Connexions

You are here: Home » Content » Поим за извод и негово толкување
Content Actions

Поим за извод и негово толкување

Module by: Liljana Stefanovska

Summary: Се дефинира поимот за извод на функција во дадена точка и негово геометриско, кинематичко и хемиско толкување.

Поим за извод и негово толкување

Нека е дадена функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} која е дефинирана на интервалот (a,b)(a,b) size 12{ \( a,b \) } {} и непрекината во околина на точката x0∈(a,b)x0∈(a,b) size 12{x rSub { size 8{0} } in \( a,b \) } {}. Нека аргументот x0x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} добие нараснување ΔxΔx size 12{Δx} {} такво што x0+Δx∈(a,b)x0+Δx∈(a,b) size 12{x rSub { size 8{0} } +Δx in \( a,b \) } {}. Вредноста ΔxΔx size 12{Δx} {} се нарекува нараснување на аргументот, а разликата од вредностите на функцијата Δy=f(x0+Δx)−f(x0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0) size 12{Δy=f \( x rSub { size 8{0} } +Δx \) - f \( x rSub { size 8{0} } \) } {} се нарекува нараснување на функцијата.
Количникот
Δy Δx = f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) Δx Δy Δx = f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) Δx size 12{ { {Δy} over {Δx} } = { {f \( x rSub { size 8{0} } +Δx \) - f \( x rSub { size 8{0} } \) } over {Δx} } } {}
се нарекува релативно нараснување на функцијата во точката x0x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} и тоа е нагибот на функцијата. Кога Δx→0Δx→0 size 12{Δx rightarrow 0} {} и Δy→0Δy→0 size 12{Δy rightarrow 0} {}, a граничната вредност од нивниот количник кога Δx→0Δx→0 size 12{Δx rightarrow 0} {} е количник на две бескрајно мали величини. Поимот за извод се дава со следната

Дефиниција.

Нека функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} е непрекината во околината V(x0,Δx)V(x0,Δx) size 12{V \( x rSub { size 8{0} } ,Δx \) } {}. Ако постои конечна гранична вредност limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } } {}, таа се нарекува извод на функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} во точката x=x0x=x0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {} и се означува со
lim Δx → 0 Δy Δx = lim Δx → 0 f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) Δx = f ' ( x 0 ) . lim Δx → 0 Δy Δx = lim Δx → 0 f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) Δx = f ' ( x 0 ) . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δy} over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f \( x rSub { size 8{0} } +Δx \) - f \( x rSub { size 8{0} } \) } over {Δx} } = { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) "." } {}
________________________________________________________________________
Изводот на функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} се означува со некоја од ознаките:
f'(x)f'(x) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {}, y'y' size 12{ { {y}} sup { ' }} {}, dydxdydx size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } } {}, ddxf(x)ddxf(x) size 12{ { {d} over { ital "dx"} } f \( x \) } {}, ddxyddxy size 12{ { {d} over { ital "dx"} } y} {}.
Бидејки изводот во точката x0x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {}се дефинира преку гранична вредност, се дефинира лев и десен извод.

Дефиниција.

Лев извод на функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} во точката x0x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} е
limΔx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f'(x0)limΔx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f'(x0) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } } { {f \( x rSub {0} size 12{+Δx \) - f \( x rSub {0} } size 12{ \) }} over {Δx} } = { {f}} sup { ' } rSub {_} size 12{ \( x rSub {0} } size 12{ \) }} {},
а десен извод е
limΔx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f+'(x0)limΔx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f+'(x0) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } { {f \( x rSub {0} size 12{+Δx \) - f \( x rSub {0} } size 12{ \) }} over {Δx} } = { {f}} sup { ' } rSub {+{}} size 12{ \( x rSub {0} } size 12{ \) }} {}.
Ако во точката x0x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} левиот и десниот извод на функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се еднакви, тогаш функцијата има извод во таа точка и
f ' ( x 0 ) = f + ' ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) . f ' ( x 0 ) = f + ' ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) . size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{_} } \( x rSub { size 8{0} } \) = { {f}} sup { ' } rSub { size 8{+{}} } \( x rSub { size 8{0} } \) = { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) "." } {}
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­________________________________________________________________________
Во граничниот процес со кој се дефинира изводот не е важно дали нараснувањето на аргументот се врши преку позитивно или негативно нараснување.

Пример 1.

