Конечна низа од реални броеви се нарекува секое множество
a1,a2,a3,...,an,a1,a2,a3,...,an, size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,} {} каде
ai(i=1,2,3,....,n)ai(i=1,2,3,....,n) size 12{a rSub { size 8{i} } ~ \( i=1,`2,`3,` "." "." "." "." ,`n \) } {} се реални броеви, односно секое еднозначно пресликување на подмножество од природни броеви 1, 2, 3, …, n во множество на реални броеви. Конечната низа се означува со
{ai}1n.{ai}1n. size 12{ lbrace `a rSub { size 8{i`} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{n} } "." } {}
Бесконечното множество од реални броеви
a1,a2,a3,...,an,...a1,a2,a3,...,an,... size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} се нарекува бесконечна низа или само низа и се означува со
{ai}1∞.{ai}1∞. size 12{ lbrace `a rSub { size 8{i`} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } "." } {} Оваа низа се добива како резултат на пресликување од множеството природни броеви во множеството реални броеви.
Значи низите, без оглед на тоа дали се конечни или бесконечни, се определуваат како вредности на функции на кои дефиниционата област им е множеството природни броеви. Реалните броеви
a1,a2,a3,...,an,...a1,a2,a3,...,an,... size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} се нарекуваат членови на низата и за нив се користи иста ознака, буквата
aa size 12{a} {}, а се разликуваат само по својот индекс со кој наполно се определува членот на низата.
Низата може да се зададе со општиот член
anan size 12{a rSub { size 8{n} } } {} или со набројување на неколку нејзини членови.
Аритметичката прогресија
a
1
,
a
1
+
d
,
a
1
+
2d
,
.
.
.
,
a
1
+
nd
,
.
.
.
a
1
,
a
1
+
d
,
a
1
+
2d
,
.
.
.
,
a
1
+
nd
,
.
.
.
size 12{a rSub { size 8{1} } ,`a rSub { size 8{1} } +d,`a rSub { size 8{1} } +2d,` "." "." "." ,``a rSub { size 8{1} } + ital "nd",` "." "." "." `} {}
е пример на една бесконечна низа со општ член
an=a1+(n−1)dan=a1+(n−1)d size 12{a rSub { size 8{n} } =`a rSub { size 8{1} } + \( n - 1 \) d} {}.
Геометриската прогресија
a
1
,
a
1
q
,
a
1
q
2
,
.
.
.
,
a
1
q
n
,
.
.
.
a
1
,
a
1
q
,
a
1
q
2
,
.
.
.
,
a
1
q
n
,
.
.
.
size 12{a rSub { size 8{1} } ,`a rSub { size 8{1} } q,`a rSub { size 8{1} } q rSup { size 8{2} } ,` "." "." "." ,``a rSub { size 8{1} } q rSup { size 8{n} } ,` "." "." "." `} {}
е исто така пример за бесконечна низа со општ член
an=a1qn−1an=a1qn−1 size 12{a rSub { size 8{n} } =`a rSub { size 8{1} } q rSup { size 8{n - 1} } } {}.
Со општиот член
an=1nan=1n size 12{a rSub { size 8{n} } = { {1} over {n} } } {} се дефинира низата
1,12,13,14,⋯1,12,13,14,⋯ size 12{1, { {1} over {2} } ,` { {1} over {3} } ,` { {1} over {4} } ,` dotsaxis } {}
додека со
bn=n+12n+3bn=n+12n+3 size 12{b rSub { size 8{n} } = { {n+1} over {2n+3} } } {} се дефинира низата
25,37,49,⋯25,37,49,⋯ size 12{ { {2} over {5} } ,` { {3} over {7} } ,` { {4} over {9} } ,` dotsaxis } {} .
Oбратната задача, од неколку зададени почетни членови на низата
1
2
,
−
2
3
,
3
4
,
−
4
5
,
⋯
1
2
,
−
2
3
,
3
4
,
−
4
5
,
⋯
size 12{ { {1} over {2} } ,` - { {2} over {3} } ,` { {3} over {4} } ,` - { {4} over {5} } ,`` dotsaxis } {}
се определува еден можен облик на општиот член на низата
an=(−1)n+1nn+1an=(−1)n+1nn+1 size 12{a rSub { size 8{n} } = \( - 1 \) rSup { size 8{n+1} } { {n} over {n+1} } } {}.
Бројот
aa size 12{a} {} се нарекува гранична вредност на низата
a1,a2,a3,...,an,...a1,a2,a3,...,an,... size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} или само граница ако на секој број
ε>0ε>0 size 12{ε>0} {} му одговара природен број
n0n0 size 12{n rSub { size 8{0} } } {} таков што за секое
n>n0n>n0 size 12{n>n rSub { size 8{0} } } {} важи
∣an−a∣<ε∣an−a∣<ε size 12{ lline `a rSub { size 8{n} } - a` rline <ε} {} и се запишува
limn→∞an=alimn→∞an=a size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } `a rSub { size 8{n} } =a} {} или
an→a,n→∞an→a,n→∞ size 12{a rSub { size 8{n} } rightarrow a,`n rightarrow infinity } {}
и се чита: низата
{ai}{ai} size 12{ lbrace `a rSub { size 8{i`} } rbrace } {} тежи или конвергира кон бројот
aa size 12{a} {} кога
nn size 12{n} {} тежи кон
∞∞ size 12{ infinity } {}.
