Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Асимптоти

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Асимптоти

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се дефинира поимот за асимптота и се дефинираат три вида асимптоти: вертикална, хоризонтална и коса асимптота.

АСИМПТОТИ

Ако една крива линија која се продолжува во бесконечност сé повеќе се доближува до некоја права линија, т.е. растојанието на точките од кривата до правата тежи кон нула, правата се нарекува асимптота.

Една функција може да има три вида на асимптоти и тоа: вертикални, хоризонтални и коси.

Верикална асимптота

Правата x=ax=a size 12{x=a} {} е вертикална асимптота за функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} ако важи некој од случаите:

lim x → a − f ( x ) =+ ∞ , lim x → a − f ( x ) = − ∞ , lim x → a + f ( x ) =+ ∞ , lim x → a + f ( x ) = − ∞ . lim x → a − f ( x ) =+ ∞ , lim x → a − f ( x ) = − ∞ , lim x → a + f ( x ) =+ ∞ , lim x → a + f ( x ) = − ∞ . alignl { stack { size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a - {}} } f \( x \) "=+" infinity ,~} {} # {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a - {}} } f \( x \) = - infinity ,~ {} # {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a+{}} } f \( x \) "=+" infinity , {} # {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a+{}} } f \( x \) = - infinity "." {} } } {}
(1)
  • Вертиклните асимптоти се вертикални прави кон кои графикот на функцијата бесконечно се доближува.
  • Графикот на функцијата и верикалната асимптота не може да имаат заеднички точки.
  • Ако функцијата е дробнорационална, вертикални асимптоти се вредностите на независната променлива за кои именителот е еднаков на нула.
  • Функција може да има повеке вертикални асимптоти и тоа се точки во кои функцијта е прекината.

Решени примери 1 на дробнорационални функции со вертикални асимптоти.

Хоризонтална асимптота

Правата y=by=b size 12{y=b} {} е хоризонтална асимптота за функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} ако

limx→∞f(x)=blimx→∞f(x)=b size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } f \( x \) =b} {} или limx→−∞f(x)=blimx→−∞f(x)=b size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } f \( x \) =b} {}.

  • Хоризонталаната асимптота е хоризонтална права кон која графикот на функцијата бесконечно се доближува за бесконечни вредности на независната променлива.
  • Ако функцијата е дробнорационална и ако полиномите во именителот и броителот се со исти степени, коефициентот b на хоризонталната асимптота е еднаков на количникот од коефициентитите пред највисоката степен од броителот и именителот.
  • Ако во дробнорационалната функција степенот во именителот е поголем од оној во броителот, хоризонтална асимптота ќе биде x−x− size 12{x - {}} {}оската.
  • Ако во дробнорационалната функција степенот во броителот е попоголем од оној во именителот, функцијата нема хоризонтална асимптота.
  • Графикот на функцијата може да има пресек со хоризонталната асимптота, но само во конечен број на точки.

Решени примери 2 на дробнорационални функции со хоризонтална асимптота.

Коса асимптота

Коса асимптота е права од обликот y=kx+ny=kx+n size 12{y= ital "kx"+n} {} за која растојанието до функција y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} е бесконечно мало кога аргументот се стреми кон некоја од бесконечностите т.е. +∞+∞ size 12{+ infinity } {} или −∞.−∞. size 12{ - infinity "." } {} Таа се пресметува со

{}limx→−∞f(x)−(kx+n)=0limx→−∞f(x)−(kx+n)=0 size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } left [f \( x \) - \( ital "kx"+n \) right ]=0} {} или limx→+∞f(x)−(kx+n)=0limx→+∞f(x)−(kx+n)=0 size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow + infinity } } left [f \( x \) - \( ital "kx"+n \) right ]=0} {}.

Поаѓајки од последната гранична вредност по делење со x x size 12{e} {} се добива

limx→∞f(x)x−k−nx=0limx→∞f(x)x−k−nx=0 size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } left [ { {f \( x \) } over {x} } - k - { {n} over {x} } right ]=0} {}{}односно limx→∞f(x)x−limx→∞nx=klimx→∞f(x)x−limx→∞nx=k size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {f \( x \) } over {x} } - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {n} over {x} } =k} {}.

Бидејќи limx→∞nx=0limx→∞nx=0 size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {n} over {x} } =0} {}, се добива дека коефициентот k k size 12{e} {} се определува преку

k=limx→∞f(x)xk=limx→∞f(x)x size 12{`k= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {f \( x \) } over {x} } } {}.

Коефициентот n n size 12{e} {} се определува од

n=limx→∞f(x)−kxn=limx→∞f(x)−kx size 12{`n= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } left [f \( x \) - ital "kx" right ]} {}.

  • Косата асимптота е коса права кон која се доближува графикот на функцијата.
  • Графикот на функцијата и косата асиптота може да немаат заеднички точки или пак се сечат во конечен број на точки.
  • Функција неможе да има истовремено коса и хоризонтална асимптота, бидејки хоризонтална права е специјален случај од коса права.

Решени примери 3 на дробнорационални функции со коса асимптота.

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks