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Décomposition Modale Empirique

Module by: Patrick Flandrin

Summary: La Décomposition Modale Empirique (ou EMD pour Empirical Mode Decomposition) est une méthode de décomposition adaptative, non paramétrique et locale de signaux non stationnaires. On en décrit le principe ainsi que la structure de l'algorithme associé, et on donne un exemple sur des données réelles.

Principe — La technique de Décomposition Modale Empirique (ou EMD pour “Empirical Mode Decomposition”) a été introduite par N.E. Huang et al., “The empirical mode decomposition and Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis," Proc. Roy. Soc. London A, Vol. 454, pp. 903–995, 1998), avec pour objectif de décomposer tout signal en une somme de composantes oscillantes extraites directement de celui-ci de manière adaptative. Ces composantes (ou IMF pour “Intrinsic Mode Functions”) s'interprètent comme des formes d'ondes non stationnaires (i.e., modulées en amplitude et en fréquence) pouvant être éventuellement associées à des oscillations non linéaires.

EMD vs. ondelettes — L'EMD partage avec la transformée en ondelettes (TO) l'idée d'effectuer une analyse récursive dans laquelle un signal x(t)x(t) est décomposé en une partie oscillant rapidement, apparentée à un détail, et une partie oscillant plus lentement jouant le rôle d'une approximation (cf. Figure 1), celle-ci étant ensuite décomposable à son tour selon le même principe.

Figure 1: Principe de l'EMD.
emd_princ.png

On aboutit ainsi à une décomposition de la forme :

x ( t ) = a K ( t ) + ∑ k = 1 K d k ( t ) x ( t ) = a K ( t ) + ∑ k = 1 K d k ( t ) (1)

où, tout comme pour la TO, l'approximation à l'“échelle” kk est la somme de l'approximation et du détail à l'“échelle” k+1k+1 :

a k ( t ) = a k + 1 ( t ) + d k + 1 ( t ) . a k ( t ) = a k + 1 ( t ) + d k + 1 ( t ) . (2)

En contraste notable avec la TO, les “échelles” mises en jeu dans l'EMD ne correspondent pas à une grille fixée a priori mais sont définies à partir du signal de manière locale et adaptative.

Algorithme — Plus précisément, la décomposition (Équation 2) qui effectue la dichotomie entre oscillation rapide et oscillation lente est obtenue en itérant un opérateur non linéaire agissant à une échelle de temps variable définie par la distance entre extrema locaux consécutifs. Cet opérateur, dit de tamisage (ou “sifting”) est décrit par la procédure suivante :

  1. Identifier les extrema de ak(t)ak(t)
  2. Interpoler(par une spline cubique les minima (resp. maxima), pour définir une “enveloppe” emin(t)emin(t) (resp. emax(t)emax(t))
  3. Calculer la moyenne m(t)=(emin(t)+emax(t))/2m(t)=(emin(t)+emax(t))/2
  4. La soustraire à la forme d'onde initiale : S[ak](t)=ak(t)-m(t)S[ak](t)=ak(t)-m(t)

Si on itère nn fois cette procédure, les détails et approximations à l'échelle k+1k+1 sont définis comme dk+1(t)=Sn[ak](t)dk+1(t)=Sn[ak](t) et ak+1(t)=ak(t)-dk+1(t)ak+1(t)=ak(t)-dk+1(t).

D'un point de vue pratique :

  • l'algorithme est initialisé en prenant pour première forme d'onde le signal x(t)x(t) ;
  • à chaque étape de décomposition, le tamisage est itéré nn fois jusqu'à ce que le détail extrait puisse être considéré comme de moyenne globale négligeable au sens d'un critère fixé par l'utilisateur ;
  • la décomposition s'achève lorsque la dernière approximation ne présente plus d'oscillation.

Un code Matlab est disponible à l'URL http://perso.ens-lyon.fr/patrick.flandrin/emd.html .

Un exemple réel — La Figure 2 présente un résultat de la décomposition par EMD des données mensuelles de variabilité de la température moyenne globale à la surface de la Terre durant la période 1850–2007, mesurée (en o C) comme écart par rapport à la moyenne durant la période 1961–1990. Ces données sont disponibles à l'URL http://www.cru.uea.ac.uk/cru/data/temperature et on pourra en trouver une analyse plus complète de même nature dans Z. Wu, N.E. Huang, S.R. Long and C.-K. Peng, “On the trend, detrending, and variability of nonlinear and nonstationary time series,” Proc. Nat. Acad. Sc., Vol. 104, No. 38, pp. 14889–14894, 2007. En identifiant et regroupant les différents modes obtenus, la méthode permet de donner une représentation synthétique sous la forme d'une tendance très basse fréquence à laquelle se superposent des oscillations représentatives de cycles permettant, de façon hiérarchique, de construire des approximations successives du signal complet de la résolution la plus grossière à la plus fine, celles-ci étant sélectionnées de manière adaptative à partir des seules données.

Figure 2: Variabilité de la température moyenne globale à la surface de la Terre.
var_temp_fr.png

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