Поим за извод и негово толкување Нека е дадена функцијата y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} која е дефинирана на интервалот (a,b) size 12{ \( a,b \) } {} и непрекината во околина на точката x0∈(a,b) size 12{x rSub { size 8{0} } in \( a,b \) } {}. Нека аргументот x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} добие нараснување Δx size 12{Δx} {} такво што x0+Δx∈(a,b) size 12{x rSub { size 8{0} } +Δx in \( a,b \) } {}. Вредноста Δx size 12{Δx} {} се нарекува нараснување на аргументот, а разликата од вредностите на функцијата Δy=f(x0+Δx)−f(x0) size 12{Δy=f \( x rSub { size 8{0} } +Δx \) - f \( x rSub { size 8{0} } \) } {} се нарекува нараснување на функцијата. Количникот Δy Δx = f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) Δx size 12{ { {Δy} over {Δx} } = { {f \( x rSub { size 8{0} } +Δx \) - f \( x rSub { size 8{0} } \) } over {Δx} } } {} се нарекува релативно нараснување на функцијата во точката x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} и тоа е нагибот на функцијата. Кога Δx→0 size 12{Δx rightarrow 0} {} и Δy→0 size 12{Δy rightarrow 0} {}, a граничната вредност од нивниот количник кога Δx→0 size 12{Δx rightarrow 0} {} е количник на две бескрајно мали величини. Поимот за извод се дава со следната

Дефиниција. Нека функцијата y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} е непрекината во околината V(x0,Δx) size 12{V \( x rSub { size 8{0} } ,Δx \) } {}. Ако постои конечна гранична вредност limΔx→0ΔyΔx size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } } {}, таа се нарекува извод на функцијата y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} во точката x=x0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {} и се означува со lim Δx → 0 Δy Δx = lim Δx → 0 f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) Δx = f ' ( x 0 ) . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f \( x rSub { size 8{0} } +Δx \) - f \( x rSub { size 8{0} } \) } over {Δx} } = { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) "." } {} ________________________________________________________________________ Изводот на функцијата y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} се означува со некоја од ознаките: f'(x) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {}, y' size 12{ { {y}} sup { ' }} {}, dydx size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } } {}, ddxf(x) size 12{ { {d} over { ital "dx"} } f \( x \) } {}, ddxy size 12{ { {d} over { ital "dx"} } y} {}. Бидејки изводот во точката x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {}се дефинира преку гранична вредност, се дефинира лев и десен извод.

Дефиниција. Лев извод на функцијата y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} во точката x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} е limΔx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f'(x0) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } } { {f \( x rSub {0} size 12{+Δx \) - f \( x rSub {0} } size 12{ \) }} over {Δx} } = { {f}} sup { ' } rSub {_} size 12{ \( x rSub {0} } size 12{ \) }} {}, а десен извод е limΔx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f+'(x0) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } { {f \( x rSub {0} size 12{+Δx \) - f \( x rSub {0} } size 12{ \) }} over {Δx} } = { {f}} sup { ' } rSub {+{}} size 12{ \( x rSub {0} } size 12{ \) }} {}. Ако во точката x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} левиот и десниот извод на функцијата f(x) size 12{f \( x \) } {} се еднакви, тогаш функцијата има извод во таа точка и f ' ( x 0 ) = f + ' ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) . size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{_} } \( x rSub { size 8{0} } \) = { {f}} sup { ' } rSub { size 8{+{}} } \( x rSub { size 8{0} } \) = { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) "." } {} ________________________________________________________________________ Во граничниот процес со кој се дефинира изводот не е важно дали нараснувањето на аргументот се врши преку позитивно или негативно нараснување.

