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Espacios Vectoriales

Module by: Daniel Felipe Gonzalez Obando. E-mail the author

Summary: Ejercicios tomados de la sección 6.1 del libro de Álgebra lineal de Bernard Kolman y David R. Hill.

Ejercicios 6.1 Espacios Vectoriales realesDaniel Felipe González Obando

Texto ÁLGEBRA LINEAL. Bernard Kolman, David R. Hill

3. Determine si el conjunto dado V es cerrado bajo las operaciones y .

V es el conjunto de todos los polinomios de la forma at2+bt+cat2+bt+c donde aa, bb y cc son números reales, y b=a+1b=a+1;

( a 1 t 2 + b 1 t + c 1 ) ( a 2 t 2 + b 2 t + c 2 ) = ( a 1 + a 2 ) t 2 + ( b 1 + b 2 ) t + ( c 1 + c 2 ) ( a 1 t 2 + b 1 t + c 1 ) ( a 2 t 2 + b 2 t + c 2 ) = ( a 1 + a 2 ) t 2 + ( b 1 + b 2 ) t + ( c 1 + c 2 )
(1)

y

r ( a t 2 + b t + c ) = ( r a ) t 2 + ( r b ) t + r c . r ( a t 2 + b t + c ) = ( r a ) t 2 + ( r b ) t + r c .
(2)

13. determine si el conjunto dado, junto con las operaciones dadas es un espacio vectorial. Si no lo es, enumere las propiedades de la definición 1 que no se cumplen.

El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales de la forma (0,0,z)(0,0,z) con las operaciones

( 0 , 0 , z ) ( 0 , 0 , z ' ) = ( 0 , 0 , z + z ' ) ( 0 , 0 , z ) ( 0 , 0 , z ' ) = ( 0 , 0 , z + z ' )
(3)

y

c ( 0 , 0 , z ) = ( 0 , 0 , cz ) c ( 0 , 0 , z ) = ( 0 , 0 , cz )
(4)

Solución.

3.

Proof El problema nos dice at2+bt+cat2+bt+c; a,b,cRa,b,cR; y b=a+1b=a+1

entonces si

u = a 1 t 2 + b 1 t + c 1 u = a 1 t 2 + b 1 t + c 1
(5)
v = a 2 t 2 + b 2 t + c 2 v = a 2 t 2 + b 2 t + c 2
(6)

tendremos

u v = ( a 1 + a 2 ) t 2 + ( b 1 + b 2 ) t + ( c 1 + c 2 ) u v = ( a 1 + a 2 ) t 2 + ( b 1 + b 2 ) t + ( c 1 + c 2 )
(7)

cambiando bb por a+1a+1,

u v = ( a 1 + a 2 ) t 2 + ( a 1 + 1 + a 2 + 1 ) t + ( c 1 + c 2 ) u v = ( a 1 + a 2 ) t 2 + ( a 1 + 1 + a 2 + 1 ) t + ( c 1 + c 2 )
(8)

reduciendo la expresión (a1+1+a2+1)(a1+1+a2+1),

u v = ( a 1 + a 2 ) t 2 + ( a 1 + a 2 + 2 ) t + ( c 1 + c 2 ) u v = ( a 1 + a 2 ) t 2 + ( a 1 + a 2 + 2 ) t + ( c 1 + c 2 )
(9)

tomando a1+a2a1+a2 como aa,

u v = ( a 1 + a 2 ) t 2 + ( a + 2 ) t + ( c 1 + c 2 ) u v = ( a 1 + a 2 ) t 2 + ( a + 2 ) t + ( c 1 + c 2 )
(10)

y por tanto ba+2ba+2, con lo cual concluimos que V no esta cerrado bajo las operaciones y .

13.

Proof El problema nos dice que (0,0,z)R(0,0,z)R y que se cumple (0,0,z)(0,0,z')=(0,0,z+z')(0,0,z)(0,0,z')=(0,0,z+z') y c(0,0,z)=(0,0,cz)c(0,0,z)=(0,0,cz), por lo tanto viendo la aplicación de las propiedades comprobaremos si es o no un espacio vectorial.

Si u=(0,0,z),v=(0,0,z'),w=(0,0,z'')Vu=(0,0,z),v=(0,0,z'),w=(0,0,z'')V

  • uvVuvV, esto es uv=(0,0,z+z')Vuv=(0,0,z+z')V, por lo tanto se cumple la propiedad clausurativa de la suma vectorial.
  • uv=vuuv=vu, esto es (0,0,z+z')=(0,0,z'+z)(0,0,z+z')=(0,0,z'+z), por lo tanto se cumple la propiedad conmutativa de la suma vectorial.
  • (wv)u=w(vu)(wv)u=w(vu), esto es (0,0,z''+z')(0,0,z)=(0,0,z'')(0,0,z'+z)(0,0,z''+z')(0,0,z)=(0,0,z'')(0,0,z'+z), que es lo mismo que (0,0,z''+z'+z)=(0,0,z''+z'+z)(0,0,z''+z'+z)=(0,0,z''+z'+z), por lo tanto se cumple la propiedad asociativa de la suma vectorial.
  • !0V:0u=u0=u!0V:0u=u0=u, esto es (0,0,0)(0,0,z)=(0,0,z)(0,0,0)=(0,0,z)(0,0,0)(0,0,z)=(0,0,z)(0,0,0)=(0,0,z), por lo tanto se cumple la propiedad modulativa de la suma vectorial.
  • !-uV:-uu=u-u=0!-uV:-uu=u-u=0 esto es (0,0,-z)(0,0,z)=(0,0,z)(0,0,-z)=(0,0,0)(0,0,-z)(0,0,z)=(0,0,z)(0,0,-z)=(0,0,0), por lo tanto se cumple la propiedad de la existencia del inverso de la suma vectorial.

Además,

  • auVauV, esto es a(0,0,z)=(0,0,az)Va(0,0,z)=(0,0,az)V, por lo tanto se cumple la propiedad clausurativa del producto escalar.
  • (a·b)u=a(bu)(a·b)u=a(bu), esto es (a·b)(0,0,z)=a(b(0,0,z))=(0,0,abz)(a·b)(0,0,z)=a(b(0,0,z))=(0,0,abz), por lo cual se cumple la propiedad asociativa del producto escalar.
  • (a+b)u=(au)(bu)(a+b)u=(au)(bu), esto es (a+b)(0,0,z)=(a(0,0,z))(b(0,0,z))=(0,0,(a+b)·z)(a+b)(0,0,z)=(a(0,0,z))(b(0,0,z))=(0,0,(a+b)·z), por lo tanto se cumple la primera propiedad de distribución del producto escalar.
  • a(uv)=(au)(av)a(uv)=(au)(av), esto es a((0,0,z)(0,0,z'))=(a(0,0,z))(a(0,0,z'))=(0,0,a(z+z'))a((0,0,z)(0,0,z'))=(a(0,0,z))(a(0,0,z'))=(0,0,a(z+z')), por lo tanto se cumple la segunda propiedad distributiva del producto escalar.

Una vez desmostradas las propiedades de los espacios vectoriales, podemos decir que VV es un espacio vectorial.

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