Ejercicios 6.1 Espacios Vectoriales realesDaniel Felipe
González Obando
Texto ÁLGEBRA LINEAL. Bernard Kolman, David R. Hill
3. Determine si el conjunto dado V es cerrado bajo las operaciones ⊕⊕ y
⊙⊙.
V es el conjunto de todos los polinomios de la forma at2+bt+cat2+bt+c donde
aa, bb y cc son números reales, y b=a+1b=a+1;
(
a
1
t
2
+
b
1
t
+
c
1
)
⊕
(
a
2
t
2
+
b
2
t
+
c
2
)
=
(
a
1
+
a
2
)
t
2
+
(
b
1
+
b
2
)
t
+
(
c
1
+
c
2
)
(
a
1
t
2
+
b
1
t
+
c
1
)
⊕
(
a
2
t
2
+
b
2
t
+
c
2
)
=
(
a
1
+
a
2
)
t
2
+
(
b
1
+
b
2
)
t
+
(
c
1
+
c
2
)
(1)
y
r
⊙
(
a
t
2
+
b
t
+
c
)
=
(
r
a
)
t
2
+
(
r
b
)
t
+
r
c
.
r
⊙
(
a
t
2
+
b
t
+
c
)
=
(
r
a
)
t
2
+
(
r
b
)
t
+
r
c
.
(2)
13. determine si el conjunto dado, junto con las operaciones dadas es un
espacio vectorial. Si no lo es, enumere las propiedades de la definición 1 que
no se cumplen.
El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales de la forma (0,0,z)(0,0,z) con las operaciones
(
0
,
0
,
z
)
⊕
(
0
,
0
,
z
'
)
=
(
0
,
0
,
z
+
z
'
)
(
0
,
0
,
z
)
⊕
(
0
,
0
,
z
'
)
=
(
0
,
0
,
z
+
z
'
)
(3)
y
c
⊙
(
0
,
0
,
z
)
=
(
0
,
0
,
cz
)
c
⊙
(
0
,
0
,
z
)
=
(
0
,
0
,
cz
)
(4)
Solución.
3.
Proof
El problema nos dice at2+bt+cat2+bt+c; a,b,c∈Ra,b,c∈R; y b=a+1b=a+1
entonces si
u
→
=
a
1
t
2
+
b
1
t
+
c
1
u
→
=
a
1
t
2
+
b
1
t
+
c
1
(5)
v
→
=
a
2
t
2
+
b
2
t
+
c
2
v
→
=
a
2
t
2
+
b
2
t
+
c
2
(6)
tendremos
u
→
⊕
v
→
=
(
a
1
+
a
2
)
t
2
+
(
b
1
+
b
2
)
t
+
(
c
1
+
c
2
)
u
→
⊕
v
→
=
(
a
1
+
a
2
)
t
2
+
(
b
1
+
b
2
)
t
+
(
c
1
+
c
2
)
(7)
cambiando bb por a+1a+1,
u
→
⊕
v
→
=
(
a
1
+
a
2
)
t
2
+
(
a
1
+
1
+
a
2
+
1
)
t
+
(
c
1
+
c
2
)
u
→
⊕
v
→
=
(
a
1
+
a
2
)
t
2
+
(
a
1
+
1
+
a
2
+
1
)
t
+
(
c
1
+
c
2
)
(8)
reduciendo la expresión (a1+1+a2+1)(a1+1+a2+1),
u
→
⊕
v
→
=
(
a
1
+
a
2
)
t
2
+
(
a
1
+
a
2
+
2
)
t
+
(
c
1
+
c
2
)
u
→
⊕
v
→
=
(
a
1
+
a
2
)
t
2
+
(
a
1
+
a
2
+
2
)
t
+
(
c
1
+
c
2
)
(9)
tomando a1+a2a1+a2 como aa,
u
→
⊕
v
→
=
(
a
1
+
a
2
)
t
2
+
(
a
+
2
)
t
+
(
c
1
+
c
2
)
u
→
⊕
v
→
=
(
a
1
+
a
2
)
t
2
+
(
a
+
2
)
t
+
(
c
1
+
c
2
)
(10)
y por tanto b≠a+2b≠a+2, con lo cual concluimos que V no esta cerrado
bajo las operaciones ⊕⊕ y ⊙⊙.
□□
13.
