Connexions

You are here: Home » Content » Асимптоти
Content Actions

Асимптоти

Module by: Liljana Stefanovska

Summary: Се дефинира поимот за асинмптота и се дефинираат видовите асимптоти: вертикална, хоризонтална и коса асимптота.

АСИМПТОТИ

Ако една крива линија која се продолжува во бесконечност сé повеќе се доближува до некоја права линија, т.е. растојанието на точките од кривата до правата тежи кон нула, правата се нарекува асимптота.
Една функција може да има три вида на асимптоти и тоа: вертикални, хоризонтални и коси.

Верикална асимптота

Правата x=ax=a size 12{x=a} {} е вертикална асимптота за функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} ако важи некој од случаите:
lim x → a − 0 f ( x ) =+ ∞ , lim x → a − 0 f ( x ) = − ∞ , lim x → a + 0 f ( x ) =+ ∞ , lim x → a + 0 f ( x ) = − ∞ . lim x → a − 0 f ( x ) =+ ∞ , lim x → a − 0 f ( x ) = − ∞ , lim x → a + 0 f ( x ) =+ ∞ , lim x → a + 0 f ( x ) = − ∞ . alignl { stack { size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a - 0} } f \( x \) "=+" infinity ,~} {} # {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a - 0} } f \( x \) = - infinity ,~ {} # {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a+0} } f \( x \) "=+" infinity , {} # {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a+0} } f \( x \) = - infinity "." {} } } {}
  • Вертиклните асимптоти се вертикални прави кон кои графикот на функцијата бесконечно се доближува.
  • Графикот на функцијата и верикалната асимптота не може да имаат заеднички точки.
  • Ако функцијата е дробнорационална, вертикални асимптоти се вредностите на независната променлива за кои именителот е еднаков на нула.
  • Функција може да има повеке вертикални асимптоти, тоа се точки во кои функцијта е прекината.
Решени примери 1 на дробнорационални функции со вертикални асимптоти.

Хоризонтална асимптота

Правата y=by=b size 12{y=b} {} е хоризонтална асимптота за функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} ако
limx→∞f(x)=blimx→∞f(x)=b size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } f \( x \) =b} {} или limx→−∞f(x)=blimx→−∞f(x)=b size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } f \( x \) =b} {}.
  • Хоризонталаната асимптота е хоризонтална права кон која графикот на функцијата бесконечно се доближува за бесконечни вредности на независната променлива.
  • Функција може да има само една хоризонтална асимптота.
  • Ако функцијата е дробнорационална и ако полиномите во именителот и броителот се со исти степени, коефициентот b во хоризонталната асимптота е еднаков на количникот од коефициентитите пред највисоката степен од броителот и именителот.
  • Ако во дробнорационалната функција степенот во именителот е поголем од оној во броителот, хоризонтална асимптота ќе биде x−x− size 12{x - {}} {}оската.
  • Ако во дробнорационалната функција степенот во броителот е попоголем од оној во именителот, функцијата нема хоризонтална асимптота.
  • Графикот на функцијата може да има пресек со хоризонталната асимптота, но само во конечен број на точки.
Решени примери 2 на дробнорационални функции со хоризонтална асимптота.

Коса асимптота

Коса асимптота е права од обликот y=kx+ny=kx+n size 12{y= ital "kx"+n} {} за која растојанието до дадена функција y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} е бесконечно мало, односно
{}limx→∞f(x)−(kx+n)=0limx→∞f(x)−(kx+n)=0 size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } left [f \( x \) - \( ital "kx"+n \) right ]=0} {}.
Поаѓајки од последната гранична вредност по делење со x се добива
limx→∞f(x)x−k−nx=0limx→∞f(x)x−k−nx=0 size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } left [ { {f \( x \) } over {x} } - k - { {n} over {x} } right ]=0} {}{} односно limx→∞f(x)x−limx→∞nx=klimx→∞f(x)x−limx→∞nx=k size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {f \( x \) } over {x} } - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {n} over {x} } =k} {}.
Бидејќи limx→∞nx=0limx→∞nx=0 size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {n} over {x} } =0} {}, се добива дека коефициентот k се определува преку
k=limx→∞f(x)xk=limx→∞f(x)x size 12{`k= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {f \( x \) } over {x} } } {}.
Коефициентот n се определува од
n=limx→∞f(x)−kxn=limx→∞f(x)−kx size 12{`n= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } left [f \( x \) - ital "kx" right ]} {}.
  • Косата асимптота е коса права кон која се доближува графикот на функцијата.
  • Графикот на функцијата и косата асиптота може да немаат заеднички точки или пак се сечат во конечен број на точки.
  • Функција неможе да има истовремено коса и хоризонтална асимптота.
Решени примери 3 на дробнорационални функции со коса асимптота.

Comments, questions, feedback, criticisms?

Send feedback