Дефиницијата за граница на низа укажува дека каков и да е радиусот
ε>0ε>0 size 12{ε>0} {} на околината на граничната вредност
aa size 12{a} {}, во интервалот
(a−ε,a+ε)(a−ε,a+ε) size 12{ \( a - ε,`a+ε \) } {} ќе има бесконечно многу членови од низата, односно сите членови со индекс
n>n0n>n0 size 12{n>n rSub { size 8{0} } } {}. Природниот број
n0n0 size 12{n rSub { size 8{0} } } {} се определува во зависност од радиусот
εε size 12{ε} {}.
За низата
an=1nan=1n size 12{a rSub { size 8{n} } = { {1} over {n} } } {} бројот 0 е нејзина гранична вредност и ако се одбере
ε=110ε=110 size 12{ε= { {1} over {"10"} } } {}, тогаш од неравенството
∣
1
n
−
0
∣
<
1
10
∣
1
n
−
0
∣
<
1
10
size 12{ lline ` { {1} over {n} } - 0` rline < { {1} over {"10"} } } {}
ќе следи дека
1n<1101n<110 size 12{ { {1} over {n} } < { {1} over {"10"} } } {} или n>10, односно
n0=10.n0=10. size 12{n rSub { size 8{0} } ="10" "." } {} Тоа значи дека во околина на точката 0 во радиус
ε=110ε=110 size 12{ε= { {1} over {"10"} } } {} се наоѓаат членовите
a11,a12,a13,...,a11,a12,a13,..., size 12{a rSub { size 8{"11"} } ,`a rSub { size 8{"12"} } ,`a rSub { size 8{"13"} } ,` "." "." "." ,} {} додека надвор од интервалот ќе се наоѓаат само конечен број на членови и тоа
a1,a2,...,a10.a1,a2,...,a10. size 12{a rSub { size 8{1} } ,`a rSub { size 8{2} } ,` "." "." "." ,`a rSub { size 8{"10"} } "." } {}
Точката на натрупување не може да се поистовети со граничната вредност на низата, бидејќи надвор од
ε−ε− size 12{ε - {}} {} околината на граничната точка има конечно многу членови на низата, што немора да важи за точката на натрупување. Ако низата има една точка на натрупување, таа е и нејзина гранична вредност, а ако низата има повеќе од една точка на натрупување, тогаш низата нема гранична вредност.
Низите чија гранична вредност е конечен реален број се нарекуваат конвергентни. Постојат и дивергентни низи, а тоа се низи чија гранична вредност е
−∞−∞ size 12{ - infinity } {}или
+∞+∞ size 12{+ infinity } {}.
Ако за членовите на низата
a1,a2,a3,...,an,...a1,a2,a3,...,an,... size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} важат неравенствата
a
1
<
a
2
<
a
3
<
.
.
.
<
a
n
<
a
n
+
1
<
.
.
.
a
1
<
a
2
<
a
3
<
.
.
.
<
a
n
<
a
n
+
1
<
.
.
.
size 12{a rSub { size 8{1`} } <a rSub { size 8{2`} } <a rSub { size 8{3`} } < "." "." "." <a rSub { size 8{n`} } <a rSub { size 8{n+1`} } < "." "." "." } {}
низата се нарекува растечка, а ако важи
a
1
>
a
2
>
a
3
>
.
.
.
>
a
n
>
a
n
+
1
>
.
.
.
a
1
>
a
2
>
a
3
>
.
.
.
>
a
n
>
a
n
+
1
>
.
.
.
size 12{a rSub { size 8{1`} } >a rSub { size 8{2`} } >a rSub { size 8{3`} } > "." "." "." >a rSub { size 8{n`} } >a rSub { size 8{n+1`} } > "." "." "." } {}
низата е опаѓачка.
Ако се воведе ознаката
Δan=an+1−anΔan=an+1−an size 12{Δa rSub { size 8{n} } =a rSub { size 8{n+1} } - a rSub { size 8{n} } } {}, низата е растечка ако
Δan>0Δan>0 size 12{Δa rSub { size 8{n} } >0} {} и опаѓачка ако
Δan<0Δan<0 size 12{Δa rSub { size 8{n} } <0} {}.
И растечките и опаѓачките низи се нарекувааат монотони низи, па постојат монотоно растечки и монотоно опаѓачки низи. Низата за која
a
1
≤
a
2
≤
a
3
≤
.
.
.
≤
a
n
≤
a
n
+
1
≤
.
.
.
a
1
≤
a
2
≤
a
3
≤
.
.
.
≤
a
n
≤
a
n
+
1
≤
.
.
.
size 12{a rSub { size 8{1`} } <= a rSub { size 8{2`} } <= a rSub { size 8{3`} } <= "." "." "." <= a rSub { size 8{n`} } <= a rSub { size 8{n+1`} } <= "." "." "." } {}
се нарекува монотоно неопаѓачка, додека низата за која
a
1
≥
a
2
≥
a
3
≥
.
.
.
≥
a
n
≥
a
n
+
1
≥
.
.
.
a
1
≥
a
2
≥
a
3
≥
.