Да се определи изводот на функцијата y=x2−3xy=x2−3x size 12{y=x rSup { size 8{2} } - 3x} {} во произволна точка x.x. size 12{x "." } {}
Од дефиницијата за извод во точката xx size 12{x} {} се добива дека
f ' ( x ) = lim Δx → 0 f ( x + Δx ) − f ( x ) Δx = lim Δx → 0 ( x + Δx ) 2 − 3 ( x + Δx ) − x 2 + 3x Δx = lim Δx → 0 2xΔx − 3Δx + Δx 2 Δx = lim Δx → 0 Δx ( 2x − 3 + Δx ) Δx = lim Δx → 0 ( 2x − 3 + Δx ) = 2x − 3 . f ' ( x ) = lim Δx → 0 f ( x + Δx ) − f ( x ) Δx = lim Δx → 0 ( x + Δx ) 2 − 3 ( x + Δx ) − x 2 + 3x Δx = lim Δx → 0 2xΔx − 3Δx + Δx 2 Δx = lim Δx → 0 Δx ( 2x − 3 + Δx ) Δx = lim Δx → 0 ( 2x − 3 + Δx ) = 2x − 3 . alignl { stack { size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { { \( x+Δx \) rSup { size 8{2} } - 3 \( x+Δx \) - x rSup { size 8{2} } +3x} over {Δx} } ={}} {} # {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {2xΔx - 3Δx+Δx rSup { size 8{2} } } over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δx \( 2x - 3+Δx \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } \( 2x - 3+Δx \) =2x - 3 "." {} } } {}
Kако што се гледа од наведениот пример, изводот на функција во општ случај е пак функција од истата промрнлива, а ако променливата има конкретна бројна вредност и изводот ќе има конкретна бројна вредност. На пример, изводот во точката x=3x=3 size 12{x=3} {} ќе има вредност f'(3)=2⋅3−3=3f'(3)=2⋅3−3=3 size 12{ { {f}} sup { ' } \( 3 \) =2 cdot 3 - 3=3} {}.
________________________________________________________________________
Бидејќи изводот се дефинира преку граничен процес, следи дека функцијата ќе нема извод во дадена точка во која таа е прекината.
Ако функцијата има извод во точката x0x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {}, таа ќе биде непрекината во точката, но немора да важи обратното, т.е. ако функцијата е непрекината во точка таа не мора да има извод во таа точка.

Пример 2.

Да се определи изводот на функцијата y=x+1y=x+1 size 12{y= sqrt {x+1} } {} во точката x=−1x=−1 size 12{x= - 1} {}.
Оваа функција е дефинирана во точката x=−1x=−1 size 12{x= - 1} {} и y(−1)=0y(−1)=0 size 12{y \( - 1 \) =0} {}. Ќе го бараме нејзиниот извод во истата точка. Од дефиницијата за извод се добива
f ' ( x ) = lim Δx → 0 f ( x + Δx ) − f ( x ) Δx = lim Δx → 0 ( x + Δx ) + 1 − x + 1 Δx = f ' ( x ) = lim Δx → 0 f ( x + Δx ) − f ( x ) Δx = lim Δx → 0 ( x + Δx ) + 1 − x + 1 Δx = size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f \( x+Δx \) - f \( x \) } over {Δx} } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { { sqrt { \( x+Δx \) +1} - sqrt {x+1} } over {Δx} } ={}} {}
= lim Δx → 0 ( x + Δx ) + 1 − x + 1 Δx ⋅ ( x + Δx ) + 1 + x + 1 ( x + Δx ) + 1 + x + 1 = = lim Δx → 0 ( x + Δx ) + 1 − x + 1 Δx ⋅ ( x + Δx ) + 1 + x + 1 ( x + Δx ) + 1 + x + 1 = size 12{ {}= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { { sqrt { \( x+Δx \) +1} - sqrt {x+1} } over {Δx} } cdot { { sqrt { \( x+Δx \) +1} + sqrt {x+1} } over { sqrt { \( x+Δx \) +1} + sqrt {x+1} } } ={}} {}
= lim Δx → 0 ( x + Δx ) + 1 − ( x + 1 ) Δx ( x + Δx ) + 1 + x + 1 = lim Δx → 0 Δx Δx ( x + Δx ) + 1 + x + 1 = = lim Δx → 0 ( x + Δx ) + 1 − ( x + 1 ) Δx ( x + Δx ) + 1 + x + 1 = lim Δx → 0 Δx Δx ( x + Δx ) + 1 + x + 1 = size 12{ {}= {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { { \( x+Δx \) +1 - \( x+1 \) } over {Δx sqrt { \( x+Δx \) +1} + sqrt {x+1} } } = {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {Δx} over {Δx sqrt { \( x+Δx \) +1} + sqrt {x+1} } } ={}} {}
= lim Δx → 0 1 ( x + Δx ) + 1 + x + 1 = 1 2 x + 1 .