Proof
El problema nos dice que (0,0,z)∈R(0,0,z)∈R y que se cumple (0,0,z)⊕(0,0,z')=(0,0,z+z')(0,0,z)⊕(0,0,z')=(0,0,z+z') y c⊙(0,0,z)=(0,0,cz)c⊙(0,0,z)=(0,0,cz), por lo tanto viendo la aplicación de las propiedades
comprobaremos si es o no un espacio vectorial.
Si u→=(0,0,z),v→=(0,0,z'),w→=(0,0,z'')∈Vu→=(0,0,z),v→=(0,0,z'),w→=(0,0,z'')∈V
- u→⊕v→∈Vu→⊕v→∈V, esto es u→⊕v→=(0,0,z+z')∈Vu→⊕v→=(0,0,z+z')∈V, por lo tanto se cumple la propiedad clausurativa de
la suma vectorial.
- u→⊕v→=v→⊕u→u→⊕v→=v→⊕u→, esto es (0,0,z+z')=(0,0,z'+z)(0,0,z+z')=(0,0,z'+z), por lo tanto se cumple la propiedad conmutativa
de la suma vectorial.
- (w→⊕v→)⊕u→=w→⊕(v→⊕u→)(w→⊕v→)⊕u→=w→⊕(v→⊕u→), esto es (0,0,z''+z')⊕(0,0,z)=(0,0,z'')⊕(0,0,z'+z)(0,0,z''+z')⊕(0,0,z)=(0,0,z'')⊕(0,0,z'+z), que es lo mismo que (0,0,z''+z'+z)=(0,0,z''+z'+z)(0,0,z''+z'+z)=(0,0,z''+z'+z), por lo tanto se cumple la propiedad asociativa de la suma
vectorial.
- ∃!0→∈V:0→⊕u→=u→⊕0→=u→∃!0→∈V:0→⊕u→=u→⊕0→=u→, esto es (0,0,0)⊕(0,0,z)=(0,0,z)⊕(0,0,0)=(0,0,z)(0,0,0)⊕(0,0,z)=(0,0,z)⊕(0,0,0)=(0,0,z), por lo tanto se cumple la propiedad modulativa de
la suma vectorial.
- ∃!-u→∈V:-u→⊕u→=u→⊕-u→=0→∃!-u→∈V:-u→⊕u→=u→⊕-u→=0→ esto es (0,0,-z)⊕(0,0,z)=(0,0,z)⊕(0,0,-z)=(0,0,0)(0,0,-z)⊕(0,0,z)=(0,0,z)⊕(0,0,-z)=(0,0,0), por lo
tanto se cumple la propiedad de la existencia del inverso de la suma
vectorial.
Además,
- a⊙u→∈Va⊙u→∈V, esto es a⊙(0,0,z)=(0,0,az)∈Va⊙(0,0,z)=(0,0,az)∈V, por lo tanto se cumple la propiedad clausurativa del producto
escalar.
- (a·b)⊙u→=a⊙(b⊙u→)(a·b)⊙u→=a⊙(b⊙u→), esto es (a·b)⊙(0,0,z)=a⊙(b⊙(0,0,z))=(0,0,abz)(a·b)⊙(0,0,z)=a⊙(b⊙(0,0,z))=(0,0,abz),
por lo cual se cumple la propiedad asociativa del producto escalar.
- (a+b)⊙u→=(a⊙u→)⊕(b⊙u→)(a+b)⊙u→=(a⊙u→)⊕(b⊙u→), esto es (a+b)⊙(0,0,z)=(a⊙(0,0,z))⊕(b⊙(0,0,z))=(0,0,(a+b)·z)(a+b)⊙(0,0,z)=(a⊙(0,0,z))⊕(b⊙(0,0,z))=(0,0,(a+b)·z), por lo tanto se cumple la
primera propiedad de distribución del producto escalar.
- a⊙(u→⊕v→)=(a⊙u→)⊕(a⊙v→)a⊙(u→⊕v→)=(a⊙u→)⊕(a⊙v→), esto es a⊙((0,0,z)⊕(0,0,z'))=(a⊙(0,0,z))⊕(a⊙(0,0,z'))=(0,0,a(z+z'))a⊙((0,0,z)⊕(0,0,z'))=(a⊙(0,0,z))⊕(a⊙(0,0,z'))=(0,0,a(z+z')), por lo tanto
se cumple la segunda propiedad distributiva del producto escalar.
Una vez desmostradas las propiedades de los espacios vectoriales, podemos
decir que VV es un espacio vectorial.
□□