Пример 1. Да се определи изводот на функцијата y=x2−3x size 12{y=x rSup { size 8{2} } - 3x} {} во произволна точка x. size 12{x "." } {} Од дефиницијата за извод во точката x size 12{x} {} се добива дека f ' ( x ) = lim Δx → 0 f ( x + Δx ) − f ( x ) Δx = lim Δx → 0 ( x + Δx ) 2 − 3 ( x + Δx ) − x 2 + 3x Δx = lim Δx → 0 2xΔx − 3Δx + Δx 2 Δx = lim Δx → 0 Δx ( 2x − 3 + Δx ) Δx = lim Δx → 0 ( 2x − 3 + Δx ) = 2x − 3 . alignl { stack { size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { { \( x+Δx \) rSup { size 8{2} } - 3 \( x+Δx \) - x rSup { size 8{2} } +3x} over {Δx} } ={}} {} # {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {2xΔx - 3Δx+Δx rSup { size 8{2} } } over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δx \( 2x - 3+Δx \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } \( 2x - 3+Δx \) =2x - 3 "." {} } } {} Kако што се гледа од наведениот пример, изводот на функција во општ случај е пак функција од истата промрнлива, а ако променливата има конкретна бројна вредност и изводот ќе има конкретна бројна вредност. На пример, изводот во точката x=3 size 12{x=3} {} ќе има вредност f'(3)=2⋅3−3=3 size 12{ { {f}} sup { ' } \( 3 \) =2 cdot 3 - 3=3} {}. ________________________________________________________________________ Бидејќи изводот се дефинира преку граничен процес, следи дека функцијата ќе нема извод во дадена точка во која таа е прекината. Ако функцијата има извод во точката x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {}, таа ќе биде непрекината во точката, но немора да важи обратното, т.е. ако функцијата е непрекината во точка таа не мора да има извод во таа точка.

Пример 2. Да се определи изводот на функцијата y=x+1 size 12{y= sqrt {x+1} } {} во точката x=−1 size 12{x= - 1} {}. Оваа функција е дефинирана во точката x=−1 size 12{x= - 1} {} и y(−1)=0 size 12{y \( - 1 \) =0} {}. Ќе го бараме нејзиниот извод во истата точка. Од дефиницијата за извод се добива f ' ( x ) = lim Δx → 0 f ( x + Δx ) − f ( x ) Δx = lim Δx → 0 ( x + Δx ) + 1 − x + 1 Δx = size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { { sqrt { \( x+Δx \) +1} - sqrt {x+1} } over {Δx} } ={}} {} = lim Δx → 0 ( x + Δx ) + 1 − x + 1 Δx ⋅ ( x + Δx ) + 1 + x + 1 ( x + Δx ) + 1 + x + 1 = size 12{ {}= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { { sqrt { \( x+Δx \) +1} - sqrt {x+1} } over {Δx} } cdot { { sqrt { \( x+Δx \) +1} + sqrt {x+1} } over { sqrt { \( x+Δx \) +1} + sqrt {x+1} } } ={}} {} = lim Δx → 0 ( x + Δx ) + 1 − ( x + 1 ) Δx ( x + Δx ) + 1 + x + 1 = lim Δx → 0 Δx Δx ( x + Δx ) + 1 + x + 1 = size 12{ {}= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { { \( x+Δx \) +1 - \( x+1 \) } over {Δx sqrt { \( x+Δx \) +1} + sqrt {x+1} } } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δx} over {Δx sqrt { \( x+Δx \) +1} + sqrt {x+1} } } ={}} {} = lim Δx → 0 1 ( x + Δx ) + 1 + x + 1 = 1 2 x + 1 . size 12{ {}= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {1} over { sqrt { \( x+Δx \) +1} + sqrt {x+1} } } = { {1} over {2 sqrt {x+1} } } "." } {} Изводот во точката x=−1 size 12{x= - 1} {} не постои, бидејќи за таа вредност изводот е бесконечен (именителот е нула), додека функцијата е непрекината во истата точка. ________________________________________________________________________

Диференцијабилност во точка и интевал Постоењето на изводот во дадена точка x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} означува дека функцијата y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} е диференцијабилна во таа точка. За функција која нема извод во дадена точка се вели дека не е диференцијабилна во точката. Ако функција е диференцијабилна во секоја точка од даден интервал, за функцијата се вели дека е диференцијабилна на интервалот. Изводот на функција во дадена точка може да има различни толкувања во зависност од видот на проблемот што се разгледува.

Геометриско толкување на изводот Нека функцијата y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} се разледува во координатен ситем xOy size 12{ ital "xOy"} {} во кој таа е претставена со нејзиниот график. На кривата се разгледуваат две блиски точки A(x0,f(x0)) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,f \( x rSub { size 8{0} } \) \) } {} и B(x0+Δx,f(x0+Δx)) size 12{B \( x rSub { size 8{0} } +Δx,f \( x rSub { size 8{0} } +Δx \) \) } {} и правата која ги сврзува овие точки се нарекува секанта s size 12{s} {}. Кога точката A size 12{A} {} се движи по кривата кон точката B size 12{B} {}, тогаш и Δx→0 size 12{Δx rightarrow 0} {} и Δy→0 size 12{Δy rightarrow 0} {}. Во граничен случај секантата ќе премине во тангента t size 12{t} {} на кривата во точката A size 12{A} {}.

