/2,4/3,9/4,"16"/5, "." "." "." rbrace } {} е неограничена од десно.

За низите важат следните тврдења: Сите монотони и ограничени низи се конвергентни. Една низа може да биде конвергентна, а да не биде монотона. Секоја конвергентна низа е ограничена, а обратното не важи. Секоја огранична низа има барем една точка на натрупување. Ако постојат границите на низите limn→∞an=a size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } =a} {} и limn→∞bn=b size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} } =b} {}, тогаш: lim n → ∞ ( a n ± b n ) = lim n → ∞ ( a n ) ± lim n → ∞ ( b n ) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } +- b rSub { size 8{n} } \) = {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } \) +- {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( b rSub { size 8{n} } \) } {} lim n → ∞ ( a n b n ) = lim n → ∞ a n ⋅ lim n → ∞ b n size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } b rSub { size 8{n} } \) = {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } cdot {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} } } {} limn→∞anbn=limn→∞anlimn→∞bn,(limn→∞bn≠0) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } { {a rSub { size 8{n} } } over {b rSub { size 8{n} } } } = { { {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } } over { {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} } } } ,~ \( {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} } <> 0 \) } {}. Две бесконечно мали или бесконечно големи величини може да се споредат по својата големина сметајќи ги како гранични вредности на низи.

Дефиниција. Низата {ai}1∞ size 12{ lbrace a rSub { size 8{i} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } } {} за која limn→∞an=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } =0} {} се нарекува инфинитезимала или нула низа. Нека {ai}1∞ size 12{ lbrace a rSub { size 8{i} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } } {} и {bi}1∞ size 12{ lbrace b rSub { size 8{i} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } } {} се две нула низи т.е. limn→∞an=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } =0} {} и limn→∞bn=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} } =0} {} и ако за односот на овие две низи важи: anbn≠0⇒ size 12{ { {a rSub { size 8{n} } } over {b rSub { size 8{n} } } } <> 0~ drarrow } {} инфинитезималите се од ист ред; anbn=0⇒ size 12{ { {a rSub { size 8{n} } } over {b rSub { size 8{n} } } } =0~ drarrow } {} низата {ai} size 12{ lbrace a rSub { size 8{i} } rbrace } {} е инфинитезимала од повисок ред; anbn=1⇒ size 12{ { {a rSub { size 8{n} } } over {b rSub { size 8{n} } } } =1~ drarrow } {}инфинитезималите се еквивалентни. Ако пак двете низи се дивергентни, т. е. limn→∞an=∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } = infinity } {} и limn→∞bn=∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} } = infinity } {} и ако за нивниот однос важи: anbn≠0⇒ size 12{ { {a rSub { size 8{n} } } over {b rSub { size 8{n} } } } <> 0~ drarrow } {} бесконечностите се големини од ист ред; anbn=∞⇒ size 12{ { {a rSub { size 8{n} } } over {b rSub { size 8{n} } } } = infinity ~ drarrow } {} низата {ai} size 12{ lbrace a rSub { size 8{i} } rbrace } {} е бесконечно голема од повисок ред; anbn=1⇒ size 12{ { {a rSub { size 8{n} } } over {b rSub { size 8{n} } } } =1~ drarrow } {}бесконечностите се еквивалентни.

Бројот e Бројотe се добива како гранична вредност на низата со општ член en=1+1nn size 12{e rSub { size 8{n} } = left (1+ { {1} over {n} } right ) rSup { size 8{n} } } {}, односно e = lim n → ∞ 1 + 1 n n size 12{ size 14{e}= {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } ` left (1+ { {1} over {n} } right ) rSup { size 8{n} } } {} каде е е ирационалниот број 2,718281828459045... Вредностите на неколку први членови од оваа низа се: e 1 = 1 + 1 1 1 = 2 size 12{e rSub { size 8{1} } = left (1+ { {1} over {1} } right ) rSup { size 8{1} } =2} {} e2=1+122=2,25 size 12{e rSub { size 8{2} } = left (1+ { {1} over {2} } right ) rSup { size 8{2} } =2,"25"} {}... e3=1+133=2,37037 size 12{e rSub { size 8{3} } = left (1+ { {1} over {3} } right ) rSup { size 8{3} } =2,"37037"} {}... e4=1+144=2,4414 size 12{e rSub { size 8{4} } = left (1+ { {1} over {4} } right ) rSup { size 8{4} } =2,"4414"} {}... e5=1+155=2,48832 size 12{e rSub { size 8{5} } = left (1+ { {1} over {5} } right ) rSup { size 8{5} } =2,"48832"} {}... e6=1+166=2,5216 size 12{e rSub { size 8{6} } = left (1+ { {1} over {6} } right ) rSup { size 8{6} } =2,"5216"} {}... и т.н. Не докажувајќи, се забележува дека оваа низа е монотоно растечка и ограничена, што значи дека е конвергнетна. Бројот е е база на природниот логаритам и број кој се појавува на многу места во математиката.