Слика 1. Геометриско толкување на изводот

Дефиниција. Граничната вредност limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=limΔx→0tgβ=tgα size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f \( x rSub { size 8{0} } +Δx \) - f \( x rSub { size 8{0} } \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } ital "tg"β= ital "tg"α} {}, е изводот f'(x0) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) } {} и тој е еднаков со коефициент на правецот на тангентата на кривата y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} во точката A(x0,f(x0)) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,f \( x rSub { size 8{0} } \) \) } {}, односно изводот е тангенс од аголот што тангентата на кривата во дадената точка го зафаќа со позитивниот смер на x− size 12{x - {}} {}оската (Слика 1). Ова значи дека коефициентот на правецот на тангентата k size 12{k} {} во точката x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} е k = f ' ( x 0 ) = tg α . size 12{k= { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) = ital "tg"α "." } {}

Кинематичко толкување на изводот Нека М е материјална точка која се движи по одредена патека. Ако движењето е рамномерно и ако за време t size 12{t} {} таа изминува пат s size 12{s} {}, количникот st size 12{ { {s} over {t} } } {} ја претставува брзината на движење на материјалната точка. Ако пак движењето е нерамномерно, во различен момент материјалната точка се движи со различна брзина. Нека се разгледува движењето на точката М во момент t0 size 12{t rSub { size 8{0} } } {}. За време t−t0 size 12{t - t rSub { size 8{0} } } {} материјалната точка ќе измине пат s(t)−s(t0), size 12{s \( t \) - s \( t rSub { size 8{0} } \) ,} {} а количникот s ( t ) − s ( t 0 ) t − t 0 = s ( t ) − s ( t 0 ) Δt size 12{ { {s \( t \) - s \( t rSub { size 8{0} } \) } over {t - t rSub { size 8{0} } } } = { {s \( t \) - s \( t rSub { size 8{0} } \) } over {Δt} } } {} се нарекува средна брзина на движење на материјалната точка М во моментот t0 size 12{t rSub { size 8{0} } } {}.

Дефиниција. Граничната вредност lim Δt → 0 s ( t ) − s ( t 0 ) Δt = v ( t 0 ) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δt rightarrow 0} } { {s \( t \) - s \( t rSub { size 8{0} } \) } over {Δt} } =v \( t rSub { size 8{0} } \) } {} претставува брзина на движење на материјалната точка М во моментот t0 size 12{t rSub { size 8{0} } } {}. _______________________________________________________________________ Поимот за брзина не се врзува само со движење на материјална точка, туку ја означува брзината со која се менува било кој променлив процес.

Концентрација на раствор - едно толкување на изводот во хемијата Нека е даден сад со определено количество вода и нека во садот се стави некое количество сол. После некое време солта ќе се раствори и водата во садот ќе стане солена. Ако волуменот на водата во садот е V size 12{V} {}, а количеството на растворена сол е Q size 12{Q} {}, јасно е дека Q=f(V) size 12{Q=f \( V \) } {} . Нека со ΔV size 12{ΔV} {} се означи мала (единечна) промена на волуменот на водата а со ΔQ size 12{ΔQ} {} се означи промената на количеството растворена сол. Количникот ΔQ ΔV = f ( V + ΔV ) − f ( V ) ΔV size 12{ { {ΔQ} over {ΔV} } = { {f \( V+ΔV \) - f \( V \) } over {ΔV} } } {} претставува количеството растворена сол во единечен (мал) волумен ΔV size 12{ΔV} {} и се нарекува средна концентрација на расворот во волуменот ΔV size 12{ΔV} {}.

Дефиниција. Граничната вредност lim ΔV → 0 f ( V + ΔV ) − f ( V ) ΔV = f ' ( V ) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{ΔV rightarrow 0} } { {f \( V+ΔV \) - f \( V \) } over {ΔV} } = { {f}} sup { ' } \( V \) } {} се нарекува концентрација на растворот во определен волумен. Ова значи дека изводот на количеството растворена сол по волуменот на вода во која се раствора е концентрација на растворот.

Забелешка. Поимот за извод на функција воведен преку преминување на секантата во тангента на кривата (геометриско толкување на изводот) е воведен од Лајбниц (1646-1716), а независно од него Њутн (1642-1727) го вовел изводот како брзина на движење (кинематичко толкување), па затоа заедно и Лајбниц и Њутн се сметаат за творци на диференцијалното сметање.